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21.(10分)在平面直角坐标系$xOy$中，点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在抛物线$y=ax^2-2a^2x(a≠0)$上.
(1)当$a=1$时，求抛物线的顶点坐标以及与$y$轴的交点坐标；
(2)若对于任意$x_1$、$x_2$，$x_1=-a$，$4≤x_2≤5$，都有$y_1＜y_2$，求$a$的取值范围.
(1)当$a=1$时，求抛物线的顶点坐标以及与$y$轴的交点坐标；
(2)若对于任意$x_1$、$x_2$，$x_1=-a$，$4≤x_2≤5$，都有$y_1＜y_2$，求$a$的取值范围.
答案
21.解:(1)在平面直角坐标系 xOy 中,点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 在抛物线 $y=ax^2-2a^2x(a≠0)$ 上.
当 a=1 时,抛物线 $y=x^2-2x$,
∴$y=(x-1)^2-1$,
∴抛物线的顶点坐标为 (1,-1).
令 x=0,得 y=0,
∴抛物线与 y 轴的交点坐标为 (0,0).
(2)抛物线 $y=ax^2-2a^2x$ 的对称轴为 x=a,已知 $x_1=-a,4≤x_2≤5$,需分情况讨论:
①若 a＞0,
∵$x_1=-a$,
∴$x_1＜a,y_1=a(-a)^2-2a^2(-a)=a^3+2a^3=3a^3$,
(ⅰ)当 0＜a＜4 时,
设点 A 关于对称轴 x=a 的对称点为 $A'(x_3,y_1)$,
则 $x_3＞a,x_3-a=a-(-a)$,
∴$x_3=3a$.
∵当 x≥a 时,y 随 x 的增大而增大,$y_1＜y_2$,
∴3a＜4,
∴$0＜a＜\dfrac{4}{3}$.
(ⅱ)当 4≤a≤5 时,
∵当 x≤a 时,y 随 x 的增大而减小,当 x＞a 时,y 随 x 的增大而增大,
∴当 $x_2=a$ 时,$y_2$ 取最小值为 $-a^3$.
又
∵$y_1=3a^3$,
∴$y_1＞y_2$,不符合题意.
(ⅲ)当 a＞5 时,
∵当 x≤a 时,y 随 x 的增大而减小,-a＜0,
∴$x_1=-a＜-5＜4≤x_2$,
∴$y_1＞y_2$,不符合题意.
②若 a＜0,
∵$x_1=-a,4≤x_2≤5$,
∴$x_1＞a,x_2＞a$.
∵当 x≥a 时,y 随 x 的增大而减小,$y_1＜y_2$,
∴-a＞5,
∴a＜-5.
综上,$0＜a＜\dfrac{4}{3}$ 或 a＜-5.
当 a=1 时,抛物线 $y=x^2-2x$,
∴$y=(x-1)^2-1$,
∴抛物线的顶点坐标为 (1,-1).
令 x=0,得 y=0,
∴抛物线与 y 轴的交点坐标为 (0,0).
(2)抛物线 $y=ax^2-2a^2x$ 的对称轴为 x=a,已知 $x_1=-a,4≤x_2≤5$,需分情况讨论:
①若 a＞0,
∵$x_1=-a$,
∴$x_1＜a,y_1=a(-a)^2-2a^2(-a)=a^3+2a^3=3a^3$,
(ⅰ)当 0＜a＜4 时,
设点 A 关于对称轴 x=a 的对称点为 $A'(x_3,y_1)$,
则 $x_3＞a,x_3-a=a-(-a)$,
∴$x_3=3a$.
∵当 x≥a 时,y 随 x 的增大而增大,$y_1＜y_2$,
∴3a＜4,
∴$0＜a＜\dfrac{4}{3}$.
(ⅱ)当 4≤a≤5 时,
∵当 x≤a 时,y 随 x 的增大而减小,当 x＞a 时,y 随 x 的增大而增大,
∴当 $x_2=a$ 时,$y_2$ 取最小值为 $-a^3$.
又
∵$y_1=3a^3$,
∴$y_1＞y_2$,不符合题意.
(ⅲ)当 a＞5 时,
∵当 x≤a 时,y 随 x 的增大而减小,-a＜0,
∴$x_1=-a＜-5＜4≤x_2$,
∴$y_1＞y_2$,不符合题意.
②若 a＜0,
∵$x_1=-a,4≤x_2≤5$,
∴$x_1＞a,x_2＞a$.
∵当 x≥a 时,y 随 x 的增大而减小,$y_1＜y_2$,
∴-a＞5,
∴a＜-5.
综上,$0＜a＜\dfrac{4}{3}$ 或 a＜-5.
解析
【分析】
(1) 第一小问直接将a=1代入抛物线解析式，通过配方法把一般式转化为顶点式即可得到顶点坐标；求抛物线与y轴的交点坐标只需令x=0，计算对应的y值即可。
(2) 第二小问先求出抛物线的对称轴为x=a，二次函数的增减性由开口方向（a的正负）和对称轴共同决定，因此需分a＞0和a＜0两大类讨论：对于每一类，结合x₁=-a的位置、x₂的取值范围[4,5]，要使y₁＜y₂恒成立，需保证y₁小于y₂在区间[4,5]上的最小值，再结合二次函数的增减性列不等式求解，排除不符合题意的情况即可得到a的取值范围。
【解析】
(1) 当a=1时，抛物线解析式为$y=x^2-2x$，
配方得$y=(x-1)^2-1$，
∴抛物线的顶点坐标为$(1,-1)$。
令x=0，代入解析式得y=0，
∴抛物线与y轴的交点坐标为$(0,0)$。
(2) 抛物线$y=ax^2-2a^2x$的对称轴为直线$x=-\frac{-2a^2}{2a}=a$，已知$x_1=-a$，$4≤x_2≤5$，分情况讨论：
① 若$a＞0$，抛物线开口向上，
此时$x_1=-a＜ a$，计算得$y_1=a·(-a)^2-2a^2·(-a)=3a^3$。
(ⅰ) 当$0＜a＜4$时，对称轴在区间$[4,5]$左侧，x≥a时y随x的增大而增大，
设点A关于对称轴x=a的对称点为$A'(x_3,y_1)$，由对称性得$x_3-a=a-(-a)$，即$x_3=3a$，
要使$y_1＜y_2$恒成立，则$3a＜4$，解得$a＜\frac{4}{3}$，即$0＜a＜\frac{4}{3}$。
(ⅱ) 当$4≤a≤5$时，对称轴在区间$[4,5]$内，此时y₂的最小值为顶点纵坐标$-a^3$，
∵$y_1=3a^3＞0＞-a^3$，即$y_1＞y_2$，不符合题意。
(ⅲ) 当$a＞5$时，对称轴在区间$[4,5]$右侧，x≤a时y随x的增大而减小，
∵$x_1=-a＜0＜4≤x_2≤5＜a$，
∴$y_1＞y_2$，不符合题意。
② 若$a＜0$，抛物线开口向下，
此时$x_1=-a＞0＞a$，$4≤x_2≤5＞a$，x≥a时y随x的增大而减小，
要使$y_1＜y_2$恒成立，则$-a＞5$，解得$a＜-5$。
综上，a的取值范围为$0＜a＜\frac{4}{3}$或$a＜-5$。
【答案】
(1) 顶点坐标为$(1,-1)$，与y轴交点坐标为$(0,0)$；
(2) $0＜a＜\dfrac{4}{3}$或$a＜-5$
【知识点】
二次函数的基本性质，二次函数区间最值，分类讨论思想
【点评】
本题第一问是基础题型，考查二次函数顶点坐标、与坐标轴交点的常规求法；第二问为二次函数综合应用，需要结合开口方向、对称轴和给定区间的位置关系分类分析，能够较好地考查逻辑推理能力，是二次函数的典型常考题型。
【难度系数】
0.6
(1) 第一小问直接将a=1代入抛物线解析式，通过配方法把一般式转化为顶点式即可得到顶点坐标；求抛物线与y轴的交点坐标只需令x=0，计算对应的y值即可。
(2) 第二小问先求出抛物线的对称轴为x=a，二次函数的增减性由开口方向（a的正负）和对称轴共同决定，因此需分a＞0和a＜0两大类讨论：对于每一类，结合x₁=-a的位置、x₂的取值范围[4,5]，要使y₁＜y₂恒成立，需保证y₁小于y₂在区间[4,5]上的最小值，再结合二次函数的增减性列不等式求解，排除不符合题意的情况即可得到a的取值范围。
【解析】
(1) 当a=1时，抛物线解析式为$y=x^2-2x$，
配方得$y=(x-1)^2-1$，
∴抛物线的顶点坐标为$(1,-1)$。
令x=0，代入解析式得y=0，
∴抛物线与y轴的交点坐标为$(0,0)$。
(2) 抛物线$y=ax^2-2a^2x$的对称轴为直线$x=-\frac{-2a^2}{2a}=a$，已知$x_1=-a$，$4≤x_2≤5$，分情况讨论：
① 若$a＞0$，抛物线开口向上，
此时$x_1=-a＜ a$，计算得$y_1=a·(-a)^2-2a^2·(-a)=3a^3$。
(ⅰ) 当$0＜a＜4$时，对称轴在区间$[4,5]$左侧，x≥a时y随x的增大而增大，
设点A关于对称轴x=a的对称点为$A'(x_3,y_1)$，由对称性得$x_3-a=a-(-a)$，即$x_3=3a$，
要使$y_1＜y_2$恒成立，则$3a＜4$，解得$a＜\frac{4}{3}$，即$0＜a＜\frac{4}{3}$。
(ⅱ) 当$4≤a≤5$时，对称轴在区间$[4,5]$内，此时y₂的最小值为顶点纵坐标$-a^3$，
∵$y_1=3a^3＞0＞-a^3$，即$y_1＞y_2$，不符合题意。
(ⅲ) 当$a＞5$时，对称轴在区间$[4,5]$右侧，x≤a时y随x的增大而减小，
∵$x_1=-a＜0＜4≤x_2≤5＜a$，
∴$y_1＞y_2$，不符合题意。
② 若$a＜0$，抛物线开口向下，
此时$x_1=-a＞0＞a$，$4≤x_2≤5＞a$，x≥a时y随x的增大而减小，
要使$y_1＜y_2$恒成立，则$-a＞5$，解得$a＜-5$。
综上，a的取值范围为$0＜a＜\frac{4}{3}$或$a＜-5$。
【答案】
(1) 顶点坐标为$(1,-1)$，与y轴交点坐标为$(0,0)$；
(2) $0＜a＜\dfrac{4}{3}$或$a＜-5$
【知识点】
二次函数的基本性质，二次函数区间最值，分类讨论思想
【点评】
本题第一问是基础题型，考查二次函数顶点坐标、与坐标轴交点的常规求法；第二问为二次函数综合应用，需要结合开口方向、对称轴和给定区间的位置关系分类分析，能够较好地考查逻辑推理能力，是二次函数的典型常考题型。
【难度系数】
0.6
22. (10 分)已知在平面直角坐标系中有抛物线 $ y = mx^2 - x (m ≠ 0) $.
(1)若此抛物线对称轴为直线 $ x=1 $,求 $ m $ 的值;
(2)另有直线 $ y=-x+m $ 与此抛物线交于A、B两点(点A在点B的左边),点C为抛物线与y轴的交点.
①在$ △ ABC $中,当$ ∠ ABC $为直角时,求 $ m $ 的值;
②当 $ m $ 为何值时,$ △ ABC $的面积为2.
(1)若此抛物线对称轴为直线 $ x=1 $,求 $ m $ 的值;
(2)另有直线 $ y=-x+m $ 与此抛物线交于A、B两点(点A在点B的左边),点C为抛物线与y轴的交点.
①在$ △ ABC $中,当$ ∠ ABC $为直角时,求 $ m $ 的值;
②当 $ m $ 为何值时,$ △ ABC $的面积为2.
答案
22.解:(1)对于抛物线 $ y=mx^2-x(m≠0) $,
对称轴为直线 $ x=-\dfrac{-1}{2m}=\dfrac{1}{2m} $,
∴$\dfrac{1}{2m}=1$,解得 $ m=\dfrac{1}{2} $.
(2)①对于抛物线 $ y=mx^2-x(m≠0) $,
令 x=0,则 y=0,
∴C(0,0).
联立 $\begin{cases}y=mx^2-x,\\y=-x+m,\end{cases}$ 整理,得 $ mx^2-m=0 $,
因式分解,得 $ m(x+1)(x-1)=0 $.
∵m≠0,
∴$(x+1)(x-1)=0$,
∴$x_1=-1,x_2=1$,
∴$y_1=m+1,y_2=m-1$.
∵点 A 在点 B 的左边,
∴A(-1,m+1),B(1,m-1),
∴$AC^2=(-1-0)^2+(m+1-0)^2=m^2+2m+2$,
$BC^2=(1-0)^2+(m-1-0)^2=m^2-2m+2$,
$AB^2=(-1-1)^2+[m+1-(m-1)]^2=8$.
当∠ABC 为直角时,由勾股定理得 $ AB^2+BC^2=AC^2 $,即 $ 8+m^2-2m+2=m^2+2m+2 $,
∴$ m^2-m^2-2m-2m=2-2-8 $,
∴-4m=-8,解得 m=2.
②设直线 y=-x+m 与 y 轴交于点 D.
当 x=0 时,可得 y=0+m=m,
∴D(0,m).
又
∵A(-1,m+1),B(1,m-1),C(0,0),
∴$ S_{△ABC} = S_{△ADC} + S_{△BDC} = \dfrac{1}{2} × |m| × |x_A| + \dfrac{1}{2} × |m| × |x_B| = \dfrac{1}{2} × |m| × (|-1|+|1|) = \dfrac{1}{2} × |m| × (1+1) = |m| $.
∵△ABC 的面积为 2,
∴|m|=2,
∴m=±2.
对称轴为直线 $ x=-\dfrac{-1}{2m}=\dfrac{1}{2m} $,
∴$\dfrac{1}{2m}=1$,解得 $ m=\dfrac{1}{2} $.
(2)①对于抛物线 $ y=mx^2-x(m≠0) $,
令 x=0,则 y=0,
∴C(0,0).
联立 $\begin{cases}y=mx^2-x,\\y=-x+m,\end{cases}$ 整理,得 $ mx^2-m=0 $,
因式分解,得 $ m(x+1)(x-1)=0 $.
∵m≠0,
∴$(x+1)(x-1)=0$,
∴$x_1=-1,x_2=1$,
∴$y_1=m+1,y_2=m-1$.
∵点 A 在点 B 的左边,
∴A(-1,m+1),B(1,m-1),
∴$AC^2=(-1-0)^2+(m+1-0)^2=m^2+2m+2$,
$BC^2=(1-0)^2+(m-1-0)^2=m^2-2m+2$,
$AB^2=(-1-1)^2+[m+1-(m-1)]^2=8$.
当∠ABC 为直角时,由勾股定理得 $ AB^2+BC^2=AC^2 $,即 $ 8+m^2-2m+2=m^2+2m+2 $,
∴$ m^2-m^2-2m-2m=2-2-8 $,
∴-4m=-8,解得 m=2.
②设直线 y=-x+m 与 y 轴交于点 D.
当 x=0 时,可得 y=0+m=m,
∴D(0,m).
又
∵A(-1,m+1),B(1,m-1),C(0,0),
∴$ S_{△ABC} = S_{△ADC} + S_{△BDC} = \dfrac{1}{2} × |m| × |x_A| + \dfrac{1}{2} × |m| × |x_B| = \dfrac{1}{2} × |m| × (|-1|+|1|) = \dfrac{1}{2} × |m| × (1+1) = |m| $.
∵△ABC 的面积为 2,
∴|m|=2,
∴m=±2.
解析
【分析】
(1) 求解第一问可直接利用抛物线对称轴公式：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}$，将题中抛物线的对应系数代入，结合已知对称轴为$x=1$列方程，即可求出$m$的值。
(2) ①求解第二问首先确定抛物线与y轴交点C的坐标：令$x=0$代入抛物线解析式即可得到C点坐标；再联立抛物线与直线的解析式，解方程得到A、B两点的横坐标，结合点A在点B左侧的条件确定两点坐标；当$∠ ABC$为直角时，根据勾股定理可得$AB^2+BC^2=AC^2$，代入三点坐标计算的各边长度平方，解方程即可求出$m$的值。
②求$△ ABC$的面积可采用割补法：先找到直线$y=-x+m$与y轴的交点D，将$△ ABC$拆分为$△ ADC$和$△ BDC$，两个三角形的公共底为线段CD，高分别为A、B两点横坐标的绝对值，据此列出面积表达式，结合面积为2列方程，解绝对值方程即可得到$m$的值。
【解析】
(1) 对于抛物线 $ y=mx^2 - x (m ≠ 0) $，
对称轴为直线 $ x=-\dfrac{-1}{2m}=\dfrac{1}{2m} $，
∴$\dfrac{1}{2m}=1$，解得 $ m=\dfrac{1}{2} $。
(2) ①对于抛物线 $ y=mx^2 - x (m ≠ 0) $，
令 $x=0$，则 $y=0$，
∴$C(0,0)$。
联立 $\begin{cases}y=mx^2-x\\y=-x+m\end{cases}$ 整理，得 $ mx^2-m=0 $，
因式分解，得 $ m(x+1)(x-1)=0 $，
∵$m≠0$，
∴$(x+1)(x-1)=0$，
∴$x_1=-1,x_2=1$，
代入直线解析式得 $y_1=m+1,y_2=m-1$，
∵点 A 在点 B 的左边，
∴$A(-1,m+1),B(1,m-1)$，
∴$AC^2=(-1-0)^2+(m+1-0)^2=m^2+2m+2$，
$BC^2=(1-0)^2+(m-1-0)^2=m^2-2m+2$，
$AB^2=(-1-1)^2+[m+1-(m-1)]^2=8$。
当∠ABC 为直角时，由勾股定理得 $ AB^2+BC^2=AC^2 $，即 $ 8+m^2-2m+2=m^2+2m+2 $，
整理得 $-4m=-8$，解得 $m=2$。
②设直线 $y=-x+m$ 与 y 轴交于点 D，
当 $x=0$ 时，可得 $y=m$，
∴$D(0,m)$。
又
∵$A(-1,m+1),B(1,m-1),C(0,0)$，
∴$ S_{△ABC} = S_{△ADC} + S_{△BDC} = \dfrac{1}{2} × |m| × |x_A| + \dfrac{1}{2} × |m| × |x_B| = \dfrac{1}{2} × |m| × (|-1|+|1|) = |m| $。
∵△ABC 的面积为 2，
∴$|m|=2$，
∴$m=±2$。
【答案】
(1) $m=\dfrac{1}{2}$；(2) ①$m=2$；②$m=\pm 2$
【知识点】
抛物线对称轴公式，函数交点求解，三角形面积计算
【点评】
本题属于函数与几何的综合基础题，考查了二次函数性质、一次函数与二次函数交点的求解、勾股定理的应用以及割补法求三角形面积，解题时要注意坐标运算的准确性，处理绝对值方程时避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求解第一问可直接利用抛物线对称轴公式：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}$，将题中抛物线的对应系数代入，结合已知对称轴为$x=1$列方程，即可求出$m$的值。
(2) ①求解第二问首先确定抛物线与y轴交点C的坐标：令$x=0$代入抛物线解析式即可得到C点坐标；再联立抛物线与直线的解析式，解方程得到A、B两点的横坐标，结合点A在点B左侧的条件确定两点坐标；当$∠ ABC$为直角时，根据勾股定理可得$AB^2+BC^2=AC^2$，代入三点坐标计算的各边长度平方，解方程即可求出$m$的值。
②求$△ ABC$的面积可采用割补法：先找到直线$y=-x+m$与y轴的交点D，将$△ ABC$拆分为$△ ADC$和$△ BDC$，两个三角形的公共底为线段CD，高分别为A、B两点横坐标的绝对值，据此列出面积表达式，结合面积为2列方程，解绝对值方程即可得到$m$的值。
【解析】
(1) 对于抛物线 $ y=mx^2 - x (m ≠ 0) $，
对称轴为直线 $ x=-\dfrac{-1}{2m}=\dfrac{1}{2m} $，
∴$\dfrac{1}{2m}=1$，解得 $ m=\dfrac{1}{2} $。
(2) ①对于抛物线 $ y=mx^2 - x (m ≠ 0) $，
令 $x=0$，则 $y=0$，
∴$C(0,0)$。
联立 $\begin{cases}y=mx^2-x\\y=-x+m\end{cases}$ 整理，得 $ mx^2-m=0 $，
因式分解，得 $ m(x+1)(x-1)=0 $，
∵$m≠0$，
∴$(x+1)(x-1)=0$，
∴$x_1=-1,x_2=1$，
代入直线解析式得 $y_1=m+1,y_2=m-1$，
∵点 A 在点 B 的左边，
∴$A(-1,m+1),B(1,m-1)$，
∴$AC^2=(-1-0)^2+(m+1-0)^2=m^2+2m+2$，
$BC^2=(1-0)^2+(m-1-0)^2=m^2-2m+2$，
$AB^2=(-1-1)^2+[m+1-(m-1)]^2=8$。
当∠ABC 为直角时，由勾股定理得 $ AB^2+BC^2=AC^2 $，即 $ 8+m^2-2m+2=m^2+2m+2 $，
整理得 $-4m=-8$，解得 $m=2$。
②设直线 $y=-x+m$ 与 y 轴交于点 D，
当 $x=0$ 时，可得 $y=m$，
∴$D(0,m)$。
又
∵$A(-1,m+1),B(1,m-1),C(0,0)$，
∴$ S_{△ABC} = S_{△ADC} + S_{△BDC} = \dfrac{1}{2} × |m| × |x_A| + \dfrac{1}{2} × |m| × |x_B| = \dfrac{1}{2} × |m| × (|-1|+|1|) = |m| $。
∵△ABC 的面积为 2，
∴$|m|=2$，
∴$m=±2$。
【答案】
(1) $m=\dfrac{1}{2}$；(2) ①$m=2$；②$m=\pm 2$
【知识点】
抛物线对称轴公式，函数交点求解，三角形面积计算
【点评】
本题属于函数与几何的综合基础题，考查了二次函数性质、一次函数与二次函数交点的求解、勾股定理的应用以及割补法求三角形面积，解题时要注意坐标运算的准确性，处理绝对值方程时避免漏解。
【难度系数】
0.6
23(12分)小明喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段，建立如图平面直角坐标系，分别得到抛物线$y=-\frac{1}{10}x^2 + x + a$和直线$y=-\frac{1}{2}x + m$。其中，当纸飞机飞行的水平距离为8 m时，自动进入滑行阶段。若纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.8 m。
(1)直接写出$a=$
(2)小明的前方有一堵2.7 m高的围栏，求小明距离围栏的距离d在什么范围时，纸飞机可以飞过围栏。
(1)直接写出$a=$
2.2
，$m=$7.8
；(2)小明的前方有一堵2.7 m高的围栏，求小明距离围栏的距离d在什么范围时，纸飞机可以飞过围栏。
答案
23.解:(1)由题意可得抛物线 $ y=-\dfrac{1}{10} x^2+x+a $ 和直线 $ y=-\dfrac{1}{2} x+m $ 都过点 (8,3.8).
把 (8,3.8) 代入 $ y=-\dfrac{1}{10} x^2+x+a $,
得 $ 3.8=-\dfrac{1}{10} ×8^2+8+a $,解得 a=2.2;
把 (8,3.8) 代入 $ y=-\dfrac{1}{2} x+m $,得 $ 3.8=-\dfrac{1}{2} ×8+m $,解得 m=7.8. 故答案为 2.2,7.8.
(2)把 y=2.7 代入 $ y=-\dfrac{1}{10} x^2+x+2.2 $,
得 $ 2.7=-\dfrac{1}{10} x^2+x+2.2 $,
解得 $ x_1=5+2\sqrt{5}＞8(舍),x_2=5-2\sqrt{5} $.
把 y=2.7 代入 $ y=-\dfrac{1}{2} x+7.8 $,
得 $ 2.7=-\dfrac{1}{2} x+7.8 $,解得 x=10.2.
∵$ 10.2＞5-2\sqrt{5} $,
∴小明距离围栏的距离 $ 5-2\sqrt{5}＜d＜10.2 $ 时,纸飞机可以飞过围栏.
把 (8,3.8) 代入 $ y=-\dfrac{1}{10} x^2+x+a $,
得 $ 3.8=-\dfrac{1}{10} ×8^2+8+a $,解得 a=2.2;
把 (8,3.8) 代入 $ y=-\dfrac{1}{2} x+m $,得 $ 3.8=-\dfrac{1}{2} ×8+m $,解得 m=7.8. 故答案为 2.2,7.8.
(2)把 y=2.7 代入 $ y=-\dfrac{1}{10} x^2+x+2.2 $,
得 $ 2.7=-\dfrac{1}{10} x^2+x+2.2 $,
解得 $ x_1=5+2\sqrt{5}＞8(舍),x_2=5-2\sqrt{5} $.
把 y=2.7 代入 $ y=-\dfrac{1}{2} x+7.8 $,
得 $ 2.7=-\dfrac{1}{2} x+7.8 $,解得 x=10.2.
∵$ 10.2＞5-2\sqrt{5} $,
∴小明距离围栏的距离 $ 5-2\sqrt{5}＜d＜10.2 $ 时,纸飞机可以飞过围栏.
解析
【分析】
(1) 由题意可知，当纸飞机水平飞行距离为8m时高度为3.8m，即点(8, 3.8)同时在抛物线和直线上，将该点坐标分别代入两个函数解析式，即可求出参数a和m。
(2) 纸飞机能飞过2.7m高的围栏，即飞行高度y≥2.7，对应的水平距离就是小明到围栏的距离d。分别令两个函数的y=2.7求解对应的x值：由于x＞8时纸飞机进入滑行阶段，轨迹为直线，因此抛物线解中大于8的需要舍去，最终得到的两个边界x值即可确定d的取值范围。
【解析】
(1) 根据题意，点(8, 3.8)同时在抛物线$y=-\frac{1}{10}x^2 + x + a$和直线$y=-\frac{1}{2}x + m$上。
① 把(8, 3.8)代入抛物线解析式：
$3.8=-\frac{1}{10}×8^2 + 8 + a$
计算得$3.8=1.6 + a$，解得$a=2.2$。
② 把(8, 3.8)代入直线解析式：
$3.8=-\frac{1}{2}×8 + m$
计算得$3.8=-4 + m$，解得$m=7.8$。
(2) 要使纸飞机飞过2.7m高的围栏，需飞行高度y≥2.7：
① 将y=2.7代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{10}x^2 + x + 2.2$：
$2.7=-\frac{1}{10}x^2 + x + 2.2$
整理得$x^2 -10x +5=0$，解得$x_1=5+2\sqrt{5}$，$x_2=5-2\sqrt{5}$。
因为x＞8时进入滑行阶段，$x_1=5+2\sqrt{5}＞8$不符合抛物线阶段的取值范围，故舍去，保留$x=5-2\sqrt{5}$。
② 将y=2.7代入直线解析式$y=-\frac{1}{2}x +7.8$：
$2.7=-\frac{1}{2}x +7.8$，解得$x=10.2$。
结合函数图象可知，当$5-2\sqrt{5}＜d＜10.2$时，纸飞机飞行高度高于2.7m，可以飞过围栏。
【答案】
(1) $\boxed{2.2}$，$\boxed{7.8}$
(2) 当$\boxed{5-2\sqrt{5}＜d＜10.2}$时，纸飞机可以飞过围栏。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数实际应用，一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查一次函数与二次函数的综合应用，解题关键是明确函数图象上的点满足对应函数解析式，同时要结合实际意义对计算结果进行合理取舍，能很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 由题意可知，当纸飞机水平飞行距离为8m时高度为3.8m，即点(8, 3.8)同时在抛物线和直线上，将该点坐标分别代入两个函数解析式，即可求出参数a和m。
(2) 纸飞机能飞过2.7m高的围栏，即飞行高度y≥2.7，对应的水平距离就是小明到围栏的距离d。分别令两个函数的y=2.7求解对应的x值：由于x＞8时纸飞机进入滑行阶段，轨迹为直线，因此抛物线解中大于8的需要舍去，最终得到的两个边界x值即可确定d的取值范围。
【解析】
(1) 根据题意，点(8, 3.8)同时在抛物线$y=-\frac{1}{10}x^2 + x + a$和直线$y=-\frac{1}{2}x + m$上。
① 把(8, 3.8)代入抛物线解析式：
$3.8=-\frac{1}{10}×8^2 + 8 + a$
计算得$3.8=1.6 + a$，解得$a=2.2$。
② 把(8, 3.8)代入直线解析式：
$3.8=-\frac{1}{2}×8 + m$
计算得$3.8=-4 + m$，解得$m=7.8$。
(2) 要使纸飞机飞过2.7m高的围栏，需飞行高度y≥2.7：
① 将y=2.7代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{10}x^2 + x + 2.2$：
$2.7=-\frac{1}{10}x^2 + x + 2.2$
整理得$x^2 -10x +5=0$，解得$x_1=5+2\sqrt{5}$，$x_2=5-2\sqrt{5}$。
因为x＞8时进入滑行阶段，$x_1=5+2\sqrt{5}＞8$不符合抛物线阶段的取值范围，故舍去，保留$x=5-2\sqrt{5}$。
② 将y=2.7代入直线解析式$y=-\frac{1}{2}x +7.8$：
$2.7=-\frac{1}{2}x +7.8$，解得$x=10.2$。
结合函数图象可知，当$5-2\sqrt{5}＜d＜10.2$时，纸飞机飞行高度高于2.7m，可以飞过围栏。
【答案】
(1) $\boxed{2.2}$，$\boxed{7.8}$
(2) 当$\boxed{5-2\sqrt{5}＜d＜10.2}$时，纸飞机可以飞过围栏。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数实际应用，一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查一次函数与二次函数的综合应用，解题关键是明确函数图象上的点满足对应函数解析式，同时要结合实际意义对计算结果进行合理取舍，能很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
