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24(12分)某商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天内的销售单价$p$(元/kg)与时间$t$(天)之间的函数表达式为$p=\begin{cases}\dfrac{1}{4}t + 30&(1≤ t≤24,t为整数), \\-\dfrac{1}{2}t + 48&(25≤ t≤48,t为整数),\end{cases}$且其日销售量$y$(kg)与时间$t$(天)的关系如下表：
(1)已知$y$与$t$之间的变化规律符合一次函数关系，求$y$与$t$的函数表达式.
(2)哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)在实际销售的前24天中，若公司获得的利润不低于1232元，试求天数$t$的取值范围.
(1)已知$y$与$t$之间的变化规律符合一次函数关系，求$y$与$t$的函数表达式.
(2)哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)在实际销售的前24天中，若公司获得的利润不低于1232元，试求天数$t$的取值范围.
答案
24.解:(1)设 y=kt+b,把 t=1,y=118;t=3,y=114 代入,得 $\begin{cases}k+b=118,\\3k+b=114,\end{cases}$
∴$\begin{cases}k=-2,\\b=120,\end{cases}$
∴y=-2t+120.
(2)设第 t 天的销售利润为 w 元.
当 1≤t≤24,t 为整数时,由题意得 $ w=(-2t+120)(\dfrac{1}{4} t+30-20)=-\dfrac{1}{2}(t-10)^2+1250 $,
∴当 t=10 时,$ w_{最大值}=1250 $.
当 25≤t≤48,t 为整数时,$ w=(-2t+120)(-\dfrac{1}{2} t+48-20)=t^2-116t+3360=(t-58)^2-4 $.
∵对称轴 t=58,a=1＞0,
∴在对称轴左侧 w 随 t 的增大而减小,
∴当 t=25 时,$ w_{最大值}=1085 $.
∵1250＞1085,
∴在第 10 天的销售利润最大.
综上所述,第 10 天销售利润最大,最大日利润为 1250 元.
(3)由题意可知,当 1≤t≤24,t 为整数时,
$ w=-\dfrac{1}{2}(t-10)^2+1250 $.
令 w=1232,
∴$ 1232=-\dfrac{1}{2}(t-10)^2+1250 $.
∴t-10=±6.
∴t=4 或 t=16.
∵抛物线开口向下,
∴当 4≤t≤16 时,w≥1232.
又
∵1≤t≤24,且 t 为整数,
∴天数 t 的取值范围是 4≤t≤16(t 为整数).
∴$\begin{cases}k=-2,\\b=120,\end{cases}$
∴y=-2t+120.
(2)设第 t 天的销售利润为 w 元.
当 1≤t≤24,t 为整数时,由题意得 $ w=(-2t+120)(\dfrac{1}{4} t+30-20)=-\dfrac{1}{2}(t-10)^2+1250 $,
∴当 t=10 时,$ w_{最大值}=1250 $.
当 25≤t≤48,t 为整数时,$ w=(-2t+120)(-\dfrac{1}{2} t+48-20)=t^2-116t+3360=(t-58)^2-4 $.
∵对称轴 t=58,a=1＞0,
∴在对称轴左侧 w 随 t 的增大而减小,
∴当 t=25 时,$ w_{最大值}=1085 $.
∵1250＞1085,
∴在第 10 天的销售利润最大.
综上所述,第 10 天销售利润最大,最大日利润为 1250 元.
(3)由题意可知,当 1≤t≤24,t 为整数时,
$ w=-\dfrac{1}{2}(t-10)^2+1250 $.
令 w=1232,
∴$ 1232=-\dfrac{1}{2}(t-10)^2+1250 $.
∴t-10=±6.
∴t=4 或 t=16.
∵抛物线开口向下,
∴当 4≤t≤16 时,w≥1232.
又
∵1≤t≤24,且 t 为整数,
∴天数 t 的取值范围是 4≤t≤16(t 为整数).
解析
【分析】
(1) 已知y与t是一次函数关系，采用待定系数法求解即可：从表格中选取两组t和y的对应值代入一次函数一般式$y=kt+b$，解二元一次方程组求出k、b的值，就能得到函数表达式。
(2) 销售利润=每千克利润×日销售量，每千克利润为销售单价p减去成本20元/kg。由于p是分段函数，因此需要分$1≤t≤24$和$25≤t≤48$两个区间，分别构造利润w关于t的函数，再结合函数性质分别求出两个区间内的最大利润，比较两个最大值即可得到最终结果。
(3) 前24天的利润函数已在第(2)问求出，是开口向下的二次函数。要求利润不低于1232元，先令$w=1232$，解出对应的t的值，再结合二次函数开口方向和自变量的取值范围，就能得到满足条件的t的取值范围。
【解析】
(1) 设y与t的函数表达式为$y=kt+b$，
将$t=1,y=118$和$t=3,y=114$代入得：
$\begin{cases}k+b=118\\3k+b=114\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=120\end{cases}$
∴y与t的函数表达式为$y=-2t+120$。
(2) 设第t天的销售利润为w元。
① 当$1≤t≤24$，t为整数时，每千克利润为$p-20=\frac{1}{4}t+30-20=\frac{1}{4}t+10$，
$\begin{aligned}w&=(-2t+120)(\frac{1}{4}t+10)\\&=-\frac{1}{2}t^2+10t+1200\\&=-\frac{1}{2}(t-10)^2+1250\end{aligned}$
∵$-\frac{1}{2}＜0$，
∴当$t=10$时，w取得最大值，最大值为1250元。
② 当$25≤t≤48$，t为整数时，每千克利润为$p-20=-\frac{1}{2}t+48-20=-\frac{1}{2}t+28$，
$\begin{aligned}w&=(-2t+120)(-\frac{1}{2}t+28)\\&=t^2-116t+3360\\&=(t-58)^2-4\end{aligned}$
∵$1＞0$，对称轴为$t=58$，
∴当$25≤t≤48$时，w随t的增大而减小，
∴当$t=25$时，w取得最大值，最大值为$(25-58)^2-4=1085$元。
∵$1250＞1085$，
∴第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元。
(3) 前24天的利润函数为$w=-\frac{1}{2}(t-10)^2+1250$（$1≤t≤24$，t为整数），
令$w=1232$，得：
$1232=-\frac{1}{2}(t-10)^2+1250$
整理得$(t-10)^2=36$，
解得$t=4$或$t=16$。
∵抛物线开口向下，
∴当$4≤t≤16$时，$w≥1232$，
又
∵$1≤t≤24$，t为整数，
∴天数t的取值范围是$4≤t≤16$（t为整数）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2t+120}$
(2) 第10天的销售利润最大，最大日销售利润为$\boldsymbol{1250}$元
(3) $\boldsymbol{4≤t≤16}$（t为整数）
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值应用；二次函数与不等式
【点评】
本题是分段函数结合二次函数的实际应用问题，解题时需注意分类讨论不同时间段对应的函数表达式，求最值时要结合自变量的取值范围和函数的增减性分析，第三问利用二次函数的图象性质求解不等式，考查了对函数知识的综合运用能力和实际问题的分析能力。
【难度系数】
0.65
(1) 已知y与t是一次函数关系，采用待定系数法求解即可：从表格中选取两组t和y的对应值代入一次函数一般式$y=kt+b$，解二元一次方程组求出k、b的值，就能得到函数表达式。
(2) 销售利润=每千克利润×日销售量，每千克利润为销售单价p减去成本20元/kg。由于p是分段函数，因此需要分$1≤t≤24$和$25≤t≤48$两个区间，分别构造利润w关于t的函数，再结合函数性质分别求出两个区间内的最大利润，比较两个最大值即可得到最终结果。
(3) 前24天的利润函数已在第(2)问求出，是开口向下的二次函数。要求利润不低于1232元，先令$w=1232$，解出对应的t的值，再结合二次函数开口方向和自变量的取值范围，就能得到满足条件的t的取值范围。
【解析】
(1) 设y与t的函数表达式为$y=kt+b$，
将$t=1,y=118$和$t=3,y=114$代入得：
$\begin{cases}k+b=118\\3k+b=114\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=120\end{cases}$
∴y与t的函数表达式为$y=-2t+120$。
(2) 设第t天的销售利润为w元。
① 当$1≤t≤24$，t为整数时，每千克利润为$p-20=\frac{1}{4}t+30-20=\frac{1}{4}t+10$，
$\begin{aligned}w&=(-2t+120)(\frac{1}{4}t+10)\\&=-\frac{1}{2}t^2+10t+1200\\&=-\frac{1}{2}(t-10)^2+1250\end{aligned}$
∵$-\frac{1}{2}＜0$，
∴当$t=10$时，w取得最大值，最大值为1250元。
② 当$25≤t≤48$，t为整数时，每千克利润为$p-20=-\frac{1}{2}t+48-20=-\frac{1}{2}t+28$，
$\begin{aligned}w&=(-2t+120)(-\frac{1}{2}t+28)\\&=t^2-116t+3360\\&=(t-58)^2-4\end{aligned}$
∵$1＞0$，对称轴为$t=58$，
∴当$25≤t≤48$时，w随t的增大而减小，
∴当$t=25$时，w取得最大值，最大值为$(25-58)^2-4=1085$元。
∵$1250＞1085$，
∴第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元。
(3) 前24天的利润函数为$w=-\frac{1}{2}(t-10)^2+1250$（$1≤t≤24$，t为整数），
令$w=1232$，得：
$1232=-\frac{1}{2}(t-10)^2+1250$
整理得$(t-10)^2=36$，
解得$t=4$或$t=16$。
∵抛物线开口向下，
∴当$4≤t≤16$时，$w≥1232$，
又
∵$1≤t≤24$，t为整数，
∴天数t的取值范围是$4≤t≤16$（t为整数）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2t+120}$
(2) 第10天的销售利润最大，最大日销售利润为$\boldsymbol{1250}$元
(3) $\boldsymbol{4≤t≤16}$（t为整数）
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值应用；二次函数与不等式
【点评】
本题是分段函数结合二次函数的实际应用问题，解题时需注意分类讨论不同时间段对应的函数表达式，求最值时要结合自变量的取值范围和函数的增减性分析，第三问利用二次函数的图象性质求解不等式，考查了对函数知识的综合运用能力和实际问题的分析能力。
【难度系数】
0.65
25(14分)在平面直角坐标系中,抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴交于$A$、$B$两点,与$y$轴交于点$C$,且点$A$的坐标为$(-1,0)$,点$C$的坐标为$(0,3)$.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)如图甲,若点$P$是第一象限内抛物线上的一动点.当点$P$到直线$BC$的距离最大时,求点$P$的坐标;
(3)图乙中,若点$M$是抛物线上一点,点$N$是抛物线对称轴上一点,是否存在点$M$使得以点$B$、$C$、$M$、$N$为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点$M$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)如图甲,若点$P$是第一象限内抛物线上的一动点.当点$P$到直线$BC$的距离最大时,求点$P$的坐标;
(3)图乙中,若点$M$是抛物线上一点,点$N$是抛物线对称轴上一点,是否存在点$M$使得以点$B$、$C$、$M$、$N$为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点$M$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
25.解:(1)抛物线 $ y=-x^2+bx+c $ 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,且点 A 的坐标为 (-1,0),点 C 的坐标为 (0,3).
将点 A、C 的坐标分别代入,得 $\begin{cases}0=-1-b+c,\\3=c,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=2,\\c=3,\end{cases}$
∴抛物线的表达式为 $ y=-x^2+2x+3 $.
(2)过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D,交 BC 于点 Q,过点 P 作 PH⊥BC 于点 H,如图1.
抛物线 $ y=-x^2+2x+3 $ 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,
当 y=0 时,$ -x^2+2x+3=0 $,
解得 x=3 或 x=-1,
∴B(3,0).
∵点 C 的坐标为 (0,3),
∴OB=OC=3,
∴△BOC 是等腰直角三角形,
∴∠CBO=45°.
∵PD⊥x 轴,
∴∠BQD=45°=∠PQH,
∴△PHQ 是等腰直角三角形,
∴$ PH=\dfrac{PQ}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} PQ $,
∴当 PQ 最大时,PH 最大.
设直线 BC 的表达式为 y=kx+3,
将点 B 的坐标代入,得 0=3k+3,解得 k=-1.
∴直线 BC 的表达式为 y=-x+3.
设 $ P(m,-m^2+2m+3)(0＜m＜3) $,则 Q(m,-m+3),
∴$ PQ=(-m^2+2m+3)-(-m+3)=-m^2+3m=-(m-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{4} $.
∵a=-1＜0,
∴当 $ m=\dfrac{3}{2} $ 时,PQ 最大为 $ \dfrac{9}{4} $,
∴当 $ m=\dfrac{3}{2} $ 时,PH 最大,即点 P 到直线 BC 的距离最大,此时 $ P(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4}) $.
(3)存在点 M 使得以点 B、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形,点 M 的坐标为 (2,3) 或 (-2,-5) 或 (4,-5).理由如下:
抛物线 $ y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4 $ 的对称轴为直线 x=1.
设 $ M(s,-s^2+2s+3) $,N(1,t),而 B(3,0),C(0,3).
①以 MN、BC 为对角线,则 MN、BC 的中点重合,如图2.
依题意,得 $\begin{cases}\dfrac{s+1}{2}=\dfrac{3+0}{2},\\\dfrac{-s^2+2s+3+t}{2}=\dfrac{0+3}{2},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}s=2,\\t=0,\end{cases}$
∴M(2,3);
②以 MB、NC 为对角线,则 MB、NC 的中点重合,如图3.
依题意,得 $\begin{cases}\dfrac{s+3}{2}=\dfrac{1+0}{2},\\\dfrac{-s^2+2s+3+0}{2}=\dfrac{t+3}{2},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}s=-2,\\t=-8,\end{cases}$
∴M(-2,-5);
③以 MC、NB 为对角线,则 MC、NB 的中点重合,如图4.
依题意,得 $\begin{cases}\dfrac{s+0}{2}=\dfrac{1+3}{2},\\\dfrac{-s^2+2s+3+3}{2}=\dfrac{t+0}{2},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}s=4,\\t=-2,\end{cases}$
∴M(4,-5).
综上所述,存在点 M 使得以点 B、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形,点 M 的坐标为 (2,3) 或 (-2,-5) 或 (4,-5).
解析
【分析】
(1) 已知抛物线过A(-1,0)、C(0,3)两个定点，可直接将两点坐标代入抛物线的一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可得到系数值，进而确定抛物线表达式。
(2) 求点P到直线BC的最大距离，首先先求出B点坐标，可判断△BOC为等腰直角三角形，过P作PD垂直x轴交BC于点Q，可推出点P到BC的距离PH与PQ长度成固定比例，因此只需找到PQ的最大值即可。先求出直线BC的解析式，设P点横坐标为m，用含m的代数式表示P、Q的纵坐标，得到PQ关于m的二次函数，利用二次函数性质求最值，即可得到对应P点坐标。
(3) 平行四边形存在性问题需分类讨论对角线的组合情况：分别以BC和MN、MB和NC、MC和NB为对角线三种情况，根据平行四边形对角线互相平分，即两组对角线的中点坐标重合，结合B、C的坐标及N在抛物线对称轴上的条件，列方程求解即可得到M点坐标。
【解析】
(1)抛物线 $ y=-x^2+bx+c $ 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,且点 A 的坐标为 (-1,0),点 C 的坐标为 (0,3).
将点 A、C 的坐标分别代入,得 $\begin{cases}0=-1-b+c,\\3=c,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=2,\\c=3,\end{cases}$
∴抛物线的表达式为 $ y=-x^2+2x+3 $.
(2)过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D,交 BC 于点 Q,过点 P 作 PH⊥BC 于点 H,如图1.
抛物线 $ y=-x^2+2x+3 $ 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,
当 y=0 时,$ -x^2+2x+3=0 $,
解得 x=3 或 x=-1,
∴B(3,0).
∵点 C 的坐标为 (0,3),
∴OB=OC=3,
∴△BOC 是等腰直角三角形,
∴∠CBO=45°.
∵PD⊥x 轴,
∴∠BQD=45°=∠PQH,
∴△PHQ 是等腰直角三角形,
∴$ PH=\dfrac{PQ}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} PQ $,
∴当 PQ 最大时,PH 最大.
设直线 BC 的表达式为 y=kx+3,
将点 B 的坐标代入,得 0=3k+3,解得 k=-1.
∴直线 BC 的表达式为 y=-x+3.
设 $ P(m,-m^2+2m+3)(0＜m＜3) $,则 Q(m,-m+3),
∴$ PQ=(-m^2+2m+3)-(-m+3)=-m^2+3m=-(m-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{4} $.
∵a=-1＜0,
∴当 $ m=\dfrac{3}{2} $ 时,PQ 最大为 $ \dfrac{9}{4} $,
∴当 $ m=\dfrac{3}{2} $ 时,PH 最大,即点 P 到直线 BC 的距离最大,此时 $ P(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4}) $.
(3)存在点 M 使得以点 B、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形,理由如下:
抛物线 $ y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4 $ 的对称轴为直线 x=1.
设 $ M(s,-s^2+2s+3) $,N(1,t),而 B(3,0),C(0,3).
①以 MN、BC 为对角线,则 MN、BC 的中点重合,如图2.
依题意,得 $\begin{cases}\dfrac{s+1}{2}=\dfrac{3+0}{2},\\\dfrac{-s^2+2s+3+t}{2}=\dfrac{0+3}{2},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}s=2,\\t=0,\end{cases}$
∴M(2,3);
②以 MB、NC 为对角线,则 MB、NC 的中点重合,如图3.
依题意,得 $\begin{cases}\dfrac{s+3}{2}=\dfrac{1+0}{2},\\\dfrac{-s^2+2s+3+0}{2}=\dfrac{t+3}{2},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}s=-2,\\t=-8,\end{cases}$
∴M(-2,-5);
③以 MC、NB 为对角线,则 MC、NB 的中点重合,如图4.
依题意,得 $\begin{cases}\dfrac{s+0}{2}=\dfrac{1+3}{2},\\\dfrac{-s^2+2s+3+3}{2}=\dfrac{t+0}{2},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}s=4,\\t=-2,\end{cases}$
∴M(4,-5).
综上所述,存在满足条件的点M。
【答案】
(1) $ y=-x^2+2x+3 $
(2) $P(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$
(3) 存在，点M的坐标为 $(2,3)$ 或 $(-2,-5)$ 或 $(4,-5)$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的最值应用
3. 平行四边形的性质
【点评】
本题是二次函数与几何结合的综合题，难度梯度清晰，第一问考查基础的解析式求解，第二问通过几何转化将距离最值问题转化为二次函数最值问题，侧重考查转化思想，第三问需要分类讨论平行四边形的对角线情况，侧重考查分类讨论思想，熟练掌握中点坐标公式在平行四边形存在性问题中的应用是解题的关键。
【难度系数】
0.4
(1) 已知抛物线过A(-1,0)、C(0,3)两个定点，可直接将两点坐标代入抛物线的一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可得到系数值，进而确定抛物线表达式。
(2) 求点P到直线BC的最大距离，首先先求出B点坐标，可判断△BOC为等腰直角三角形，过P作PD垂直x轴交BC于点Q，可推出点P到BC的距离PH与PQ长度成固定比例，因此只需找到PQ的最大值即可。先求出直线BC的解析式，设P点横坐标为m，用含m的代数式表示P、Q的纵坐标，得到PQ关于m的二次函数，利用二次函数性质求最值，即可得到对应P点坐标。
(3) 平行四边形存在性问题需分类讨论对角线的组合情况：分别以BC和MN、MB和NC、MC和NB为对角线三种情况，根据平行四边形对角线互相平分，即两组对角线的中点坐标重合，结合B、C的坐标及N在抛物线对称轴上的条件，列方程求解即可得到M点坐标。
【解析】
(1)抛物线 $ y=-x^2+bx+c $ 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,且点 A 的坐标为 (-1,0),点 C 的坐标为 (0,3).
将点 A、C 的坐标分别代入,得 $\begin{cases}0=-1-b+c,\\3=c,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=2,\\c=3,\end{cases}$
∴抛物线的表达式为 $ y=-x^2+2x+3 $.
(2)过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D,交 BC 于点 Q,过点 P 作 PH⊥BC 于点 H,如图1.
抛物线 $ y=-x^2+2x+3 $ 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,
当 y=0 时,$ -x^2+2x+3=0 $,
解得 x=3 或 x=-1,
∴B(3,0).
∵点 C 的坐标为 (0,3),
∴OB=OC=3,
∴△BOC 是等腰直角三角形,
∴∠CBO=45°.
∵PD⊥x 轴,
∴∠BQD=45°=∠PQH,
∴△PHQ 是等腰直角三角形,
∴$ PH=\dfrac{PQ}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} PQ $,
∴当 PQ 最大时,PH 最大.
设直线 BC 的表达式为 y=kx+3,
将点 B 的坐标代入,得 0=3k+3,解得 k=-1.
∴直线 BC 的表达式为 y=-x+3.
设 $ P(m,-m^2+2m+3)(0＜m＜3) $,则 Q(m,-m+3),
∴$ PQ=(-m^2+2m+3)-(-m+3)=-m^2+3m=-(m-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{4} $.
∵a=-1＜0,
∴当 $ m=\dfrac{3}{2} $ 时,PQ 最大为 $ \dfrac{9}{4} $,
∴当 $ m=\dfrac{3}{2} $ 时,PH 最大,即点 P 到直线 BC 的距离最大,此时 $ P(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4}) $.
(3)存在点 M 使得以点 B、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形,理由如下:
抛物线 $ y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4 $ 的对称轴为直线 x=1.
设 $ M(s,-s^2+2s+3) $,N(1,t),而 B(3,0),C(0,3).
①以 MN、BC 为对角线,则 MN、BC 的中点重合,如图2.
依题意,得 $\begin{cases}\dfrac{s+1}{2}=\dfrac{3+0}{2},\\\dfrac{-s^2+2s+3+t}{2}=\dfrac{0+3}{2},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}s=2,\\t=0,\end{cases}$
∴M(2,3);
②以 MB、NC 为对角线,则 MB、NC 的中点重合,如图3.
依题意,得 $\begin{cases}\dfrac{s+3}{2}=\dfrac{1+0}{2},\\\dfrac{-s^2+2s+3+0}{2}=\dfrac{t+3}{2},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}s=-2,\\t=-8,\end{cases}$
∴M(-2,-5);
③以 MC、NB 为对角线,则 MC、NB 的中点重合,如图4.
依题意,得 $\begin{cases}\dfrac{s+0}{2}=\dfrac{1+3}{2},\\\dfrac{-s^2+2s+3+3}{2}=\dfrac{t+0}{2},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}s=4,\\t=-2,\end{cases}$
∴M(4,-5).
综上所述,存在满足条件的点M。
【答案】
(1) $ y=-x^2+2x+3 $
(2) $P(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$
(3) 存在，点M的坐标为 $(2,3)$ 或 $(-2,-5)$ 或 $(4,-5)$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的最值应用
3. 平行四边形的性质
【点评】
本题是二次函数与几何结合的综合题，难度梯度清晰，第一问考查基础的解析式求解，第二问通过几何转化将距离最值问题转化为二次函数最值问题，侧重考查转化思想，第三问需要分类讨论平行四边形的对角线情况，侧重考查分类讨论思想，熟练掌握中点坐标公式在平行四边形存在性问题中的应用是解题的关键。
【难度系数】
0.4
