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7. 已知二次函数$y=x^2+bx+c$的图像经过点$A(1,3)$、$B(-1,1)$，则这个二次函数的表达式为
$y=x^2+x+1$
。答案
7.$y=x^2+x+1$
解析
【分析】
本题要求二次函数的表达式，已知函数解析式中仅含有b、c两个未知系数，且已知函数图像经过两个点的坐标，可利用待定系数法求解：函数图像上的点的坐标满足函数解析式，将两个点的坐标分别代入解析式，即可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，再代回原解析式即可得到结果。
【解析】
∵二次函数$y=x^2+bx+c$的图像经过点$A(1,3)$、$B(-1,1)$
∴将两点坐标分别代入解析式可得：
$\begin{cases} 1^2 + b×1 + c = 3 \\ (-1)^2 + b×(-1) + c = 1 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases} b + c = 2 ① \\ -b + c = 0 ② \end{cases}$
用①+②消去b，得：$2c=2$，解得$c=1$
将$c=1$代入②，得：$-b + 1 = 0$，解得$b=1$
把$b=1$，$c=1$代入$y=x^2+bx+c$，得二次函数表达式为$y=x^2+x+1$
【答案】
$y=x^2+x+1$
【知识点】
1. 二次函数点坐标特征
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题关键是明确函数图像上的点的坐标符合函数解析式，计算量小，是必须掌握的基础得分题型。
【难度系数】
0.85
本题要求二次函数的表达式，已知函数解析式中仅含有b、c两个未知系数，且已知函数图像经过两个点的坐标，可利用待定系数法求解：函数图像上的点的坐标满足函数解析式，将两个点的坐标分别代入解析式，即可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，再代回原解析式即可得到结果。
【解析】
∵二次函数$y=x^2+bx+c$的图像经过点$A(1,3)$、$B(-1,1)$
∴将两点坐标分别代入解析式可得：
$\begin{cases} 1^2 + b×1 + c = 3 \\ (-1)^2 + b×(-1) + c = 1 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases} b + c = 2 ① \\ -b + c = 0 ② \end{cases}$
用①+②消去b，得：$2c=2$，解得$c=1$
将$c=1$代入②，得：$-b + 1 = 0$，解得$b=1$
把$b=1$，$c=1$代入$y=x^2+bx+c$，得二次函数表达式为$y=x^2+x+1$
【答案】
$y=x^2+x+1$
【知识点】
1. 二次函数点坐标特征
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题关键是明确函数图像上的点的坐标符合函数解析式，计算量小，是必须掌握的基础得分题型。
【难度系数】
0.85
8. 把函数$y=-x^2+2x+3$的图像沿$x$轴翻折后向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数图像的表达式为
$y=x^2-4x+1$
。答案
8.$y=x^2-4x+1$
解析
【分析】
解决二次函数图像变换类问题，优先将原函数化为顶点式，方便跟踪顶点变化、处理开口方向改变，步骤如下：1. 用配方法把原二次函数转化为顶点式，确定顶点坐标和开口方向；2. 沿x轴翻折时，图像上所有点横坐标不变、纵坐标变为相反数，因此开口方向反向，顶点纵坐标变号，得到翻折后的函数；3. 按照“左加右减（针对自变量x）、上加下减（针对常数项）”的平移规律，依次完成向右、向上的平移操作，最后整理为一般式即可。
【解析】
第一步：将原函数配方为顶点式
$y=-x^2+2x+3$
$=-(x^2-2x)+3$
$=-(x^2-2x+1-1)+3$
$=-(x-1)^2+4$
原函数顶点为$(1,4)$，开口向下。
第二步：沿x轴翻折
翻折后横坐标不变，纵坐标变相反数，开口方向变为向上，翻折后的函数为：
$y=(x-1)^2-4$
第三步：向右平移1个单位
根据“左加右减”，将$x$替换为$x-1$：
$y=(x-1-1)^2-4=(x-2)^2-4$
第四步：向上平移1个单位
根据“上加下减”，常数项加1：
$y=(x-2)^2-4+1=(x-2)^2-3$
展开为一般式：
$y=x^2-4x+4-3=x^2-4x+1$
【答案】
$y=x^2-4x+1$
【知识点】
二次函数配方、二次函数翻折规律、二次函数平移规律
【点评】
本题属于二次函数图像变换的基础题型，核心是掌握翻折和平移的坐标变化规则，使用顶点式处理变换能有效减少计算错误，是二次函数章节需要熟练掌握的基础技能。
【难度系数】
0.7
解决二次函数图像变换类问题，优先将原函数化为顶点式，方便跟踪顶点变化、处理开口方向改变，步骤如下：1. 用配方法把原二次函数转化为顶点式，确定顶点坐标和开口方向；2. 沿x轴翻折时，图像上所有点横坐标不变、纵坐标变为相反数，因此开口方向反向，顶点纵坐标变号，得到翻折后的函数；3. 按照“左加右减（针对自变量x）、上加下减（针对常数项）”的平移规律，依次完成向右、向上的平移操作，最后整理为一般式即可。
【解析】
第一步：将原函数配方为顶点式
$y=-x^2+2x+3$
$=-(x^2-2x)+3$
$=-(x^2-2x+1-1)+3$
$=-(x-1)^2+4$
原函数顶点为$(1,4)$，开口向下。
第二步：沿x轴翻折
翻折后横坐标不变，纵坐标变相反数，开口方向变为向上，翻折后的函数为：
$y=(x-1)^2-4$
第三步：向右平移1个单位
根据“左加右减”，将$x$替换为$x-1$：
$y=(x-1-1)^2-4=(x-2)^2-4$
第四步：向上平移1个单位
根据“上加下减”，常数项加1：
$y=(x-2)^2-4+1=(x-2)^2-3$
展开为一般式：
$y=x^2-4x+4-3=x^2-4x+1$
【答案】
$y=x^2-4x+1$
【知识点】
二次函数配方、二次函数翻折规律、二次函数平移规律
【点评】
本题属于二次函数图像变换的基础题型，核心是掌握翻折和平移的坐标变化规则，使用顶点式处理变换能有效减少计算错误，是二次函数章节需要熟练掌握的基础技能。
【难度系数】
0.7
9. 如图是函数$y=x^2 -4x +3$的图像，则方程$x^2 +4x +3=0$的解是________。
答案
9.$x_1=-1,x_2=-3$
解析
【分析】
本题有两种常见解题思路：1. 直接求解目标一元二次方程，优先选择简便的因式分解法，将二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再根据“乘积为0则至少一个因式为0”的规则求解；2. 结合已知二次函数图像的性质：已知函数$y=x^2-4x+3$与x轴交点的横坐标就是方程$x^2-4x+3=0$的解，将目标方程变形为和已知方程形式一致的式子，通过代换得到解。
【解析】
解法1（因式分解法）：
对二次三项式$x^2+4x+3$因式分解，可得$x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$
原方程可改写为：$\boldsymbol{(x+1)(x+3)=0}$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x+1=0$ 或 $x+3=0$
分别解得：$x_1=-1$，$x_2=-3$
解法2（结合二次函数性质求解）：
由图像可知，函数$y=x^2-4x+3$与x轴交于$(1,0)$、$(3,0)$，即方程$x^2-4x+3=0$的解为$x=1$或$x=3$
将目标方程$x^2+4x+3=0$变形为：$(-x)^2 -4·(-x)+3=0$
令$t=-x$，则方程变为$t^2-4t+3=0$，解得$t=1$或$t=3$
即$-x=1$或$-x=3$，因此$x=-1$或$x=-3$
【答案】
$x_1=-1,x_2=-3$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题既可以直接通过解方程得到答案，也可以结合已知二次函数的图像性质求解，考查对一元二次方程解法的掌握程度，以及对二次函数和对应方程关系的理解，解题时注意不要混淆两个方程，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题有两种常见解题思路：1. 直接求解目标一元二次方程，优先选择简便的因式分解法，将二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再根据“乘积为0则至少一个因式为0”的规则求解；2. 结合已知二次函数图像的性质：已知函数$y=x^2-4x+3$与x轴交点的横坐标就是方程$x^2-4x+3=0$的解，将目标方程变形为和已知方程形式一致的式子，通过代换得到解。
【解析】
解法1（因式分解法）：
对二次三项式$x^2+4x+3$因式分解，可得$x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$
原方程可改写为：$\boldsymbol{(x+1)(x+3)=0}$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x+1=0$ 或 $x+3=0$
分别解得：$x_1=-1$，$x_2=-3$
解法2（结合二次函数性质求解）：
由图像可知，函数$y=x^2-4x+3$与x轴交于$(1,0)$、$(3,0)$，即方程$x^2-4x+3=0$的解为$x=1$或$x=3$
将目标方程$x^2+4x+3=0$变形为：$(-x)^2 -4·(-x)+3=0$
令$t=-x$，则方程变为$t^2-4t+3=0$，解得$t=1$或$t=3$
即$-x=1$或$-x=3$，因此$x=-1$或$x=-3$
【答案】
$x_1=-1,x_2=-3$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题既可以直接通过解方程得到答案，也可以结合已知二次函数的图像性质求解，考查对一元二次方程解法的掌握程度，以及对二次函数和对应方程关系的理解，解题时注意不要混淆两个方程，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
10.已知关于$x$的二次函数$y=x^2+2mx+2$，当$x＞2$时，$y$的值随$x$值的增大而增大，则实数$m$的取值范围是
$m≥-2$
。答案
10.$m≥-2$
解析
【分析】
本题考查二次函数的单调性相关应用，解题思路如下：第一步先判断二次函数的开口方向，由二次项系数a=1＞0可知抛物线开口向上，开口向上的二次函数在对称轴右侧y随x增大而增大；第二步利用对称轴公式求出该抛物线的对称轴；第三步结合题目“x＞2时y随x增大而增大”的条件，可知x＞2的区间需全部落在对称轴右侧，由此列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：对于二次函数$y=x^2+2mx+2$，
∵二次项系数$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，
抛物线的对称轴为直线：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2m}{2×1}=-m$，
∵当$x＞2$时，$y$的值随$x$值的增大而增大，
∴对称轴需在直线$x=2$的左侧或与$x=2$重合，即$-m≤2$，
解得：$m≥-2$。
【答案】
$m≥-2$
【知识点】
二次函数的图象与性质；一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题关键是掌握开口方向、对称轴与二次函数单调性的对应关系，结合题意列不等式求解，易错点为列不等式时漏掉等号，或解不等式时弄错不等号方向。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数的单调性相关应用，解题思路如下：第一步先判断二次函数的开口方向，由二次项系数a=1＞0可知抛物线开口向上，开口向上的二次函数在对称轴右侧y随x增大而增大；第二步利用对称轴公式求出该抛物线的对称轴；第三步结合题目“x＞2时y随x增大而增大”的条件，可知x＞2的区间需全部落在对称轴右侧，由此列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：对于二次函数$y=x^2+2mx+2$，
∵二次项系数$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，
抛物线的对称轴为直线：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2m}{2×1}=-m$，
∵当$x＞2$时，$y$的值随$x$值的增大而增大，
∴对称轴需在直线$x=2$的左侧或与$x=2$重合，即$-m≤2$，
解得：$m≥-2$。
【答案】
$m≥-2$
【知识点】
二次函数的图象与性质；一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题关键是掌握开口方向、对称轴与二次函数单调性的对应关系，结合题意列不等式求解，易错点为列不等式时漏掉等号，或解不等式时弄错不等号方向。
【难度系数】
0.7
11.关于$x$的二次函数$y=2x^2+bx+c$的图像经过点$(2,3)$，且顶点在直线$y=3x-2$上，则$b=$
－4 或－6
。答案
11.－4 或－6
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路推导：首先利用二次函数过已知点$(2,3)$，代入解析式得到$b$和$c$的关系式；再结合二次函数顶点坐标公式，将顶点代入直线$y=3x-2$得到第二个关于$b$、$c$的关系式；最后联立两个关系式消去$c$，解关于$b$的一元二次方程即可得到结果。
【解析】
1. 将点$(2,3)$代入二次函数$y=2x^2+bx+c$，得：
$3=2×2^2 + 2b + c$
化简得$3=8+2b+c$，整理得：
$c=-2b-5 \quad ①$
2. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，本题中$a=2$，因此顶点横坐标为$x=-\frac{b}{4}$，顶点纵坐标为$y=\frac{8c - b^2}{8}$。
3. 因为顶点在直线$y=3x-2$上，将顶点坐标代入直线方程：
$\frac{8c - b^2}{8}=3×(-\frac{b}{4})-2$
两边同时乘8消去分母，得：
$8c - b^2 = -6b -16 \quad ②$
4. 将①代入②，得：
$8×(-2b -5) - b^2 = -6b -16$
展开计算：$-16b -40 -b^2 = -6b -16$，移项整理为标准一元二次方程形式：
$b^2 + 10b +24=0$
因式分解得$(b+4)(b+6)=0$，解得$b=-4$或$b=-6$。
【答案】
－4 或－6
【知识点】
二次函数的性质，顶点坐标公式，待定系数法
【点评】
本题是二次函数参数求解的典型题型，结合了点在函数图像上的性质与顶点坐标公式两个考点，解题关键是熟练掌握顶点坐标的表示方法，通过联立方程消元求解参数，计算时要注意避免符号错误。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按以下思路推导：首先利用二次函数过已知点$(2,3)$，代入解析式得到$b$和$c$的关系式；再结合二次函数顶点坐标公式，将顶点代入直线$y=3x-2$得到第二个关于$b$、$c$的关系式；最后联立两个关系式消去$c$，解关于$b$的一元二次方程即可得到结果。
【解析】
1. 将点$(2,3)$代入二次函数$y=2x^2+bx+c$，得：
$3=2×2^2 + 2b + c$
化简得$3=8+2b+c$，整理得：
$c=-2b-5 \quad ①$
2. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，本题中$a=2$，因此顶点横坐标为$x=-\frac{b}{4}$，顶点纵坐标为$y=\frac{8c - b^2}{8}$。
3. 因为顶点在直线$y=3x-2$上，将顶点坐标代入直线方程：
$\frac{8c - b^2}{8}=3×(-\frac{b}{4})-2$
两边同时乘8消去分母，得：
$8c - b^2 = -6b -16 \quad ②$
4. 将①代入②，得：
$8×(-2b -5) - b^2 = -6b -16$
展开计算：$-16b -40 -b^2 = -6b -16$，移项整理为标准一元二次方程形式：
$b^2 + 10b +24=0$
因式分解得$(b+4)(b+6)=0$，解得$b=-4$或$b=-6$。
【答案】
－4 或－6
【知识点】
二次函数的性质，顶点坐标公式，待定系数法
【点评】
本题是二次函数参数求解的典型题型，结合了点在函数图像上的性质与顶点坐标公式两个考点，解题关键是熟练掌握顶点坐标的表示方法，通过联立方程消元求解参数，计算时要注意避免符号错误。
【难度系数】
0.6
12.若函数$y=(a-1)x^2 -4x +2a$的图像与x轴有且只有一个交点，则a的值为
－1 或 2 或 1
。答案
12.－1 或 2 或 1
解析
【分析】
解题时需注意题目未明确函数类型，因此要分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，二次项系数为0，一次函数与x轴必然只有1个交点，可直接求a的值；②当函数为二次函数时，二次项系数不为0，此时图像与x轴仅有1个交点说明判别式Δ=0，代入公式计算即可得到对应a值，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当函数为一次函数时，二次项系数为0，即$a-1=0$，解得$a=1$。
此时函数为$y=-4x+2$，是一次函数，图像与x轴有且只有一个交点，符合题意。
2. 当函数为二次函数时，二次项系数不为0，即$a≠1$。
二次函数与x轴仅有1个交点时判别式$\Delta = b^2-4ac=0$，其中$a=a-1$，$b=-4$，$c=2a$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 -4×(a-1)×2a =0$
整理得：$16-8a(a-1)=0$，化简为$a^2 -a -2=0$
因式分解得$(a-2)(a+1)=0$，解得$a=2$或$a=-1$，均满足$a≠1$的条件。
综上，a的值为-1或2或1。
【答案】
－1 或 2 或 1
【知识点】
一次函数图象性质、二次函数与x轴交点、判别式应用
【点评】
本题易错点是容易默认函数为二次函数，忽略一次函数的情况导致漏解，遇到未明确函数类型的题目时，要注意结合最高次项系数是否为0分类讨论。
【难度系数】
0.6
解题时需注意题目未明确函数类型，因此要分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，二次项系数为0，一次函数与x轴必然只有1个交点，可直接求a的值；②当函数为二次函数时，二次项系数不为0，此时图像与x轴仅有1个交点说明判别式Δ=0，代入公式计算即可得到对应a值，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当函数为一次函数时，二次项系数为0，即$a-1=0$，解得$a=1$。
此时函数为$y=-4x+2$，是一次函数，图像与x轴有且只有一个交点，符合题意。
2. 当函数为二次函数时，二次项系数不为0，即$a≠1$。
二次函数与x轴仅有1个交点时判别式$\Delta = b^2-4ac=0$，其中$a=a-1$，$b=-4$，$c=2a$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 -4×(a-1)×2a =0$
整理得：$16-8a(a-1)=0$，化简为$a^2 -a -2=0$
因式分解得$(a-2)(a+1)=0$，解得$a=2$或$a=-1$，均满足$a≠1$的条件。
综上，a的值为-1或2或1。
【答案】
－1 或 2 或 1
【知识点】
一次函数图象性质、二次函数与x轴交点、判别式应用
【点评】
本题易错点是容易默认函数为二次函数，忽略一次函数的情况导致漏解，遇到未明确函数类型的题目时，要注意结合最高次项系数是否为0分类讨论。
【难度系数】
0.6
13. 二次函数$y=-2x^2 +3$在$-1≤ x≤4$内的最小值是
－29
。答案
13.－29
解析
【分析】
首先明确二次函数的基本性质：该二次函数的二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$）。开口向下的抛物线，在给定区间内，自变量离对称轴越远，对应的函数值越小。接下来只需计算给定区间$[-1,4]$内两个端点到对称轴的距离，找到距离最远的自变量取值，代入函数计算即可得到最小值。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2 +3$：
1. 确定开口方向与对称轴：
∵二次项系数$a=-2＜0$，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$；
2. 判断最值对应自变量位置：开口向下的抛物线，区间内离对称轴越远函数值越小。在$-1≤ x≤4$范围内，$x=-1$到对称轴的距离为$|-1-0|=1$，$x=4$到对称轴的距离为$|4-0|=4$，$4＞1$，因此$x=4$时函数取得最小值；
3. 代入计算：当$x=4$时，$y=-2×4^2 +3=-2×16+3=-32+3=-29$。
【答案】
$-29$
【知识点】
二次函数性质，二次函数最值求解，区间最值判断
【点评】
本题属于二次函数最值的基础应用类题目，解题核心是不要直接将顶点的函数值当做最值，要结合抛物线的开口方向、对称轴以及给定的自变量取值范围综合判断最值对应的自变量位置，计算时要注意运算准确性。
【难度系数】
0.7
首先明确二次函数的基本性质：该二次函数的二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$）。开口向下的抛物线，在给定区间内，自变量离对称轴越远，对应的函数值越小。接下来只需计算给定区间$[-1,4]$内两个端点到对称轴的距离，找到距离最远的自变量取值，代入函数计算即可得到最小值。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2 +3$：
1. 确定开口方向与对称轴：
∵二次项系数$a=-2＜0$，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$；
2. 判断最值对应自变量位置：开口向下的抛物线，区间内离对称轴越远函数值越小。在$-1≤ x≤4$范围内，$x=-1$到对称轴的距离为$|-1-0|=1$，$x=4$到对称轴的距离为$|4-0|=4$，$4＞1$，因此$x=4$时函数取得最小值；
3. 代入计算：当$x=4$时，$y=-2×4^2 +3=-2×16+3=-32+3=-29$。
【答案】
$-29$
【知识点】
二次函数性质，二次函数最值求解，区间最值判断
【点评】
本题属于二次函数最值的基础应用类题目，解题核心是不要直接将顶点的函数值当做最值，要结合抛物线的开口方向、对称轴以及给定的自变量取值范围综合判断最值对应的自变量位置，计算时要注意运算准确性。
【难度系数】
0.7
14.如图,有长为24 m 的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m),围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃 ABCD,则花圃 ABCD 面积的最大值为
$\dfrac{140}{3}$
m².答案
14.$\dfrac{140}{3}$
解析
【分析】
首先设垂直于墙的边长为x m，可得平行于墙的边长为(24-3x)m，结合墙的最大可用长度10m及边长为正，先求出x的取值范围；再根据矩形面积公式列出面积S关于x的二次函数表达式，结合二次函数的单调性，在x的取值范围内求面积的最大值即可。
【解析】
解：设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，花圃的面积为$S\ \mathrm{m^2}$，则平行于墙的边长为$(24-3x)\ \mathrm{m}$。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}24-3x≤10 \\ 24-3x＞0 \end{cases}$
解得：$\frac{14}{3}≤ x＜8$。
由矩形面积公式得：
$S=x(24-3x)=-3x^2+24x$
该函数是开口向下的二次函数，对称轴为直线$x=-\frac{24}{2×(-3)}=4$。
因为开口向下的二次函数在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，且$\frac{14}{3}＞4$，所以当$x=\frac{14}{3}$时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=\frac{14}{3}×(24-3×\frac{14}{3})=\frac{14}{3}×10=\frac{140}{3}$
【答案】
$\dfrac{140}{3}$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；取值范围确定
【点评】
本题是二次函数的实际应用问题，易错点是忽略墙的长度限制，直接在对称轴处取最值，解题时需先结合实际条件确定自变量的取值范围，再根据函数的单调性判断最值对应的取值点。
【难度系数】
0.6
首先设垂直于墙的边长为x m，可得平行于墙的边长为(24-3x)m，结合墙的最大可用长度10m及边长为正，先求出x的取值范围；再根据矩形面积公式列出面积S关于x的二次函数表达式，结合二次函数的单调性，在x的取值范围内求面积的最大值即可。
【解析】
解：设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，花圃的面积为$S\ \mathrm{m^2}$，则平行于墙的边长为$(24-3x)\ \mathrm{m}$。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}24-3x≤10 \\ 24-3x＞0 \end{cases}$
解得：$\frac{14}{3}≤ x＜8$。
由矩形面积公式得：
$S=x(24-3x)=-3x^2+24x$
该函数是开口向下的二次函数，对称轴为直线$x=-\frac{24}{2×(-3)}=4$。
因为开口向下的二次函数在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，且$\frac{14}{3}＞4$，所以当$x=\frac{14}{3}$时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=\frac{14}{3}×(24-3×\frac{14}{3})=\frac{14}{3}×10=\frac{140}{3}$
【答案】
$\dfrac{140}{3}$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；取值范围确定
【点评】
本题是二次函数的实际应用问题，易错点是忽略墙的长度限制，直接在对称轴处取最值，解题时需先结合实际条件确定自变量的取值范围，再根据函数的单调性判断最值对应的取值点。
【难度系数】
0.6
15.如图,函数$y=ax^2+c$与$y=mx+n$的图像交于$A(-1,p)$、$B(3,q)$两点,则关于$x$的不等式$ax^2 - mx + c ＞ n$的解集是________。
答案
15.$x＜-1$ 或 $x＞3$
解析
【分析】
首先对所求不等式进行变形，将其转化为两个函数值大小比较的形式：不等式$ax^2 - mx + c ＞ n$可移项为$ax^2 + c ＞ mx + n$，该不等式的几何意义是二次函数$y=ax^2+c$的函数值大于一次函数$y=mx+n$的函数值，对应在图像上就是抛物线位于直线上方部分的横坐标的取值范围，再结合两个函数交点的横坐标即可确定解集。
【解析】
将不等式$ax^2 - mx + c ＞ n$移项整理得：$ax^2 + c ＞ mx + n$。
该不等式的解对应二次函数$y=ax^2+c$的图像在一次函数$y=mx+n$图像上方时$x$的取值范围。
已知两函数图像交于$A(-1,p)$、$B(3,q)$两点，结合图像可得：当$x ＜ -1$或$x ＞ 3$时，抛物线位于直线上方，满足$ax^2 + c ＞ mx + n$。
【答案】
$x＜-1$ 或 $x＞3$
【知识点】
二次函数与不等式、函数交点的含义
【点评】
本题考查数形结合思想在解不等式中的应用，解题关键是将不等式转化为两个函数值的大小比较问题，结合图像特征可快速得到解集，避免了复杂的代数计算。
【难度系数】
0.7
首先对所求不等式进行变形，将其转化为两个函数值大小比较的形式：不等式$ax^2 - mx + c ＞ n$可移项为$ax^2 + c ＞ mx + n$，该不等式的几何意义是二次函数$y=ax^2+c$的函数值大于一次函数$y=mx+n$的函数值，对应在图像上就是抛物线位于直线上方部分的横坐标的取值范围，再结合两个函数交点的横坐标即可确定解集。
【解析】
将不等式$ax^2 - mx + c ＞ n$移项整理得：$ax^2 + c ＞ mx + n$。
该不等式的解对应二次函数$y=ax^2+c$的图像在一次函数$y=mx+n$图像上方时$x$的取值范围。
已知两函数图像交于$A(-1,p)$、$B(3,q)$两点，结合图像可得：当$x ＜ -1$或$x ＞ 3$时，抛物线位于直线上方，满足$ax^2 + c ＞ mx + n$。
【答案】
$x＜-1$ 或 $x＞3$
【知识点】
二次函数与不等式、函数交点的含义
【点评】
本题考查数形结合思想在解不等式中的应用，解题关键是将不等式转化为两个函数值的大小比较问题，结合图像特征可快速得到解集，避免了复杂的代数计算。
【难度系数】
0.7
16.如图，抛物线$y=-x^2+2x+3$与y轴交于点C、D(0,1)，点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为
$(1+\sqrt{2},2)$或$(1-\sqrt{2},2)$
。答案
16.$(1+\sqrt{2},2)$或$(1-\sqrt{2},2)$ 解析:当 x=0 时,y=-x²+2x+3=3,则 C(0,3).
∵△PCD 是以 CD 为底的等腰三角形,
∴点 P 为直线 y=2 与抛物线 y=-x²+2x+3 的交点. 当 y=2 时,-x²+2x+3=2,解得 $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$,
∴点 P 的坐标为 $(1+\sqrt{2},2)$ 或 $(1-\sqrt{2},2)$.
∵△PCD 是以 CD 为底的等腰三角形,
∴点 P 为直线 y=2 与抛物线 y=-x²+2x+3 的交点. 当 y=2 时,-x²+2x+3=2,解得 $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$,
∴点 P 的坐标为 $(1+\sqrt{2},2)$ 或 $(1-\sqrt{2},2)$.
解析
【分析】
解题时首先先确定点C的坐标：C是抛物线与y轴的交点，令x=0代入抛物线解析式即可求出C点坐标。其次，△PCD是以CD为底的等腰三角形，说明点P到C、D两点距离相等，因此点P在CD的垂直平分线上。由于C、D都在y轴上，CD为竖直线段，它的垂直平分线是水平直线，纵坐标为CD中点的纵坐标，即可得到点P的纵坐标。最后将点P纵坐标代入抛物线解析式，求解对应的x值，即可得到点P的坐标。
【解析】
解：当x=0时，代入抛物线解析式$y=-x^2+2x+3$，得$y=3$，因此$C(0,3)$。
已知$D(0,1)$，因为$△ PCD$是以CD为底的等腰三角形，所以点P在CD的垂直平分线上。
CD的中点纵坐标为$\frac{3+1}{2}=2$，CD为竖直线段，其垂直平分线为直线$y=2$，即点P的纵坐标为2。
将$y=2$代入抛物线解析式，得：
$-x^2+2x+3=2$
整理得$x^2-2x-1=0$
解得$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$
因此点P的坐标为$(1+\sqrt{2},2)$或$(1-\sqrt{2},2)$。
【答案】
$(1+\sqrt{2},2)$或$(1-\sqrt{2},2)$
【知识点】
等腰三角形性质，二次函数图象特征，解一元二次方程
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，核心是利用等腰三角形的性质推导点P的纵坐标，将几何问题转化为解方程的代数问题，较好地考察了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
解题时首先先确定点C的坐标：C是抛物线与y轴的交点，令x=0代入抛物线解析式即可求出C点坐标。其次，△PCD是以CD为底的等腰三角形，说明点P到C、D两点距离相等，因此点P在CD的垂直平分线上。由于C、D都在y轴上，CD为竖直线段，它的垂直平分线是水平直线，纵坐标为CD中点的纵坐标，即可得到点P的纵坐标。最后将点P纵坐标代入抛物线解析式，求解对应的x值，即可得到点P的坐标。
【解析】
解：当x=0时，代入抛物线解析式$y=-x^2+2x+3$，得$y=3$，因此$C(0,3)$。
已知$D(0,1)$，因为$△ PCD$是以CD为底的等腰三角形，所以点P在CD的垂直平分线上。
CD的中点纵坐标为$\frac{3+1}{2}=2$，CD为竖直线段，其垂直平分线为直线$y=2$，即点P的纵坐标为2。
将$y=2$代入抛物线解析式，得：
$-x^2+2x+3=2$
整理得$x^2-2x-1=0$
解得$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$
因此点P的坐标为$(1+\sqrt{2},2)$或$(1-\sqrt{2},2)$。
【答案】
$(1+\sqrt{2},2)$或$(1-\sqrt{2},2)$
【知识点】
等腰三角形性质，二次函数图象特征，解一元二次方程
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，核心是利用等腰三角形的性质推导点P的纵坐标，将几何问题转化为解方程的代数问题，较好地考察了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
17定义符号$\min\{a,b\}$的含义:当$a≥ b$时，$\min\{a,b\}=b$；当$a＜ b$时，$\min\{a,b\}=a$.
如:$\min\{1,-2\}=-2,\min\{-3,-1\}=-3$.则$\min\{-x^2+2,x\}$的最大值是________.
如:$\min\{1,-2\}=-2,\min\{-3,-1\}=-3$.则$\min\{-x^2+2,x\}$的最大值是________.
答案
17.1 解析:令 $-x^2+2=x$,解得 $x_1=-2,x_2=1$,
∴抛物线 $y=-x^2+2$ 与直线 $y=x$ 交点的横坐标为 -2、1. 将 x=-2 代入 y=x,得 y=-2; 将 x=1 代入 y=x,得 y=1. 如图,
∴$\min\{-x^2+2,x\}= \begin{cases}-x^2+2(x≤-2 或 x≥1),\\x(-2＜x＜1),\end{cases}$
∴$\min\{-x^2+2,x\}$ 的最大值是 1。
解析
【分析】
首先明确新定义$\min\{a,b\}$的含义是取$a$、$b$中较小的数，要求$\min\{-x^2+2,x\}$的最大值，第一步先找到二次函数$y=-x^2+2$和一次函数$y=x$的交点，交点是两个函数值大小关系的分界点；第二步根据分界点分区间判断哪个函数值更小，写出$\min\{-x^2+2,x\}$的分段表达式；第三步分别分析每一段函数的最大值，比较后即可得到最终的最大值。
【解析】
令$-x^2+2=x$，整理得$x^2+x-2=0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=1$，即抛物线$y=-x^2+2$与直线$y=x$交点的横坐标为$-2$、$1$。
将$x=-2$代入$y=x$，得$y=-2$；将$x=1$代入$y=x$，得$y=1$。
结合函数图象可得：
当$x≤ -2$或$x≥ 1$时，$-x^2+2≤ x$，因此$\min\{-x^2+2,x\}=-x^2+2$；
当$-2＜x＜1$时，$x＜-x^2+2$，因此$\min\{-x^2+2,x\}=x$。
分析各段函数的最值：
1. 当$x≤ -2$时，$y=-x^2+2$随$x$增大而增大，最大值为$x=-2$时的$-2$；
2. 当$x≥ 1$时，$y=-x^2+2$随$x$增大而减小，最大值为$x=1$时的$1$；
3. 当$-2＜x＜1$时，$y=x$随$x$增大而增大，函数值小于$1$。
综上，$\min\{-x^2+2,x\}$的最大值是$1$。
【答案】
1
【知识点】
新定义运算，函数交点求解，分段函数最值
【点评】
本题结合新定义考查一次函数、二次函数的性质应用，解题核心是通过求函数交点确定分段讨论的边界，借助数形结合思想分析各段函数的取值范围，即可快速求出最值。
【难度系数】
0.6
首先明确新定义$\min\{a,b\}$的含义是取$a$、$b$中较小的数，要求$\min\{-x^2+2,x\}$的最大值，第一步先找到二次函数$y=-x^2+2$和一次函数$y=x$的交点，交点是两个函数值大小关系的分界点；第二步根据分界点分区间判断哪个函数值更小，写出$\min\{-x^2+2,x\}$的分段表达式；第三步分别分析每一段函数的最大值，比较后即可得到最终的最大值。
【解析】
令$-x^2+2=x$，整理得$x^2+x-2=0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=1$，即抛物线$y=-x^2+2$与直线$y=x$交点的横坐标为$-2$、$1$。
将$x=-2$代入$y=x$，得$y=-2$；将$x=1$代入$y=x$，得$y=1$。
结合函数图象可得：
当$x≤ -2$或$x≥ 1$时，$-x^2+2≤ x$，因此$\min\{-x^2+2,x\}=-x^2+2$；
当$-2＜x＜1$时，$x＜-x^2+2$，因此$\min\{-x^2+2,x\}=x$。
分析各段函数的最值：
1. 当$x≤ -2$时，$y=-x^2+2$随$x$增大而增大，最大值为$x=-2$时的$-2$；
2. 当$x≥ 1$时，$y=-x^2+2$随$x$增大而减小，最大值为$x=1$时的$1$；
3. 当$-2＜x＜1$时，$y=x$随$x$增大而增大，函数值小于$1$。
综上，$\min\{-x^2+2,x\}$的最大值是$1$。
【答案】
1
【知识点】
新定义运算，函数交点求解，分段函数最值
【点评】
本题结合新定义考查一次函数、二次函数的性质应用，解题核心是通过求函数交点确定分段讨论的边界，借助数形结合思想分析各段函数的取值范围，即可快速求出最值。
【难度系数】
0.6
18抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图像如图所示，与$x$轴的一个交点坐标为$(4,0)$，抛物线的对称轴是直线$x=1$.有下列结论:①$abc＜0$;②$4a-2b+c=0$;③关于$x$的方程$ax^2+bx+c=2$有两个不相等的实数根;④$5a+2c＞0$;⑤若$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$是抛物线上两点,则当$|x_1-1|＞|x_2-1|$时,$y_1＞y_2$.其中正确的是________.(填序号)
答案
18.①②③④ 解析:根据抛物线开口向下,可知 a＜0,
∵抛物线对称轴是直线 x=1，
∴-b/(2a)=1,即 b=-2a＞0.
∵抛物线与 y 轴的交点在正半轴,
∴c＞0,故 abc＜0,①正确；
∵抛物线对称轴是直线 x=1,与 x 轴的一个交点坐标为 (4,0)，
∴与 x 轴的另一个交点坐标为 (-2,0),代入 y=ax²+bx+c(a≠0),得 4a-2b+c=0,②正确；
由图像可知,当 y=2 时,对应的自变量值有两个,即方程 ax²+bx+c=2 有两个不相等的实数根,③正确；
把 b=-2a 代入 4a-2b+c=0,得 c=-8a,则 5a+2c=5a-16a=-11a＞0,④正确；
当 $|x_1-1|＞|x_2-1|$ 时,说明点 $(x_1,y_1)$ 离对称轴远，
∵抛物线开口向下,离对称轴越近,函数值越大，
∴$y_1＜y_2$,⑤错误。
综上可知,正确的有①②③④.
∵抛物线对称轴是直线 x=1，
∴-b/(2a)=1,即 b=-2a＞0.
∵抛物线与 y 轴的交点在正半轴,
∴c＞0,故 abc＜0,①正确；
∵抛物线对称轴是直线 x=1,与 x 轴的一个交点坐标为 (4,0)，
∴与 x 轴的另一个交点坐标为 (-2,0),代入 y=ax²+bx+c(a≠0),得 4a-2b+c=0,②正确；
由图像可知,当 y=2 时,对应的自变量值有两个,即方程 ax²+bx+c=2 有两个不相等的实数根,③正确；
把 b=-2a 代入 4a-2b+c=0,得 c=-8a,则 5a+2c=5a-16a=-11a＞0,④正确；
当 $|x_1-1|＞|x_2-1|$ 时,说明点 $(x_1,y_1)$ 离对称轴远，
∵抛物线开口向下,离对称轴越近,函数值越大，
∴$y_1＜y_2$,⑤错误。
综上可知,正确的有①②③④.
解析
【分析】
解题时首先从图像提取关键信息：抛物线开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点，再结合二次函数性质逐一判断结论：1. 根据开口、对称轴、与y轴交点判断a、b、c的符号，验证结论①；2. 利用抛物线对称性，由已知x轴交点和对称轴求出另一个交点，代入解析式验证结论②；3. 结合函数图像，看y=2与抛物线的交点个数，判断方程根的情况验证结论③；4. 由对称轴关系得b=-2a，结合②的结论用a表示c，代入5a+2c判断符号验证结论④；5. 结合开口向下抛物线的增减性，离对称轴越远函数值越小，判断结论⑤是否正确。
【解析】
①由抛物线开口向下，可得$a＜0$；
∵抛物线对称轴为直线$x=1$，
∴$-\frac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$，
∵$a＜0$，
∴$b＞0$；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$；
∴$abc＜0$，故①正确；
②
∵抛物线对称轴为$x=1$，与x轴的一个交点为$(4,0)$，根据对称性，两个交点关于对称轴对称，设另一个交点横坐标为$x$，则$\frac{x+4}{2}=1$，解得$x=-2$，即另一个交点为$(-2,0)$，将$x=-2$代入$y=ax^2+bx+c$得$4a-2b+c=0$，故②正确；
③由图像可知抛物线顶点纵坐标大于4，即函数最大值大于4，
∴当$y=2$时，直线$y=2$与抛物线有2个交点，即方程$ax^2+bx+c=2$有两个不相等的实数根，故③正确；
④将$b=-2a$代入$4a-2b+c=0$得：$4a-2×(-2a)+c=0$，即$8a+c=0$，
∴$c=-8a$，代入$5a+2c$得$5a+2×(-8a)=-11a$，
∵$a＜0$，
∴$-11a＞0$，即$5a+2c＞0$，故④正确；
⑤
∵抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，抛物线上的点离对称轴越远函数值越小，当$|x_1-1|＞|x_2-1|$时，$(x_1,y_1)$离对称轴更远，
∴$y_1＜y_2$，故⑤错误。
【答案】
①②③④
【知识点】
二次函数图像与性质；二次函数对称性；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题综合考查二次函数的图像特征、系数与图像的关系、对称性及函数与方程的联系，解题需运用数形结合思想，从图像提取有效信息逐一推导，是二次函数章节的经典题型，熟练掌握相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
解题时首先从图像提取关键信息：抛物线开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点，再结合二次函数性质逐一判断结论：1. 根据开口、对称轴、与y轴交点判断a、b、c的符号，验证结论①；2. 利用抛物线对称性，由已知x轴交点和对称轴求出另一个交点，代入解析式验证结论②；3. 结合函数图像，看y=2与抛物线的交点个数，判断方程根的情况验证结论③；4. 由对称轴关系得b=-2a，结合②的结论用a表示c，代入5a+2c判断符号验证结论④；5. 结合开口向下抛物线的增减性，离对称轴越远函数值越小，判断结论⑤是否正确。
【解析】
①由抛物线开口向下，可得$a＜0$；
∵抛物线对称轴为直线$x=1$，
∴$-\frac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$，
∵$a＜0$，
∴$b＞0$；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$；
∴$abc＜0$，故①正确；
②
∵抛物线对称轴为$x=1$，与x轴的一个交点为$(4,0)$，根据对称性，两个交点关于对称轴对称，设另一个交点横坐标为$x$，则$\frac{x+4}{2}=1$，解得$x=-2$，即另一个交点为$(-2,0)$，将$x=-2$代入$y=ax^2+bx+c$得$4a-2b+c=0$，故②正确；
③由图像可知抛物线顶点纵坐标大于4，即函数最大值大于4，
∴当$y=2$时，直线$y=2$与抛物线有2个交点，即方程$ax^2+bx+c=2$有两个不相等的实数根，故③正确；
④将$b=-2a$代入$4a-2b+c=0$得：$4a-2×(-2a)+c=0$，即$8a+c=0$，
∴$c=-8a$，代入$5a+2c$得$5a+2×(-8a)=-11a$，
∵$a＜0$，
∴$-11a＞0$，即$5a+2c＞0$，故④正确；
⑤
∵抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，抛物线上的点离对称轴越远函数值越小，当$|x_1-1|＞|x_2-1|$时，$(x_1,y_1)$离对称轴更远，
∴$y_1＜y_2$，故⑤错误。
【答案】
①②③④
【知识点】
二次函数图像与性质；二次函数对称性；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题综合考查二次函数的图像特征、系数与图像的关系、对称性及函数与方程的联系，解题需运用数形结合思想，从图像提取有效信息逐一推导，是二次函数章节的经典题型，熟练掌握相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
