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9. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x-3)^2+m$与$y=\dfrac{2}{3}(x+2)^2+n$的一个交点为A.已知点A的横坐标为1,过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B、C(点B在点A左侧,点C在点A右侧),则BC的值为
10
.答案
9. 10
解析
【分析】
解题思路如下：①首先根据二次函数的顶点式，直接得出两条抛物线的对称轴；②过点A且平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，因此直线与抛物线的两个交点关于抛物线的对称轴对称，利用对称点的横坐标与对称轴的关系，可分别求出点B和点C的横坐标；③因为B、C在同一条水平线上，线段BC的长度等于两点横坐标的差，代入计算即可。该方法无需计算未知参数m、n，巧用抛物线对称性简化运算。
【解析】
解：由二次函数顶点式的性质可得：
抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x-3)^2+m$的对称轴为直线$x=3$，
抛物线$y=\dfrac{2}{3}(x+2)^2+n$的对称轴为直线$x=-2$。
∵直线BC平行于x轴，A是BC与两条抛物线的交点，
∴点A、B关于抛物线$y=\dfrac{2}{3}(x+2)^2+n$的对称轴$x=-2$对称，点A、C关于抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x-3)^2+m$的对称轴$x=3$对称。
已知点A的横坐标为1，
设点B的横坐标为$x_B$，根据对称性质：$\dfrac{x_B + 1}{2}=-2$，解得$x_B=-5$；
设点C的横坐标为$x_C$，根据对称性质：$\dfrac{1 + x_C}{2}=3$，解得$x_C=5$。
∴$BC=x_C - x_B=5 - (-5)=10$。
【答案】
10
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数顶点式的性质；平行于x轴的点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题的关键是利用抛物线的对称性得到对称点的横坐标关系，无需计算未知参数即可快速求解，能很好地考查对二次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①首先根据二次函数的顶点式，直接得出两条抛物线的对称轴；②过点A且平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，因此直线与抛物线的两个交点关于抛物线的对称轴对称，利用对称点的横坐标与对称轴的关系，可分别求出点B和点C的横坐标；③因为B、C在同一条水平线上，线段BC的长度等于两点横坐标的差，代入计算即可。该方法无需计算未知参数m、n，巧用抛物线对称性简化运算。
【解析】
解：由二次函数顶点式的性质可得：
抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x-3)^2+m$的对称轴为直线$x=3$，
抛物线$y=\dfrac{2}{3}(x+2)^2+n$的对称轴为直线$x=-2$。
∵直线BC平行于x轴，A是BC与两条抛物线的交点，
∴点A、B关于抛物线$y=\dfrac{2}{3}(x+2)^2+n$的对称轴$x=-2$对称，点A、C关于抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x-3)^2+m$的对称轴$x=3$对称。
已知点A的横坐标为1，
设点B的横坐标为$x_B$，根据对称性质：$\dfrac{x_B + 1}{2}=-2$，解得$x_B=-5$；
设点C的横坐标为$x_C$，根据对称性质：$\dfrac{1 + x_C}{2}=3$，解得$x_C=5$。
∴$BC=x_C - x_B=5 - (-5)=10$。
【答案】
10
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数顶点式的性质；平行于x轴的点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题的关键是利用抛物线的对称性得到对称点的横坐标关系，无需计算未知参数即可快速求解，能很好地考查对二次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
10. 在平面直角坐标系中，已知关于$x$的二次函数图像$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，$a≠0$）经过点$A(1−k,t)$、$B(1+k,t)$。当$x≤1$时，$y≤0$，且点$C(2,m)$、$D(3,n)$也在函数图像上，则$\frac{n}{m}=$
4
。答案
10. 4
解析
【分析】
首先，观察到点A和点B纵坐标相同，根据二次函数的对称性，纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，可先求出二次函数的对称轴；其次，结合x≤1时y≤0的条件，可知对称轴处是函数的最小值点，即顶点坐标为(1,0)，由此可将函数解析式写为顶点式；最后将点C、D代入顶点式，分别表示出m和n，计算比值即可。
【解析】
1. 求二次函数对称轴：
已知点$A(1−k,t)$、$B(1+k,t)$纵坐标相等，两点关于二次函数对称轴对称，因此对称轴为：
$x=\frac{(1-k)+(1+k)}{2}=1$
2. 确定函数解析式：
由题意，当$x≤1$时，$y≤0$，结合对称轴为$x=1$，可知二次函数开口向上，顶点坐标为$(1,0)$，因此函数可写为顶点式：
$y=a(x-1)^2$（$a≠0$）
3. 计算m、n的比值：
将$C(2,m)$代入解析式，得$m=a(2-1)^2=a$；
将$D(3,n)$代入解析式，得$n=a(3-1)^2=4a$；
因为$a≠0$，因此$\frac{n}{m}=\frac{4a}{a}=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数顶点式；二次函数的图像与性质
【点评】
本题解题核心是利用二次函数上纵坐标相等的点的特征快速求出对称轴，再结合函数取值范围确定顶点坐标，通过顶点式简化计算，是二次函数性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
首先，观察到点A和点B纵坐标相同，根据二次函数的对称性，纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，可先求出二次函数的对称轴；其次，结合x≤1时y≤0的条件，可知对称轴处是函数的最小值点，即顶点坐标为(1,0)，由此可将函数解析式写为顶点式；最后将点C、D代入顶点式，分别表示出m和n，计算比值即可。
【解析】
1. 求二次函数对称轴：
已知点$A(1−k,t)$、$B(1+k,t)$纵坐标相等，两点关于二次函数对称轴对称，因此对称轴为：
$x=\frac{(1-k)+(1+k)}{2}=1$
2. 确定函数解析式：
由题意，当$x≤1$时，$y≤0$，结合对称轴为$x=1$，可知二次函数开口向上，顶点坐标为$(1,0)$，因此函数可写为顶点式：
$y=a(x-1)^2$（$a≠0$）
3. 计算m、n的比值：
将$C(2,m)$代入解析式，得$m=a(2-1)^2=a$；
将$D(3,n)$代入解析式，得$n=a(3-1)^2=4a$；
因为$a≠0$，因此$\frac{n}{m}=\frac{4a}{a}=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数顶点式；二次函数的图像与性质
【点评】
本题解题核心是利用二次函数上纵坐标相等的点的特征快速求出对称轴，再结合函数取值范围确定顶点坐标，通过顶点式简化计算，是二次函数性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
11.如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别是A(2,2)、B(5,5),若关于x的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像过A、B两点,且该函数图像的顶点为$M(x,y)$,其中x、y是整数,且$0＜x＜7,0＜y＜7$,则a的值为
$\pm1,\pm\frac{1}{3}$
.答案
11. $\pm1,\pm\frac{1}{3}$ 解析:
∵顶点$M(x,y)$,其中x、y是整数,且$0＜x＜7,0＜y＜7$,
∴$y=1$或$y=2$或$y=5$或$y=6$. 根据抛物线的对称性,抛物线的顶点只能为$(3,1)$或$(2,2)$或$(4,6)$或$(5,5)$. 当顶点为$(3,1)$时,设抛物线的函数表达式为$y=a(x-3)^2+1$,把$A(2,2)$代入,得$a×(2-3)^2+1=2$. 解得$a=1$; 当顶点为$(2,2)$时,设抛物线的函数表达式为$y=a(x-2)^2+2$,把$B(5,5)$代入$a×(5-2)^2+2=5$,解得$a=\frac{1}{3}$; 当顶点坐标为$(4,6)$时,设抛物线的函数表达式为$y=a(x-4)^2+6$,把$B(5,5)$代入$a×(5-4)^2+6=5$,解得$a=-1$; 当顶点坐标为$(5,5)$时,设抛物线的函数表达式为$y=a(x-5)^2+5$,把$A(2,2)$代入,得$a(2-5)^2+5=2$,解得$a=-\frac{1}{3}$. 综上所述,a的值为$\pm1$或$\pm\frac{1}{3}$.
∵顶点$M(x,y)$,其中x、y是整数,且$0＜x＜7,0＜y＜7$,
∴$y=1$或$y=2$或$y=5$或$y=6$. 根据抛物线的对称性,抛物线的顶点只能为$(3,1)$或$(2,2)$或$(4,6)$或$(5,5)$. 当顶点为$(3,1)$时,设抛物线的函数表达式为$y=a(x-3)^2+1$,把$A(2,2)$代入,得$a×(2-3)^2+1=2$. 解得$a=1$; 当顶点为$(2,2)$时,设抛物线的函数表达式为$y=a(x-2)^2+2$,把$B(5,5)$代入$a×(5-2)^2+2=5$,解得$a=\frac{1}{3}$; 当顶点坐标为$(4,6)$时,设抛物线的函数表达式为$y=a(x-4)^2+6$,把$B(5,5)$代入$a×(5-4)^2+6=5$,解得$a=-1$; 当顶点坐标为$(5,5)$时,设抛物线的函数表达式为$y=a(x-5)^2+5$,把$A(2,2)$代入,得$a(2-5)^2+5=2$,解得$a=-\frac{1}{3}$. 综上所述,a的值为$\pm1$或$\pm\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
解决本题的核心思路是利用二次函数的对称性与顶点式求解。首先，二次函数的顶点在对称轴上，且已知顶点横、纵坐标均为整数，取值范围在0到7之间（不包含端点），同时抛物线经过A(2,2)、B(5,5)两点，我们首先根据抛物线的对称性筛选出所有符合条件的整数顶点坐标，再分情况设顶点式解析式，代入已知点坐标即可求出对应的a值。
【解析】
已知二次函数顶点$M(x,y)$的$x、y$均为整数，且$0＜x＜7$，$0＜y＜7$，结合抛物线的对称性，可得符合条件的顶点为$(3,1)$、$(2,2)$、$(4,6)$、$(5,5)$，分四种情况讨论：
1. 当顶点为$(3,1)$时，设抛物线解析式为$y=a(x-3)^2+1$，将$A(2,2)$代入得：
$a×(2-3)^2+1=2$，解得$a=1$；
2. 当顶点为$(2,2)$时，设抛物线解析式为$y=a(x-2)^2+2$，将$B(5,5)$代入得：
$a×(5-2)^2+2=5$，解得$a=\frac{1}{3}$；
3. 当顶点为$(4,6)$时，设抛物线解析式为$y=a(x-4)^2+6$，将$B(5,5)$代入得：
$a×(5-4)^2+6=5$，解得$a=-1$；
4. 当顶点为$(5,5)$时，设抛物线解析式为$y=a(x-5)^2+5$，将$A(2,2)$代入得：
$a×(2-5)^2+5=2$，解得$a=-\frac{1}{3}$。
综上，a的值为$\pm1$或$\pm\frac{1}{3}$。
【答案】
$\pm1,\pm\frac{1}{3}$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数对称性；待定系数法求解析式
【点评】
本题考查二次函数的性质应用，解题时需注意结合对称性完整找出所有可能的顶点坐标，避免漏解，使用顶点式求解可以大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.4
解决本题的核心思路是利用二次函数的对称性与顶点式求解。首先，二次函数的顶点在对称轴上，且已知顶点横、纵坐标均为整数，取值范围在0到7之间（不包含端点），同时抛物线经过A(2,2)、B(5,5)两点，我们首先根据抛物线的对称性筛选出所有符合条件的整数顶点坐标，再分情况设顶点式解析式，代入已知点坐标即可求出对应的a值。
【解析】
已知二次函数顶点$M(x,y)$的$x、y$均为整数，且$0＜x＜7$，$0＜y＜7$，结合抛物线的对称性，可得符合条件的顶点为$(3,1)$、$(2,2)$、$(4,6)$、$(5,5)$，分四种情况讨论：
1. 当顶点为$(3,1)$时，设抛物线解析式为$y=a(x-3)^2+1$，将$A(2,2)$代入得：
$a×(2-3)^2+1=2$，解得$a=1$；
2. 当顶点为$(2,2)$时，设抛物线解析式为$y=a(x-2)^2+2$，将$B(5,5)$代入得：
$a×(5-2)^2+2=5$，解得$a=\frac{1}{3}$；
3. 当顶点为$(4,6)$时，设抛物线解析式为$y=a(x-4)^2+6$，将$B(5,5)$代入得：
$a×(5-4)^2+6=5$，解得$a=-1$；
4. 当顶点为$(5,5)$时，设抛物线解析式为$y=a(x-5)^2+5$，将$A(2,2)$代入得：
$a×(2-5)^2+5=2$，解得$a=-\frac{1}{3}$。
综上，a的值为$\pm1$或$\pm\frac{1}{3}$。
【答案】
$\pm1,\pm\frac{1}{3}$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数对称性；待定系数法求解析式
【点评】
本题考查二次函数的性质应用，解题时需注意结合对称性完整找出所有可能的顶点坐标，避免漏解，使用顶点式求解可以大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.4
12. 如图,已知抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 -3x$与直线$y=2x$交于O、A两点.点B是抛物线上O、A之间的一个动点,过点B分别作两条坐标轴的平行线,与直线OA交于点C、E,以BC、BE为边构造矩形BCDE.设点D的坐标为$(m,n)$,则m关于n的函数表达式是
$m=\frac{1}{16}n^2-\frac{3}{4}n$
.答案
12. $m=\frac{1}{16}n^2-\frac{3}{4}n$
解析
【分析】
解题首先要明确各点坐标的关联：已知$D(m,n)$，结合矩形$BCDE$的边与坐标轴平行的特点，可先推出点$E$、$C$的坐标，再进一步得到点$B$的坐标；最后利用点$B$在抛物线上的条件，将$B$的坐标代入抛物线解析式，整理即可得到$m$关于$n$的函数表达式。
第一步：根据矩形对边平行坐标轴的性质，$E$点横坐标与$D$相同，$C$点纵坐标与$D$相同，结合直线$OA$解析式$y=2x$，可求出$E$、$C$的坐标；
第二步：由$BE// y$轴、$BC// x$轴，可得$B$点横坐标等于$C$的横坐标，纵坐标等于$E$的纵坐标，得到$B$点坐标；
第三步：将$B$点坐标代入抛物线解析式，化简整理得到$m$与$n$的关系。
【解析】
∵直线$OA$的解析式为$y=2x$，点$D$坐标为$(m,n)$，四边形$BCDE$是矩形，
∴$BE// y$轴，$BC// x$轴，
∴点$E$的横坐标为$m$，代入$y=2x$得$y=2m$，即$E(m,2m)$；
点$C$的纵坐标为$n$，代入$y=2x$得$x=\frac{n}{2}$，即$C(\frac{n}{2},n)$；
由此可得点$B$的横坐标与$C$相同为$\frac{n}{2}$，纵坐标与$E$相同为$2m$，即$B(\frac{n}{2},2m)$。
∵点$B$在抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 -3x$上，将$B$点坐标代入得：
$2m=\frac{1}{2}×(\frac{n}{2})^2 -3×\frac{n}{2}$
化简右边：$\frac{1}{2}×\frac{n^2}{4}-\frac{3n}{2}=\frac{n^2}{8}-\frac{3n}{2}$
等式两边同时除以2得：
$m=\frac{n^2}{16}-\frac{3n}{4}$，即$m=\frac{1}{16}n^2-\frac{3}{4}n$
【答案】
$m=\frac{1}{16}n^2-\frac{3}{4}n$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；矩形的性质
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题核心是通过矩形的边的平行关系推导动点$B$的坐标，再代入函数解析式建立变量关系，是函数与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确各点坐标的关联：已知$D(m,n)$，结合矩形$BCDE$的边与坐标轴平行的特点，可先推出点$E$、$C$的坐标，再进一步得到点$B$的坐标；最后利用点$B$在抛物线上的条件，将$B$的坐标代入抛物线解析式，整理即可得到$m$关于$n$的函数表达式。
第一步：根据矩形对边平行坐标轴的性质，$E$点横坐标与$D$相同，$C$点纵坐标与$D$相同，结合直线$OA$解析式$y=2x$，可求出$E$、$C$的坐标；
第二步：由$BE// y$轴、$BC// x$轴，可得$B$点横坐标等于$C$的横坐标，纵坐标等于$E$的纵坐标，得到$B$点坐标；
第三步：将$B$点坐标代入抛物线解析式，化简整理得到$m$与$n$的关系。
【解析】
∵直线$OA$的解析式为$y=2x$，点$D$坐标为$(m,n)$，四边形$BCDE$是矩形，
∴$BE// y$轴，$BC// x$轴，
∴点$E$的横坐标为$m$，代入$y=2x$得$y=2m$，即$E(m,2m)$；
点$C$的纵坐标为$n$，代入$y=2x$得$x=\frac{n}{2}$，即$C(\frac{n}{2},n)$；
由此可得点$B$的横坐标与$C$相同为$\frac{n}{2}$，纵坐标与$E$相同为$2m$，即$B(\frac{n}{2},2m)$。
∵点$B$在抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 -3x$上，将$B$点坐标代入得：
$2m=\frac{1}{2}×(\frac{n}{2})^2 -3×\frac{n}{2}$
化简右边：$\frac{1}{2}×\frac{n^2}{4}-\frac{3n}{2}=\frac{n^2}{8}-\frac{3n}{2}$
等式两边同时除以2得：
$m=\frac{n^2}{16}-\frac{3n}{4}$，即$m=\frac{1}{16}n^2-\frac{3}{4}n$
【答案】
$m=\frac{1}{16}n^2-\frac{3}{4}n$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；矩形的性质
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题核心是通过矩形的边的平行关系推导动点$B$的坐标，再代入函数解析式建立变量关系，是函数与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.6
13. 在关于x的二次函数$y=ax^2 - 4ax + b$中，当$1≤ x≤ 4$时，$-3≤ y≤ 5$，则$b - 4a$的值为
-3或5
。答案
13. -3或5
解析
【分析】首先求解二次函数的对称轴，判断对称轴位于给定自变量区间[1,4]内，二次函数的区间最值在顶点或区间端点处取得。注意到顶点处的函数值恰好是所求的$b-4a$，再结合开口方向分$a＞0$（开口向上）、$a＜0$（开口向下）两种情况，对应题目给出的$y$的取值范围即可求解。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2 - 4ax + b$，由对称轴公式可得对称轴为：
$x=-\frac{-4a}{2a}=2$，显然$2\in[1,4]$，即对称轴在给定区间内。
将$x=2$代入函数解析式，得顶点处函数值：
$y=a·2^2 -4a·2 +b=4a-8a+b=b-4a$，即$b-4a$是函数在顶点处的函数值。
分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时，二次函数开口向上，顶点处取最小值，离对称轴越远函数值越大：
结合$1≤ x≤ 4$时$-3≤ y≤ 5$，可知顶点处最小值为$-3$，即$b-4a=-3$。
验证：此时最大值在离对称轴更远的$x=4$处，代入得$y=b=5$，解得$a=2＞0$，符合开口方向，区间内其余点函数值均在$[-3,5]$范围内，成立。
2. 当$a＜0$时，二次函数开口向下，顶点处取最大值，离对称轴越远函数值越小：
结合$1≤ x≤ 4$时$-3≤ y≤ 5$，可知顶点处最大值为$5$，即$b-4a=5$。
验证：此时最小值在离对称轴更远的$x=4$处，代入得$y=b=-3$，解得$a=-2＜0$，符合开口方向，区间内其余点函数值均在$[-3,5]$范围内，成立。
【答案】-3或5
【知识点】二次函数的性质；二次函数区间最值
【点评】本题考查二次函数闭区间最值的求解，核心是先确定对称轴位置，再结合开口方向分类讨论，解题时注意不要漏解。
【难度系数】0.6
【解析】
对于二次函数$y=ax^2 - 4ax + b$，由对称轴公式可得对称轴为：
$x=-\frac{-4a}{2a}=2$，显然$2\in[1,4]$，即对称轴在给定区间内。
将$x=2$代入函数解析式，得顶点处函数值：
$y=a·2^2 -4a·2 +b=4a-8a+b=b-4a$，即$b-4a$是函数在顶点处的函数值。
分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时，二次函数开口向上，顶点处取最小值，离对称轴越远函数值越大：
结合$1≤ x≤ 4$时$-3≤ y≤ 5$，可知顶点处最小值为$-3$，即$b-4a=-3$。
验证：此时最大值在离对称轴更远的$x=4$处，代入得$y=b=5$，解得$a=2＞0$，符合开口方向，区间内其余点函数值均在$[-3,5]$范围内，成立。
2. 当$a＜0$时，二次函数开口向下，顶点处取最大值，离对称轴越远函数值越小：
结合$1≤ x≤ 4$时$-3≤ y≤ 5$，可知顶点处最大值为$5$，即$b-4a=5$。
验证：此时最小值在离对称轴更远的$x=4$处，代入得$y=b=-3$，解得$a=-2＜0$，符合开口方向，区间内其余点函数值均在$[-3,5]$范围内，成立。
【答案】-3或5
【知识点】二次函数的性质；二次函数区间最值
【点评】本题考查二次函数闭区间最值的求解，核心是先确定对称轴位置，再结合开口方向分类讨论，解题时注意不要漏解。
【难度系数】0.6
14.有一个抛物线型蔬菜大棚,将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中,抛物线可以用函数$y=-\dfrac{3}{16}x^2+bx$来表示,已知$OK=8\ \mathrm{m}$.若借助横梁$ST(ST// OK)$建一个门,要求门的高度为$1.5\ \mathrm{m}$,则横梁$ST$的长度是
$4\sqrt{2}$
$\mathrm{m}$.答案
14. $4\sqrt{2}$ 解析:由题意,可得抛物线经过$K(8,0)$. 将$(8,0)$代入$y=-\frac{3}{16}x^2+bx$,得$-\frac{3}{16}×8^2+8b=0$,解得$b=\frac{3}{2}$,
∴抛物线的函数表达式为$y=-\frac{3}{16}x^2+\frac{3}{2}x$. 由题意可得,当$y=1.5$时,$1.5=-\frac{3}{16}x^2+\frac{3}{2}x$,解得$x_1=4+2\sqrt{2}$,$x_2=4-2\sqrt{2}$,
∴$ST=x_1-x_2=4+2\sqrt{2}-(4-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}(\mathrm{m})$, 即横梁$ST$的长度是$4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$.
∴抛物线的函数表达式为$y=-\frac{3}{16}x^2+\frac{3}{2}x$. 由题意可得,当$y=1.5$时,$1.5=-\frac{3}{16}x^2+\frac{3}{2}x$,解得$x_1=4+2\sqrt{2}$,$x_2=4-2\sqrt{2}$,
∴$ST=x_1-x_2=4+2\sqrt{2}-(4-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}(\mathrm{m})$, 即横梁$ST$的长度是$4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
解决本题首先需要确定抛物线的完整解析式：已知OK=8m，可得抛物线过点K(8,0)，将该点代入给定的抛物线表达式即可求出未知系数b；再结合门的高度为1.5m，即横梁ST所在位置的纵坐标y=1.5，将y=1.5代入已求出的解析式，得到关于x的一元二次方程，求解得到S、T两点的横坐标；最后由于ST平行于x轴，ST的长度就是两点横坐标的差值，计算差值即可得到结果。
【解析】
解：由题意得点K的坐标为$(8,0)$，将$(8,0)$代入$y=-\dfrac{3}{16}x^2+bx$，得：
$-\dfrac{3}{16}×8^2 + 8b = 0$
计算得$-12+8b=0$，解得$b=\dfrac{3}{2}$，因此抛物线的解析式为：
$y=-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{3}{2}x$
已知门的高度为1.5m，即$y=1.5$，代入解析式得：
$1.5=-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{3}{2}x$
整理得$x^2-8x+8=0$，解得$x_1=4+2\sqrt{2}$，$x_2=4-2\sqrt{2}$。
因为$ST// OK$，所以ST的长度为两点横坐标的差：
$ST=x_1-x_2=(4+2\sqrt{2})-(4-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；一元二次方程的求解
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的基础应用，解题核心是将实际问题转化为二次函数的计算问题，先确定函数解析式，再根据函数值求解对应自变量，最后通过坐标差计算线段长度，属于二次函数应用的常规题型。
【难度系数】
0.7
解决本题首先需要确定抛物线的完整解析式：已知OK=8m，可得抛物线过点K(8,0)，将该点代入给定的抛物线表达式即可求出未知系数b；再结合门的高度为1.5m，即横梁ST所在位置的纵坐标y=1.5，将y=1.5代入已求出的解析式，得到关于x的一元二次方程，求解得到S、T两点的横坐标；最后由于ST平行于x轴，ST的长度就是两点横坐标的差值，计算差值即可得到结果。
【解析】
解：由题意得点K的坐标为$(8,0)$，将$(8,0)$代入$y=-\dfrac{3}{16}x^2+bx$，得：
$-\dfrac{3}{16}×8^2 + 8b = 0$
计算得$-12+8b=0$，解得$b=\dfrac{3}{2}$，因此抛物线的解析式为：
$y=-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{3}{2}x$
已知门的高度为1.5m，即$y=1.5$，代入解析式得：
$1.5=-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{3}{2}x$
整理得$x^2-8x+8=0$，解得$x_1=4+2\sqrt{2}$，$x_2=4-2\sqrt{2}$。
因为$ST// OK$，所以ST的长度为两点横坐标的差：
$ST=x_1-x_2=(4+2\sqrt{2})-(4-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；一元二次方程的求解
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的基础应用，解题核心是将实际问题转化为二次函数的计算问题，先确定函数解析式，再根据函数值求解对应自变量，最后通过坐标差计算线段长度，属于二次函数应用的常规题型。
【难度系数】
0.7
15. 如图，抛物线$y=-x^2+2x+3$与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B. 点M(a,b)是抛物线上的任意一点，且位于线段AB的上方，过点M作MN⊥x轴交AB于点N. 若MN的长度随x增大而减小，则a的取值范围是
$\frac{3}{2}＜a＜3$
. 答案
15. $\frac{3}{2}＜a＜3$ 解析:在$y=-x^2+2x+3$中, 令$x=0$,则$y=3$,
∴$B(0,3)$. 令$y=0$,则$-x^2+2x+3=0$, 解得$x=-1$或$x=3$,
∴$A(3,0)$,
∴直线$AB$的表达式为$y=-x+3$.
∵点$M(a,b)$是抛物线上的任意一点,且位于线段$AB$的上方,
∴$b=-a^2+2a+3(0＜a＜3)$,
∴$M(a,-a^2+2a+3)$,
∴$N(a,-a+3)$,
∴$MN=-a^2+2a+3-(-a+3)=-a^2+3a=-(a-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}$,
∵$-1＜0$,
∴当$a＞\frac{3}{2}$时,$MN$的长度随x增大而减小,
∴$\frac{3}{2}＜a＜3$.
∴$B(0,3)$. 令$y=0$,则$-x^2+2x+3=0$, 解得$x=-1$或$x=3$,
∴$A(3,0)$,
∴直线$AB$的表达式为$y=-x+3$.
∵点$M(a,b)$是抛物线上的任意一点,且位于线段$AB$的上方,
∴$b=-a^2+2a+3(0＜a＜3)$,
∴$M(a,-a^2+2a+3)$,
∴$N(a,-a+3)$,
∴$MN=-a^2+2a+3-(-a+3)=-a^2+3a=-(a-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}$,
∵$-1＜0$,
∴当$a＞\frac{3}{2}$时,$MN$的长度随x增大而减小,
∴$\frac{3}{2}＜a＜3$.
解析
【分析】
解题时首先需先求出抛物线与坐标轴交点A、B的坐标，进而得到直线AB的解析式；由于MN垂直x轴，因此M、N两点横坐标相同，均为a，MN的长度等于点M的纵坐标减去点N的纵坐标，据此可将MN表示为关于a的二次函数；最后结合二次函数的增减性，以及点M位于线段AB上方的取值限制，即可求出a的取值范围。
【解析】
第一步：求A、B两点坐标
在抛物线$y=-x^2+2x+3$中，令$x=0$，得$y=3$，因此点B坐标为$(0,3)$；
令$y=0$，解方程$-x^2+2x+3=0$，因式分解得$-(x-3)(x+1)=0$，解得$x=-1$或$x=3$，由于A在x轴正半轴，因此点A坐标为$(3,0)$。
第二步：求直线AB的解析式
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将$A(3,0)$、$B(0,3)$代入解析式，可得：
$\begin{cases}b=3\\3k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=3\end{cases}$，因此直线AB的解析式为$y=-x+3$。
第三步：表示MN的长度
已知点$M(a,b)$在抛物线上，且位于线段AB上方，因此$0＜a＜3$，点M的纵坐标为$-a^2+2a+3$，即$M(a,-a^2+2a+3)$；
由于$MN⊥ x$轴，点N在AB上，因此点N横坐标也为a，纵坐标为$-a+3$，即$N(a,-a+3)$。
因此MN的长度为：
$MN=(-a^2+2a+3)-(-a+3)=-a^2+3a$
将其配方得：$MN=-(a-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}$
第四步：求a的取值范围
该二次函数开口向下，对称轴为$a=\frac{3}{2}$，因此当$a＞\frac{3}{2}$时，MN的长度随a的增大而减小；
结合点M的位置限制$0＜a＜3$，最终可得a的取值范围是$\frac{3}{2}＜a＜3$。
【答案】
$\frac{3}{2}＜a＜3$
【知识点】
二次函数的图象与性质，一次函数解析式求解，二次函数的增减性
【点评】
本题综合考查一次函数与二次函数的综合应用，解题核心是将线段长度转化为关于横坐标的二次函数，结合函数性质与自变量取值范围求解，能较好地考查数形结合思想与代数运算能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先需先求出抛物线与坐标轴交点A、B的坐标，进而得到直线AB的解析式；由于MN垂直x轴，因此M、N两点横坐标相同，均为a，MN的长度等于点M的纵坐标减去点N的纵坐标，据此可将MN表示为关于a的二次函数；最后结合二次函数的增减性，以及点M位于线段AB上方的取值限制，即可求出a的取值范围。
【解析】
第一步：求A、B两点坐标
在抛物线$y=-x^2+2x+3$中，令$x=0$，得$y=3$，因此点B坐标为$(0,3)$；
令$y=0$，解方程$-x^2+2x+3=0$，因式分解得$-(x-3)(x+1)=0$，解得$x=-1$或$x=3$，由于A在x轴正半轴，因此点A坐标为$(3,0)$。
第二步：求直线AB的解析式
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将$A(3,0)$、$B(0,3)$代入解析式，可得：
$\begin{cases}b=3\\3k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=3\end{cases}$，因此直线AB的解析式为$y=-x+3$。
第三步：表示MN的长度
已知点$M(a,b)$在抛物线上，且位于线段AB上方，因此$0＜a＜3$，点M的纵坐标为$-a^2+2a+3$，即$M(a,-a^2+2a+3)$；
由于$MN⊥ x$轴，点N在AB上，因此点N横坐标也为a，纵坐标为$-a+3$，即$N(a,-a+3)$。
因此MN的长度为：
$MN=(-a^2+2a+3)-(-a+3)=-a^2+3a$
将其配方得：$MN=-(a-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}$
第四步：求a的取值范围
该二次函数开口向下，对称轴为$a=\frac{3}{2}$，因此当$a＞\frac{3}{2}$时，MN的长度随a的增大而减小；
结合点M的位置限制$0＜a＜3$，最终可得a的取值范围是$\frac{3}{2}＜a＜3$。
【答案】
$\frac{3}{2}＜a＜3$
【知识点】
二次函数的图象与性质，一次函数解析式求解，二次函数的增减性
【点评】
本题综合考查一次函数与二次函数的综合应用，解题核心是将线段长度转化为关于横坐标的二次函数，结合函数性质与自变量取值范围求解，能较好地考查数形结合思想与代数运算能力。
【难度系数】
0.6
16定义:若一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点,则把该点称为这个函数图像的“倍值点”.例如:一次函数$y=x+1$图像的“倍值点”为$(1,2)$.若关于$x$的二次函数$y=(t-1)x^2+tx+0.25t$的图像上有唯一的“倍值点”,则$t$的值为
$\frac{4}{3}$
.答案
16. $\frac{4}{3}$
解析
【分析】
首先根据“倍值点”的定义，可知倍值点满足纵坐标=2×横坐标，即y=2x。要找二次函数图像上的唯一倍值点，只需将y=2x代入二次函数解析式，得到关于x的方程；因为倍值点唯一，说明该方程有唯一实根，同时要注意二次函数的二次项系数不能为0，结合一元二次方程判别式为0的条件即可求出t的值。
【解析】
根据“倍值点”的定义，令y=2x，代入二次函数解析式得：
$2x=(t-1)x^2+tx+0.25t$
移项整理为一元二次方程的标准形式：
$(t-1)x^2 + (t-2)x + 0.25t = 0$
∵ 函数是二次函数，
∴ 二次项系数$t-1≠0$，即$t≠1$。
∵ 二次函数图像上有唯一的“倍值点”，
∴ 上述一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$。
计算判别式：
$\Delta=(t-2)^2 - 4×(t-1)×0.25t$
展开化简：
$\Delta=t^2-4t+4 - t(t-1)=t^2-4t+4-t^2+t=-3t+4$
令$\Delta=0$，即：
$-3t+4=0$
解得$t=\frac{4}{3}$，满足$t≠1$，符合条件。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
新定义题型，二次函数定义，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将新定义和二次函数知识结合，解题的核心是把“倍值点唯一”的条件转化为一元二次方程有两个相等实根的问题，解题时要注意二次函数二次项系数不为0的隐含条件，避免漏判。
【难度系数】
0.6
首先根据“倍值点”的定义，可知倍值点满足纵坐标=2×横坐标，即y=2x。要找二次函数图像上的唯一倍值点，只需将y=2x代入二次函数解析式，得到关于x的方程；因为倍值点唯一，说明该方程有唯一实根，同时要注意二次函数的二次项系数不能为0，结合一元二次方程判别式为0的条件即可求出t的值。
【解析】
根据“倍值点”的定义，令y=2x，代入二次函数解析式得：
$2x=(t-1)x^2+tx+0.25t$
移项整理为一元二次方程的标准形式：
$(t-1)x^2 + (t-2)x + 0.25t = 0$
∵ 函数是二次函数，
∴ 二次项系数$t-1≠0$，即$t≠1$。
∵ 二次函数图像上有唯一的“倍值点”，
∴ 上述一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$。
计算判别式：
$\Delta=(t-2)^2 - 4×(t-1)×0.25t$
展开化简：
$\Delta=t^2-4t+4 - t(t-1)=t^2-4t+4-t^2+t=-3t+4$
令$\Delta=0$，即：
$-3t+4=0$
解得$t=\frac{4}{3}$，满足$t≠1$，符合条件。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
新定义题型，二次函数定义，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将新定义和二次函数知识结合，解题的核心是把“倍值点唯一”的条件转化为一元二次方程有两个相等实根的问题，解题时要注意二次函数二次项系数不为0的隐含条件，避免漏判。
【难度系数】
0.6
