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一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分)
名师微课
1. 将二次函数$y=2x^2 - 4x + 6$化为$y=a(x-h)^2 + k$的形式,结果为 (
A.$y=2(x+1)^2 + 8$
B.$y=2(x+1)^2 + 4$
C.$y=2(x-1)^2 + 8$
D.$y=2(x-1)^2 + 4$
名师微课
1. 将二次函数$y=2x^2 - 4x + 6$化为$y=a(x-h)^2 + k$的形式,结果为 (
D
)A.$y=2(x+1)^2 + 8$
B.$y=2(x+1)^2 + 4$
C.$y=2(x-1)^2 + 8$
D.$y=2(x-1)^2 + 4$
答案
1.D
解析
【分析】
这道题要求将二次函数的一般式转化为顶点式，核心解题方法是配方法。解题思路可分为三步：首先提取二次项系数，将含x的项整理到同一括号内；然后在括号内加上并减去一次项系数一半的平方，将括号内的代数式凑成完全平方式；最后合并常数项得到顶点式，再和选项对比选出正确答案即可。
【解析】
对二次函数$y=2x^2 - 4x + 6$进行配方：
1. 提取二次项系数2，把含x的项放在括号内：
$y=2(x^2 - 2x) + 6$
2. 括号内凑完全平方：一次项系数为$-2$，它的一半的平方为$(-2÷2)^2=1$，在括号内加1再减1保证代数式的值不变：
$y=2[(x^2 - 2x + 1) - 1] + 6$
3. 整理完全平方式，合并常数项：
$y=2(x-1)^2 - 2×1 + 6$
$y=2(x-1)^2 + 4$
对比选项，D选项符合所得结果。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数一般式化顶点式
2. 配方法的应用
【点评】
本题是二次函数的基础常考题型，主要考察配方法的运算规则，熟练掌握配方法的操作步骤就能快速求解，是学习二次函数顶点性质的基础题型。
【难度系数】
0.8
这道题要求将二次函数的一般式转化为顶点式，核心解题方法是配方法。解题思路可分为三步：首先提取二次项系数，将含x的项整理到同一括号内；然后在括号内加上并减去一次项系数一半的平方，将括号内的代数式凑成完全平方式；最后合并常数项得到顶点式，再和选项对比选出正确答案即可。
【解析】
对二次函数$y=2x^2 - 4x + 6$进行配方：
1. 提取二次项系数2，把含x的项放在括号内：
$y=2(x^2 - 2x) + 6$
2. 括号内凑完全平方：一次项系数为$-2$，它的一半的平方为$(-2÷2)^2=1$，在括号内加1再减1保证代数式的值不变：
$y=2[(x^2 - 2x + 1) - 1] + 6$
3. 整理完全平方式，合并常数项：
$y=2(x-1)^2 - 2×1 + 6$
$y=2(x-1)^2 + 4$
对比选项，D选项符合所得结果。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数一般式化顶点式
2. 配方法的应用
【点评】
本题是二次函数的基础常考题型，主要考察配方法的运算规则，熟练掌握配方法的操作步骤就能快速求解，是学习二次函数顶点性质的基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数表达式为$y=-\frac{1}{3}x^2$，当水面离桥顶的高度为$\frac{16}{3}$米时，水面的宽度为（
A.8米
B.9米
C.10米
D.11米
A
）A.8米
B.9米
C.10米
D.11米
答案
2.A
解析
【分析】
本题考查二次函数的实际应用，解题思路如下：首先明确坐标系的意义：桥顶为坐标原点，y轴向上，因此水面比桥顶低$\frac{16}{3}$米时，水面所在位置对应的函数纵坐标为$y=-\frac{16}{3}$；接下来将y值代入抛物线解析式，求解得到对应的x值；最后水面宽度为两个x值的差的绝对值，即可得到结果。
【解析】
由题意可知，桥顶为坐标原点，y轴向上，当水面离桥顶高度为$\frac{16}{3}$米时，水面对应点的纵坐标为$y=-\frac{16}{3}$。
将$y=-\frac{16}{3}$代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{3}x^2$，得：
$-\frac{16}{3}=-\frac{1}{3}x^2$
两边同时乘以$-3$，得：$x^2=16$
解得：$x_1=4$，$x_2=-4$
因此水面两个端点的坐标为$(4,-\frac{16}{3})$和$(-4,-\frac{16}{3})$，水面宽度为$4-(-4)=8$米。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数图像上点的坐标特征，解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础应用题型，解题的关键是将实际高度转化为二次函数中对应的纵坐标，代入解析式求解即可，注重考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的实际应用，解题思路如下：首先明确坐标系的意义：桥顶为坐标原点，y轴向上，因此水面比桥顶低$\frac{16}{3}$米时，水面所在位置对应的函数纵坐标为$y=-\frac{16}{3}$；接下来将y值代入抛物线解析式，求解得到对应的x值；最后水面宽度为两个x值的差的绝对值，即可得到结果。
【解析】
由题意可知，桥顶为坐标原点，y轴向上，当水面离桥顶高度为$\frac{16}{3}$米时，水面对应点的纵坐标为$y=-\frac{16}{3}$。
将$y=-\frac{16}{3}$代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{3}x^2$，得：
$-\frac{16}{3}=-\frac{1}{3}x^2$
两边同时乘以$-3$，得：$x^2=16$
解得：$x_1=4$，$x_2=-4$
因此水面两个端点的坐标为$(4,-\frac{16}{3})$和$(-4,-\frac{16}{3})$，水面宽度为$4-(-4)=8$米。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数图像上点的坐标特征，解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础应用题型，解题的关键是将实际高度转化为二次函数中对应的纵坐标，代入解析式求解即可，注重考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
3.下表记录了关于x的二次函数$y=ax^2+bx+3(a≠0)$中两个变量x与y的3组对应值.
根据表中信息,当$-5＜x＜0$时,直线$y=k$与该二次函数图像有两个公共点,则k的取值范围是（
A.$\frac{8}{3}＜k≤3$
B.$\frac{8}{3}＜k＜3$
C.$-5＜k≤3$
D.$-5＜k＜3$
根据表中信息,当$-5＜x＜0$时,直线$y=k$与该二次函数图像有两个公共点,则k的取值范围是（
B
）A.$\frac{8}{3}＜k≤3$
B.$\frac{8}{3}＜k＜3$
C.$-5＜k≤3$
D.$-5＜k＜3$
答案
3.B
解析
【分析】
首先观察表格数据，x=-5和x=3时函数值相等，说明这两个点关于二次函数的对称轴对称，先计算出对称轴，结合x=-1对应的函数值得到顶点坐标，代入二次函数解析式求出参数确定函数表达式，再分析-5＜x＜0区间内直线y=k与函数图像交点个数和k的对应关系，即可求出k的取值范围。
【解析】
1. 求对称轴与顶点：
∵x=-5和x=3的函数值相等，
∴二次函数的对称轴为直线$x=\frac{-5+3}{2}=-1$，由表格可知顶点坐标为$(-1,\frac{8}{3})$。
2. 求二次函数解析式：
二次函数为$y=ax^2+bx+3$，根据对称轴公式$-\frac{b}{2a}=-1$，可得$b=2a$。
将顶点$(-1,\frac{8}{3})$代入解析式得：$a·(-1)^2 + b·(-1)+3=\frac{8}{3}$，即$a-b=-\frac{1}{3}$。
把$b=2a$代入上式，解得$a=\frac{1}{3}$，$b=\frac{2}{3}$，因此函数解析式为$y=\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+3$，开口向上，顶点为最小值点。
3. 分析区间内交点个数：
当$k=\frac{8}{3}$时，直线$y=k$仅与函数交于顶点，只有1个公共点；
当$\frac{8}{3}＜k＜3$时，方程$\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+3=k$的两个根都落在$-5＜x＜0$区间内，有2个公共点；
当$k=3$时，解方程得$x=0$或$x=-2$，x=0不在给定区间内，仅1个公共点；
当$k＞3$时，方程的两个根一个在$(-5,-1)$，另一个在$(0,+∞)$，仅1个根在区间内，只有1个公共点。
因此要使直线$y=k$与二次函数图像在$-5＜x＜0$时有两个公共点，k的取值范围是$\frac{8}{3}＜k＜3$。
【答案】B
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题解题的突破口是利用函数值相等的两点求出对称轴，进而确定二次函数解析式，分析交点个数时要注意给定的自变量取值范围的端点是否包含，避免漏看边界条件出错。
【难度系数】
0.6
首先观察表格数据，x=-5和x=3时函数值相等，说明这两个点关于二次函数的对称轴对称，先计算出对称轴，结合x=-1对应的函数值得到顶点坐标，代入二次函数解析式求出参数确定函数表达式，再分析-5＜x＜0区间内直线y=k与函数图像交点个数和k的对应关系，即可求出k的取值范围。
【解析】
1. 求对称轴与顶点：
∵x=-5和x=3的函数值相等，
∴二次函数的对称轴为直线$x=\frac{-5+3}{2}=-1$，由表格可知顶点坐标为$(-1,\frac{8}{3})$。
2. 求二次函数解析式：
二次函数为$y=ax^2+bx+3$，根据对称轴公式$-\frac{b}{2a}=-1$，可得$b=2a$。
将顶点$(-1,\frac{8}{3})$代入解析式得：$a·(-1)^2 + b·(-1)+3=\frac{8}{3}$，即$a-b=-\frac{1}{3}$。
把$b=2a$代入上式，解得$a=\frac{1}{3}$，$b=\frac{2}{3}$，因此函数解析式为$y=\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+3$，开口向上，顶点为最小值点。
3. 分析区间内交点个数：
当$k=\frac{8}{3}$时，直线$y=k$仅与函数交于顶点，只有1个公共点；
当$\frac{8}{3}＜k＜3$时，方程$\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+3=k$的两个根都落在$-5＜x＜0$区间内，有2个公共点；
当$k=3$时，解方程得$x=0$或$x=-2$，x=0不在给定区间内，仅1个公共点；
当$k＞3$时，方程的两个根一个在$(-5,-1)$，另一个在$(0,+∞)$，仅1个根在区间内，只有1个公共点。
因此要使直线$y=k$与二次函数图像在$-5＜x＜0$时有两个公共点，k的取值范围是$\frac{8}{3}＜k＜3$。
【答案】B
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题解题的突破口是利用函数值相等的两点求出对称轴，进而确定二次函数解析式，分析交点个数时要注意给定的自变量取值范围的端点是否包含，避免漏看边界条件出错。
【难度系数】
0.6
4. 以矩形ABCD的一个顶点为原点，过这个点的两边所在的直线为坐标轴，规定向右、向上为正方向，建立平面直角坐标系，画出二次函数$y = mx^2 + 2mx + 1(m≠0)$的大致图像如图所示，则这个坐标系的原点是（
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
C
）A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
答案
4.C
解析
【分析】
解题可按以下思路进行：第一步先从二次函数解析式入手，推导它的开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标这三个核心特征；第二步结合坐标系“向右、向上为正”的规则，明确原点位置需要匹配的图像条件；第三步将四个选项逐一代入验证，和函数特征匹配的就是正确答案。
首先由图像开口向上可判断m＞0，用对称轴公式可算出对称轴为x=-1，说明y轴在对称轴右侧1个单位处；令x=0可得y=1，说明抛物线和y轴交于点(0,1)，即x=0时函数值为正，且比顶点纵坐标大。
后续验证四个点时，假设每个小方格边长为1，看哪个点作为原点时，能同时满足对称轴x=-1、抛物线过(0,1)这两个特征即可。
【解析】
1. 推导二次函数的核心特征：
① 由图像开口向上，得$m＞0$；
② 求对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=m$，$b=2m$，得$x=-\frac{2m}{2m}=-1$，即抛物线对称轴为直线$x=-1$；
③ 求与y轴交点：令$x=0$，代入解析式得$y=1$，即抛物线与y轴交于点$(0,1)$。
2. 逐一验证选项：
若原点为点C：过C的竖直线为y轴，过C的水平线为x轴，点D坐标为$(0,1)$，过B的竖直线为$x=-1$，正好是抛物线对称轴，和图像特征完全匹配。
若原点为点A：$x=0$时$y=1$的点在A上方，和图像中A点处抛物线$y=0$的特征矛盾，排除。
若原点为点B：对称轴$x=-1$在B左侧，不在矩形范围内，和图像对称轴位置矛盾，排除。
若原点为点D：$x=0$时$y=1$的点在D上方，和图像中D点处抛物线$y=0$的特征矛盾，排除。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像与性质；平面直角坐标系
【点评】
本题将二次函数性质和平面直角坐标系的定位结合考查，解题关键是准确求出二次函数的对称轴和与y轴交点，再结合网格特征匹配原点位置，属于基础的函数图像应用类题目。
【难度系数】
0.75
解题可按以下思路进行：第一步先从二次函数解析式入手，推导它的开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标这三个核心特征；第二步结合坐标系“向右、向上为正”的规则，明确原点位置需要匹配的图像条件；第三步将四个选项逐一代入验证，和函数特征匹配的就是正确答案。
首先由图像开口向上可判断m＞0，用对称轴公式可算出对称轴为x=-1，说明y轴在对称轴右侧1个单位处；令x=0可得y=1，说明抛物线和y轴交于点(0,1)，即x=0时函数值为正，且比顶点纵坐标大。
后续验证四个点时，假设每个小方格边长为1，看哪个点作为原点时，能同时满足对称轴x=-1、抛物线过(0,1)这两个特征即可。
【解析】
1. 推导二次函数的核心特征：
① 由图像开口向上，得$m＞0$；
② 求对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=m$，$b=2m$，得$x=-\frac{2m}{2m}=-1$，即抛物线对称轴为直线$x=-1$；
③ 求与y轴交点：令$x=0$，代入解析式得$y=1$，即抛物线与y轴交于点$(0,1)$。
2. 逐一验证选项：
若原点为点C：过C的竖直线为y轴，过C的水平线为x轴，点D坐标为$(0,1)$，过B的竖直线为$x=-1$，正好是抛物线对称轴，和图像特征完全匹配。
若原点为点A：$x=0$时$y=1$的点在A上方，和图像中A点处抛物线$y=0$的特征矛盾，排除。
若原点为点B：对称轴$x=-1$在B左侧，不在矩形范围内，和图像对称轴位置矛盾，排除。
若原点为点D：$x=0$时$y=1$的点在D上方，和图像中D点处抛物线$y=0$的特征矛盾，排除。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像与性质；平面直角坐标系
【点评】
本题将二次函数性质和平面直角坐标系的定位结合考查，解题关键是准确求出二次函数的对称轴和与y轴交点，再结合网格特征匹配原点位置，属于基础的函数图像应用类题目。
【难度系数】
0.75
5已知抛物线$y=-x^2-4x-3$与直线$y=t$有两个交点$M$、$N$，若$MN≤6$，则$t$的取值范围为（
A.$t≥-8$
B.$-8≤t＜1$
C.$-8＜t＜1$
D.$-8≤t≤1$
B
）A.$t≥-8$
B.$-8≤t＜1$
C.$-8＜t＜1$
D.$-8≤t≤1$
答案
5.B
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步，先判断抛物线的开口方向和顶点坐标，直线y=t平行于x轴，和开口向下的抛物线有两个交点时，t必须小于顶点的纵坐标，这是解题的前提；第二步，两个交点的纵坐标均为t，因此交点距离MN就是两点横坐标差的绝对值；第三步，将y=t代入抛物线解析式得到一元二次方程，方程的两个根就是两个交点的横坐标，利用韦达定理求出两根差的表达式，结合MN≤6列不等式求解，最后结合有两个交点的限制条件就能得到t的取值范围。
【解析】
1. 先将抛物线配方为顶点式：
$y=-x^2-4x-3=-(x^2+4x)-3=-(x+2)^2+1$
可知抛物线开口向下，顶点坐标为$(-2,1)$，要使抛物线与直线$y=t$有两个交点，需满足$t＜1$（$t=1$时仅1个交点，不符合题意）。
2. 将$y=t$代入抛物线解析式，整理得：
$x^2+4x+(3+t)=0$
设方程的两个根为$x_1、x_2$（即M、N的横坐标），根据韦达定理得：
$x_1+x_2=-4$，$x_1x_2=3+t$
3. 交点距离$MN=|x_1-x_2|$，由根与系数的关系推导得：
$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{16-4(3+t)}=2\sqrt{1-t}$
4. 结合$MN≤6$列不等式：
$2\sqrt{1-t}≤6$，化简得$\sqrt{1-t}≤3$，两边平方得$1-t≤9$，解得$t≥-8$。
结合两个交点的前提$t＜1$，最终得t的取值范围为$-8≤t＜1$。
【答案】B
【知识点】
二次函数的性质，韦达定理，不等式求解
【点评】
本题属于二次函数与方程、不等式的综合题，解题的关键是明确函数交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，注意判断等号是否可取是本题的易错点。
【难度系数】
0.6
解题可分三步思考：第一步，先判断抛物线的开口方向和顶点坐标，直线y=t平行于x轴，和开口向下的抛物线有两个交点时，t必须小于顶点的纵坐标，这是解题的前提；第二步，两个交点的纵坐标均为t，因此交点距离MN就是两点横坐标差的绝对值；第三步，将y=t代入抛物线解析式得到一元二次方程，方程的两个根就是两个交点的横坐标，利用韦达定理求出两根差的表达式，结合MN≤6列不等式求解，最后结合有两个交点的限制条件就能得到t的取值范围。
【解析】
1. 先将抛物线配方为顶点式：
$y=-x^2-4x-3=-(x^2+4x)-3=-(x+2)^2+1$
可知抛物线开口向下，顶点坐标为$(-2,1)$，要使抛物线与直线$y=t$有两个交点，需满足$t＜1$（$t=1$时仅1个交点，不符合题意）。
2. 将$y=t$代入抛物线解析式，整理得：
$x^2+4x+(3+t)=0$
设方程的两个根为$x_1、x_2$（即M、N的横坐标），根据韦达定理得：
$x_1+x_2=-4$，$x_1x_2=3+t$
3. 交点距离$MN=|x_1-x_2|$，由根与系数的关系推导得：
$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{16-4(3+t)}=2\sqrt{1-t}$
4. 结合$MN≤6$列不等式：
$2\sqrt{1-t}≤6$，化简得$\sqrt{1-t}≤3$，两边平方得$1-t≤9$，解得$t≥-8$。
结合两个交点的前提$t＜1$，最终得t的取值范围为$-8≤t＜1$。
【答案】B
【知识点】
二次函数的性质，韦达定理，不等式求解
【点评】
本题属于二次函数与方程、不等式的综合题，解题的关键是明确函数交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，注意判断等号是否可取是本题的易错点。
【难度系数】
0.6
6 如图,已知关于x的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与x轴交于$(-3,0)$,顶点是$(-1,m)$.有以下结论:①$abc＞0$;②$4a+2b+c＞0$;③若$y≥c$,则$x≤-2$或$x≥0$;④$b+c=\frac{1}{2}m$.其中正确的是 (
A.①②③④
B.②③④
C.②③
D.①④
C
)A.①②③④
B.②③④
C.②③
D.①④
答案
6.C 解析:①
∵抛物线开口向上,对称轴在y轴左边,与y轴交于负半轴,
∴a＞0,b＞0,c＜0,
∴abc＜0,故①错误;
②
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与x轴交于$(-3,0)$,顶点是$(-1,m)$,
∴抛物线与x轴的另一个交点为$(1,0)$.
∵抛物线开口向上,
∴当$x=2$时,$y=4a+2b+c＞0$,故②正确;
③由题意可知对称轴为直线$x=-1$,
∴$x=-\frac{b}{2a}=-1$,
∴$b=2a$. 把$y=c$,$b=2a$代入$y=ax^2+bx+c$,得$ax^2+2ax+c=c$,
∴$x^2+2x=0$. 解得$x=0$或$-2$,
∴当$y≥c$,则$x≤-2$或$x≥0$,故③正确;
④把$(-1,m)$,$(1,0)$代入$y=ax^2+bx+c$,
得$a-b+c=m$,$a+b+c=0$,
∴$b=-\frac{1}{2}m$.
∵$b=2a$,
∴$a=-\frac{1}{4}m$.
∵抛物线与x轴的另一个交点为$(1,0)$,
∴$a+b+c=0$,
∴$c=\frac{3}{4}m$,
∴$b+c=-\frac{1}{2}m+\frac{3}{4}m=\frac{1}{4}m$,故④错误.
∵抛物线开口向上,对称轴在y轴左边,与y轴交于负半轴,
∴a＞0,b＞0,c＜0,
∴abc＜0,故①错误;
②
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与x轴交于$(-3,0)$,顶点是$(-1,m)$,
∴抛物线与x轴的另一个交点为$(1,0)$.
∵抛物线开口向上,
∴当$x=2$时,$y=4a+2b+c＞0$,故②正确;
③由题意可知对称轴为直线$x=-1$,
∴$x=-\frac{b}{2a}=-1$,
∴$b=2a$. 把$y=c$,$b=2a$代入$y=ax^2+bx+c$,得$ax^2+2ax+c=c$,
∴$x^2+2x=0$. 解得$x=0$或$-2$,
∴当$y≥c$,则$x≤-2$或$x≥0$,故③正确;
④把$(-1,m)$,$(1,0)$代入$y=ax^2+bx+c$,
得$a-b+c=m$,$a+b+c=0$,
∴$b=-\frac{1}{2}m$.
∵$b=2a$,
∴$a=-\frac{1}{4}m$.
∵抛物线与x轴的另一个交点为$(1,0)$,
∴$a+b+c=0$,
∴$c=\frac{3}{4}m$,
∴$b+c=-\frac{1}{2}m+\frac{3}{4}m=\frac{1}{4}m$,故④错误.
解析
【分析】
解决本题需结合二次函数的图像性质，先从已知图像提取关键条件：抛物线开口向上、对称轴为直线$x=-1$、与x轴的一个交点为$(-3,0)$、顶点为$(-1,m)$。再利用二次函数的对称性推导另一交点坐标，结合特殊点代入、系数与图像的对应关系、不等式求解等方法，逐一验证4个结论的正误，最终选出正确选项。
【解析】
①判断系数符号：
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
∵对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1＜0$，推导得$b=2a＞0$；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴$c＜0$；
因此$abc＜0$，故①错误。
②判断$4a+2b+c$的符号：
已知抛物线与x轴交于$(-3,0)$，对称轴为$x=-1$，根据对称性可得另一交点坐标为$(2×(-1)-(-3),0)$即$(1,0)$；
∵抛物线开口向上，当$x＞1$时y随x增大而增大，
∴$x=2$时，$y=4a+2b+c＞0$，故②正确。
③求解$y≥c$对应的x范围：
由对称轴得$b=2a$，将$y=c$代入解析式得$ax^2+2ax+c=c$，化简得$x^2+2x=0$，解得$x=0$或$x=-2$；
结合抛物线开口向上，可得$y≥c$时$x≤-2$或$x≥0$，故③正确。
④验证结论④：
将顶点$(-1,m)$、交点$(1,0)$代入解析式得：$\begin{cases}a-b+c=m \\a+b+c=0 \end{cases}$，
两式相减得$2b=-m$，即$b=-\frac{1}{2}m$；
又
∵$b=2a$，
∴$a=-\frac{1}{4}m$；
代入$a+b+c=0$得$-\frac{1}{4}m -\frac{1}{2}m +c=0$，解得$c=\frac{3}{4}m$；
因此$b+c=-\frac{1}{2}m+\frac{3}{4}m=\frac{1}{4}m≠\frac{1}{2}m$，故④错误。
综上，正确的是②③。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像与系数关系；二次函数的对称性；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数图像性质的综合考查题，需要结合图像信息推导隐含条件，通过特殊点代入、解方程等方法逐一判断结论，熟练掌握二次函数各性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
解决本题需结合二次函数的图像性质，先从已知图像提取关键条件：抛物线开口向上、对称轴为直线$x=-1$、与x轴的一个交点为$(-3,0)$、顶点为$(-1,m)$。再利用二次函数的对称性推导另一交点坐标，结合特殊点代入、系数与图像的对应关系、不等式求解等方法，逐一验证4个结论的正误，最终选出正确选项。
【解析】
①判断系数符号：
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
∵对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1＜0$，推导得$b=2a＞0$；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴$c＜0$；
因此$abc＜0$，故①错误。
②判断$4a+2b+c$的符号：
已知抛物线与x轴交于$(-3,0)$，对称轴为$x=-1$，根据对称性可得另一交点坐标为$(2×(-1)-(-3),0)$即$(1,0)$；
∵抛物线开口向上，当$x＞1$时y随x增大而增大，
∴$x=2$时，$y=4a+2b+c＞0$，故②正确。
③求解$y≥c$对应的x范围：
由对称轴得$b=2a$，将$y=c$代入解析式得$ax^2+2ax+c=c$，化简得$x^2+2x=0$，解得$x=0$或$x=-2$；
结合抛物线开口向上，可得$y≥c$时$x≤-2$或$x≥0$，故③正确。
④验证结论④：
将顶点$(-1,m)$、交点$(1,0)$代入解析式得：$\begin{cases}a-b+c=m \\a+b+c=0 \end{cases}$，
两式相减得$2b=-m$，即$b=-\frac{1}{2}m$；
又
∵$b=2a$，
∴$a=-\frac{1}{4}m$；
代入$a+b+c=0$得$-\frac{1}{4}m -\frac{1}{2}m +c=0$，解得$c=\frac{3}{4}m$；
因此$b+c=-\frac{1}{2}m+\frac{3}{4}m=\frac{1}{4}m≠\frac{1}{2}m$，故④错误。
综上，正确的是②③。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像与系数关系；二次函数的对称性；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数图像性质的综合考查题，需要结合图像信息推导隐含条件，通过特殊点代入、解方程等方法逐一判断结论，熟练掌握二次函数各性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
7.抛物线$y=(x-4)(x+3)$的对称轴为
直线$x=\frac{1}{2}$
。答案
7. 直线$x=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
我们可以通过两种思路求解抛物线的对称轴：思路一，题中给出的是抛物线的交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，可先得到抛物线与x轴的两个交点坐标，抛物线的对称轴是两个交点横坐标的平均值；思路二，将交点式展开为一般式$y=ax^2+bx+c$，再利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，两种方法均符合学段知识要求，思路一更简便。
【解析】
方法一：利用交点式的对称性求解
对于抛物线$y=(x-4)(x+3)$，令$y=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-3$，即抛物线与x轴的两个交点为$(4,0)$、$(-3,0)$。
因为抛物线关于对称轴对称，对称轴为两个交点横坐标的平均数，即：
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{4+(-3)}{2}=\frac{1}{2}$
所以对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$。
方法二：转化为一般式用公式求解
将解析式展开：
$y=(x-4)(x+3)=x^2 - x - 12$
其中$a=1$，$b=-1$，根据抛物线对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得：
$x=-\frac{-1}{2×1}=\frac{1}{2}$
所以对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
直线$x=\frac{1}{2}$
【知识点】
抛物线交点式性质；抛物线对称轴计算
【点评】
本题是抛物线对称轴求解的基础题型，两种解题方法都需要熟练掌握，利用交点式的对称性解题能有效提高做题效率。
【难度系数】
0.9
我们可以通过两种思路求解抛物线的对称轴：思路一，题中给出的是抛物线的交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，可先得到抛物线与x轴的两个交点坐标，抛物线的对称轴是两个交点横坐标的平均值；思路二，将交点式展开为一般式$y=ax^2+bx+c$，再利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，两种方法均符合学段知识要求，思路一更简便。
【解析】
方法一：利用交点式的对称性求解
对于抛物线$y=(x-4)(x+3)$，令$y=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-3$，即抛物线与x轴的两个交点为$(4,0)$、$(-3,0)$。
因为抛物线关于对称轴对称，对称轴为两个交点横坐标的平均数，即：
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{4+(-3)}{2}=\frac{1}{2}$
所以对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$。
方法二：转化为一般式用公式求解
将解析式展开：
$y=(x-4)(x+3)=x^2 - x - 12$
其中$a=1$，$b=-1$，根据抛物线对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得：
$x=-\frac{-1}{2×1}=\frac{1}{2}$
所以对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
直线$x=\frac{1}{2}$
【知识点】
抛物线交点式性质；抛物线对称轴计算
【点评】
本题是抛物线对称轴求解的基础题型，两种解题方法都需要熟练掌握，利用交点式的对称性解题能有效提高做题效率。
【难度系数】
0.9
8.若点$A(3,y_1)$、$B(-5,y_2)$、$C(7,y_3)$为二次函数$y=(x+2)^2 -9$的图像上的三点，则$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小关系是
$y_2＜y_1＜y_3$
。答案
8. $y_2＜y_1＜y_3$
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，有两种符合学段要求的解题思路：①直接将三个点的横坐标代入二次函数解析式，分别算出$y_1$、$y_2$、$y_3$的具体数值，再比较大小；②先根据二次函数的顶点式确定开口方向和对称轴，结合“开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大”的性质，比较三个点到对称轴的水平距离，即可快速判断函数值大小，无需计算具体数值。
【解析】
方法一：代入求值法
将点$A(3,y_1)$代入$y=(x+2)^2-9$，得$y_1=(3+2)^2-9=25-9=16$；
将点$B(-5,y_2)$代入$y=(x+2)^2-9$，得$y_2=(-5+2)^2-9=9-9=0$；
将点$C(7,y_3)$代入$y=(x+2)^2-9$，得$y_3=(7+2)^2-9=81-9=72$；
因为$0＜16＜72$，所以$y_2＜y_1＜y_3$。
方法二：利用二次函数性质判断
二次函数$y=(x+2)^2-9$中，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$；
开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离：
点A到对称轴$x=-2$的距离：$|3-(-2)|=5$；
点B到对称轴$x=-2$的距离：$|-5-(-2)|=3$；
点C到对称轴$x=-2$的距离：$|7-(-2)|=9$；
因为$3＜5＜9$，所以对应的函数值大小为$y_2＜y_1＜y_3$。
【答案】
$y_2＜y_1＜y_3$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，两种解题方法都要求学生熟练掌握，既可以通过直接计算验证结果，也可以利用抛物线的对称性和增减性提升解题效率，有助于加深对二次函数图像特征的理解。
【难度系数】
0.8
要比较三个点的函数值大小，有两种符合学段要求的解题思路：①直接将三个点的横坐标代入二次函数解析式，分别算出$y_1$、$y_2$、$y_3$的具体数值，再比较大小；②先根据二次函数的顶点式确定开口方向和对称轴，结合“开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大”的性质，比较三个点到对称轴的水平距离，即可快速判断函数值大小，无需计算具体数值。
【解析】
方法一：代入求值法
将点$A(3,y_1)$代入$y=(x+2)^2-9$，得$y_1=(3+2)^2-9=25-9=16$；
将点$B(-5,y_2)$代入$y=(x+2)^2-9$，得$y_2=(-5+2)^2-9=9-9=0$；
将点$C(7,y_3)$代入$y=(x+2)^2-9$，得$y_3=(7+2)^2-9=81-9=72$；
因为$0＜16＜72$，所以$y_2＜y_1＜y_3$。
方法二：利用二次函数性质判断
二次函数$y=(x+2)^2-9$中，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$；
开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离：
点A到对称轴$x=-2$的距离：$|3-(-2)|=5$；
点B到对称轴$x=-2$的距离：$|-5-(-2)|=3$；
点C到对称轴$x=-2$的距离：$|7-(-2)|=9$；
因为$3＜5＜9$，所以对应的函数值大小为$y_2＜y_1＜y_3$。
【答案】
$y_2＜y_1＜y_3$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，两种解题方法都要求学生熟练掌握，既可以通过直接计算验证结果，也可以利用抛物线的对称性和增减性提升解题效率，有助于加深对二次函数图像特征的理解。
【难度系数】
0.8
