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19.(10分)如图，抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴相交于B(1,0)、C(3,0)两点，与y轴相交于点A，点D为抛物线的顶点。
(1)求抛物线的表达式；
(2)分别求点A、D的坐标和抛物线的对称轴。
(1)求抛物线的表达式；
(2)分别求点A、D的坐标和抛物线的对称轴。
答案
19.解:(1)由题意可得 $y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$.
(2)当 x=0 时,$y=0^2-4×0+3=3$,即 A(0,3);
$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$,
∴D(2,-1),对称轴为直线 x=2.
(2)当 x=0 时,$y=0^2-4×0+3=3$,即 A(0,3);
$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$,
∴D(2,-1),对称轴为直线 x=2.
解析
【分析】
(1)求抛物线表达式，已知抛物线与x轴交于B(1,0)、C(3,0)两点，且二次项系数为1，可直接用交点式写解析式，也可将B、C两点坐标代入一般式$y=x^2+bx+c$，解方程组求出b、c的值，两种方法均符合当前学段要求。
(2)求点A坐标：A是抛物线与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，将x=0代入解析式即可求出对应y值，得到A的坐标；求顶点D坐标和对称轴，可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接得到顶点坐标与对称轴，也可使用对称轴、顶点坐标公式计算，两种方法都能得到结果。
【解析】
(1)已知抛物线与x轴交于B(1,0)、C(3,0)，且二次项系数为1，因此抛物线的交点式为$y=(x-1)(x-3)$，展开整理得$y=x^2-4x+3$。
(2)求A点坐标：A为抛物线与y轴的交点，令x=0，代入解析式得$y=0^2-4×0+3=3$，即A点坐标为(0,3)。
将解析式配方变形为顶点式：$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$，根据顶点式的性质可得，顶点D的坐标为(2,-1)，抛物线的对称轴为直线$x=2$。
【答案】
(1) $y=x^2-4x+3$
(2) A(0,3)，D(2,-1)，对称轴为直线$x=2$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的图像与性质
3. 二次函数与坐标轴交点求法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查二次函数解析式的求解，以及顶点、对称轴、与坐标轴交点的计算，掌握二次函数的基础性质和待定系数法即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
(1)求抛物线表达式，已知抛物线与x轴交于B(1,0)、C(3,0)两点，且二次项系数为1，可直接用交点式写解析式，也可将B、C两点坐标代入一般式$y=x^2+bx+c$，解方程组求出b、c的值，两种方法均符合当前学段要求。
(2)求点A坐标：A是抛物线与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，将x=0代入解析式即可求出对应y值，得到A的坐标；求顶点D坐标和对称轴，可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接得到顶点坐标与对称轴，也可使用对称轴、顶点坐标公式计算，两种方法都能得到结果。
【解析】
(1)已知抛物线与x轴交于B(1,0)、C(3,0)，且二次项系数为1，因此抛物线的交点式为$y=(x-1)(x-3)$，展开整理得$y=x^2-4x+3$。
(2)求A点坐标：A为抛物线与y轴的交点，令x=0，代入解析式得$y=0^2-4×0+3=3$，即A点坐标为(0,3)。
将解析式配方变形为顶点式：$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$，根据顶点式的性质可得，顶点D的坐标为(2,-1)，抛物线的对称轴为直线$x=2$。
【答案】
(1) $y=x^2-4x+3$
(2) A(0,3)，D(2,-1)，对称轴为直线$x=2$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的图像与性质
3. 二次函数与坐标轴交点求法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查二次函数解析式的求解，以及顶点、对称轴、与坐标轴交点的计算，掌握二次函数的基础性质和待定系数法即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
20.(10分)综合与实践:学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动.
已知花圃一边靠墙(墙的长度不限),其余部分用总长为60 m的栅栏围成.兴趣小组设计了以下两种方案:
方案一
如图，围成一个面积为450 m²的矩形花圃.
方案二
如图，围成矩形花圃时，用栅栏(栅栏宽度忽略不计)将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3 m的进出口(此处不用栅栏).
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少？
已知花圃一边靠墙(墙的长度不限),其余部分用总长为60 m的栅栏围成.兴趣小组设计了以下两种方案:
方案一
如图，围成一个面积为450 m²的矩形花圃.
方案二
如图，围成矩形花圃时，用栅栏(栅栏宽度忽略不计)将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3 m的进出口(此处不用栅栏).
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少？
答案
20.解:(1)设方案一中与墙垂直的边的长度为 x m,则与墙平行的边的长度为 (60-2x)m,
根据题意,得 $x(60-2x)=450$,
解得 $x_1=x_2=15$.
答:方案一中与墙垂直的边的长度为 15 m.
(2)设方案二中与墙平行的边的长度为 t m,花圃的面积为 S m².
根据题意,得 $S=\dfrac{1}{3} t(66-t)=-\dfrac{1}{3} t^2+22t$,
∴$S=-\dfrac{1}{3}(t-33)^2+363$.
∵$-\dfrac{1}{3}＜0$,
∴当 t=33 时,S 有最大值 363.
答:要使方案二中花圃的面积最大,与墙平行的边的长度为 33 m.
根据题意,得 $x(60-2x)=450$,
解得 $x_1=x_2=15$.
答:方案一中与墙垂直的边的长度为 15 m.
(2)设方案二中与墙平行的边的长度为 t m,花圃的面积为 S m².
根据题意,得 $S=\dfrac{1}{3} t(66-t)=-\dfrac{1}{3} t^2+22t$,
∴$S=-\dfrac{1}{3}(t-33)^2+363$.
∵$-\dfrac{1}{3}＜0$,
∴当 t=33 时,S 有最大值 363.
答:要使方案二中花圃的面积最大,与墙平行的边的长度为 33 m.
解析
【分析】
（1）解决第一问时，先设与墙垂直的边长为$x\ \mathrm{m}$，由于花圃一面靠墙，总栅栏长60m，因此与墙平行的边长为总栅栏长度减去2个垂直边的长度，即$(60-2x)\ \mathrm{m}$，再根据矩形面积公式结合已知面积列一元二次方程，求解后验证结果符合实际意义即可。
（2）解决第二问时，首先明确两侧各留3m进出口，等效于可使用的栅栏总长度增加了$2×3=6\ \mathrm{m}$，即总等效长度为66m；设与墙平行的边长为$t\ \mathrm{m}$，由于中间有1道分隔栅栏，共有3段与墙垂直的边，因此每段垂直边长为$\frac{66-t}{3}\ \mathrm{m}$，再根据面积公式得到面积关于$t$的二次函数解析式，将解析式配方为顶点式，结合二次函数的开口方向即可求得面积最大时$t$的取值。
【解析】
(1) 设方案一中与墙垂直的边的长度为$x\ \mathrm{m}$，则与墙平行的边的长度为$(60-2x)\ \mathrm{m}$，
根据题意列方程得：
$x(60-2x)=450$
整理得$(x-15)^2=0$，解得$x_1=x_2=15$，经检验符合实际意义。
(2) 设方案二中与墙平行的边的长度为$t\ \mathrm{m}$，花圃的面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
两侧进出口共长$3×2=6\ \mathrm{m}$，因此等效栅栏总长度为$60+6=66\ \mathrm{m}$，3段与墙垂直的边总长度为$(66-t)\ \mathrm{m}$，每段垂直边长为$\frac{66-t}{3}\ \mathrm{m}$，因此面积：
$S=\dfrac{1}{3} t(66-t)=-\dfrac{1}{3} t^2+22t$
配方得：
$S=-\dfrac{1}{3}(t-33)^2+363$
由于$-\dfrac{1}{3}＜0$，二次函数开口向下，因此当$t=33$时，$S$取得最大值，符合实际意义。
【答案】
(1) 方案一中与墙垂直的边的长度为$\boxed{15\ \mathrm{m}}$；
(2) 要使方案二中花圃面积最大，与墙平行的边的长度为$\boxed{33\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合生活实际场景考查方程与函数的应用，解题核心是准确梳理栅栏长度和矩形各边长的数量关系，第二问中进出口的处理是易错点，需先推导等效栅栏总长度再计算边长，同时要熟练掌握二次函数求最值的方法。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问时，先设与墙垂直的边长为$x\ \mathrm{m}$，由于花圃一面靠墙，总栅栏长60m，因此与墙平行的边长为总栅栏长度减去2个垂直边的长度，即$(60-2x)\ \mathrm{m}$，再根据矩形面积公式结合已知面积列一元二次方程，求解后验证结果符合实际意义即可。
（2）解决第二问时，首先明确两侧各留3m进出口，等效于可使用的栅栏总长度增加了$2×3=6\ \mathrm{m}$，即总等效长度为66m；设与墙平行的边长为$t\ \mathrm{m}$，由于中间有1道分隔栅栏，共有3段与墙垂直的边，因此每段垂直边长为$\frac{66-t}{3}\ \mathrm{m}$，再根据面积公式得到面积关于$t$的二次函数解析式，将解析式配方为顶点式，结合二次函数的开口方向即可求得面积最大时$t$的取值。
【解析】
(1) 设方案一中与墙垂直的边的长度为$x\ \mathrm{m}$，则与墙平行的边的长度为$(60-2x)\ \mathrm{m}$，
根据题意列方程得：
$x(60-2x)=450$
整理得$(x-15)^2=0$，解得$x_1=x_2=15$，经检验符合实际意义。
(2) 设方案二中与墙平行的边的长度为$t\ \mathrm{m}$，花圃的面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
两侧进出口共长$3×2=6\ \mathrm{m}$，因此等效栅栏总长度为$60+6=66\ \mathrm{m}$，3段与墙垂直的边总长度为$(66-t)\ \mathrm{m}$，每段垂直边长为$\frac{66-t}{3}\ \mathrm{m}$，因此面积：
$S=\dfrac{1}{3} t(66-t)=-\dfrac{1}{3} t^2+22t$
配方得：
$S=-\dfrac{1}{3}(t-33)^2+363$
由于$-\dfrac{1}{3}＜0$，二次函数开口向下，因此当$t=33$时，$S$取得最大值，符合实际意义。
【答案】
(1) 方案一中与墙垂直的边的长度为$\boxed{15\ \mathrm{m}}$；
(2) 要使方案二中花圃面积最大，与墙平行的边的长度为$\boxed{33\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合生活实际场景考查方程与函数的应用，解题核心是准确梳理栅栏长度和矩形各边长的数量关系，第二问中进出口的处理是易错点，需先推导等效栅栏总长度再计算边长，同时要熟练掌握二次函数求最值的方法。
【难度系数】
0.7
