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1.锐角三角形ABC的面积是6 cm²，底边BC比高AD多4 cm，则BC的长是（
A.2 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm
C
）。A.2 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以结合三角形面积公式列一元二次方程求解，解题思路如下：1. 设未知量：设BC的长度为x cm，根据“底边BC比高AD多4 cm”可表示出高AD的长度；2. 列方程：利用三角形面积=1/2×底×高的公式，结合已知面积为6cm²列出方程；3. 解方程并验根：求解一元二次方程后，先舍去不符合边长为正的根，再结合锐角三角形的条件验证剩余根是否符合要求，最终得到BC的长度。
【解析】
解：设BC的长为$ x \, \mathrm{cm} $，则高AD的长为$ (x-4) \, \mathrm{cm} $。
根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} · x · (x-4) = 6$
整理方程：
两边同乘2得：$ x(x-4) = 12 $
展开移项得：$ x^2 - 4x - 12 = 0 $
因式分解得：$ (x-6)(x+2) = 0 $
解得：$ x_1 = 6 $，$ x_2 = -2 $
因为边长为正数，所以$ x=-2 $不符合实际意义，舍去。
验证：当$ x=6 $时，高AD=2cm，存在高在三角形内部的锐角三角形满足条件，符合题意。
故BC的长为6cm。
【答案】
C
【知识点】
三角形面积计算；一元二次方程的解法；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题关键是找准等量关系列方程，同时要注意结合实际场景对解得的根进行取舍，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以结合三角形面积公式列一元二次方程求解，解题思路如下：1. 设未知量：设BC的长度为x cm，根据“底边BC比高AD多4 cm”可表示出高AD的长度；2. 列方程：利用三角形面积=1/2×底×高的公式，结合已知面积为6cm²列出方程；3. 解方程并验根：求解一元二次方程后，先舍去不符合边长为正的根，再结合锐角三角形的条件验证剩余根是否符合要求，最终得到BC的长度。
【解析】
解：设BC的长为$ x \, \mathrm{cm} $，则高AD的长为$ (x-4) \, \mathrm{cm} $。
根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} · x · (x-4) = 6$
整理方程：
两边同乘2得：$ x(x-4) = 12 $
展开移项得：$ x^2 - 4x - 12 = 0 $
因式分解得：$ (x-6)(x+2) = 0 $
解得：$ x_1 = 6 $，$ x_2 = -2 $
因为边长为正数，所以$ x=-2 $不符合实际意义，舍去。
验证：当$ x=6 $时，高AD=2cm，存在高在三角形内部的锐角三角形满足条件，符合题意。
故BC的长为6cm。
【答案】
C
【知识点】
三角形面积计算；一元二次方程的解法；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题关键是找准等量关系列方程，同时要注意结合实际场景对解得的根进行取舍，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
2.用 20 cm 长的铁丝,折成一个面积为 24 cm² 的矩形,则矩形的宽为(
A.8 cm
B.6 cm
C.5 cm
D.4 cm
D
).A.8 cm
B.6 cm
C.5 cm
D.4 cm
答案
2.D
解析
【分析】
这是一道结合矩形性质的一元二次方程应用题，解题思路如下：
1. 先明确已知条件：铁丝长20cm是矩形周长，矩形面积为24cm²；
2. 利用矩形周长公式推导得出长与宽的和为10cm，设宽为未知数，即可用含未知数的式子表示长；
3. 结合矩形面积公式列一元二次方程，求解方程得到两个根；
4. 结合矩形“长大于宽”的实际意义对根进行取舍，最终得到宽的长度。
【解析】
解：设矩形的宽为$ x \, \mathrm{cm} $。
已知铁丝长20cm为矩形的周长，根据矩形周长公式$ C=2(\mathrm{长}+\mathrm{宽}) $，可得长与宽的和为：$ 20÷2=10 \, \mathrm{cm} $，因此矩形的长为$ (10-x) \, \mathrm{cm} $。
根据矩形面积公式$ S=\mathrm{长}×\mathrm{宽} $，且面积为$ 24 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程得：
$ x(10-x)=24 $
整理为标准一元二次方程形式：
$ x^2 -10x +24=0 $
因式分解得：
$ (x-4)(x-6)=0 $
解得：$ x_1=4 $，$ x_2=6 $。
结合矩形长大于宽的实际意义验证：
当$ x=4 $时，长为$ 10-4=6 \, \mathrm{cm} $，$ 6＞4 $，符合要求；
当$ x=6 $时，长为$ 10-6=4 \, \mathrm{cm} $，$ 4＜6 $，不符合长宽定义，舍去。
因此矩形的宽为4cm。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程实际应用，矩形周长与面积计算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础类应用题，核心考查将实际问题转化为数学方程的能力，解题时要注意求解后需结合实际情况验证根的合理性，避免忽略取舍导致错选。
【难度系数】
0.8
这是一道结合矩形性质的一元二次方程应用题，解题思路如下：
1. 先明确已知条件：铁丝长20cm是矩形周长，矩形面积为24cm²；
2. 利用矩形周长公式推导得出长与宽的和为10cm，设宽为未知数，即可用含未知数的式子表示长；
3. 结合矩形面积公式列一元二次方程，求解方程得到两个根；
4. 结合矩形“长大于宽”的实际意义对根进行取舍，最终得到宽的长度。
【解析】
解：设矩形的宽为$ x \, \mathrm{cm} $。
已知铁丝长20cm为矩形的周长，根据矩形周长公式$ C=2(\mathrm{长}+\mathrm{宽}) $，可得长与宽的和为：$ 20÷2=10 \, \mathrm{cm} $，因此矩形的长为$ (10-x) \, \mathrm{cm} $。
根据矩形面积公式$ S=\mathrm{长}×\mathrm{宽} $，且面积为$ 24 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程得：
$ x(10-x)=24 $
整理为标准一元二次方程形式：
$ x^2 -10x +24=0 $
因式分解得：
$ (x-4)(x-6)=0 $
解得：$ x_1=4 $，$ x_2=6 $。
结合矩形长大于宽的实际意义验证：
当$ x=4 $时，长为$ 10-4=6 \, \mathrm{cm} $，$ 6＞4 $，符合要求；
当$ x=6 $时，长为$ 10-6=4 \, \mathrm{cm} $，$ 4＜6 $，不符合长宽定义，舍去。
因此矩形的宽为4cm。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程实际应用，矩形周长与面积计算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础类应用题，核心考查将实际问题转化为数学方程的能力，解题时要注意求解后需结合实际情况验证根的合理性，避免忽略取舍导致错选。
【难度系数】
0.8
3.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题:直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长各几步.意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,只说宽比长少12步,问宽和长各多少步?设长为x步,则可列方程为(
A.$x(x-12)=864$
B.$x(x+12)=864$
C.$x(12-x)=864$
D.$2(2x-12)=864$
A
).A.$x(x-12)=864$
B.$x(x+12)=864$
C.$x(12-x)=864$
D.$2(2x-12)=864$
答案
3.A
解析
【分析】
这是结合古代数学背景的一元二次方程列方程问题，解题思路清晰：首先明确核心等量关系为矩形面积=长×宽；其次根据设出的长为x步，结合“宽比长少12步”的条件，用含x的代数式表示出宽；最后将长、宽和已知面积代入等量关系，就能得到对应方程。
【解析】
设矩形田地的长为x步，
∵宽比长少12步，
∴宽为$(x-12)$步，
已知矩形面积为864平方步，且矩形面积=长×宽，代入等量关系可得方程：
$x(x-12)=864$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积公式
【点评】
本题依托古代数学命题考查列方程解实际问题的能力，解题关键是准确理解题意，找准等量关系，正确用含未知数的式子表示各个未知量。
【难度系数】
0.9
这是结合古代数学背景的一元二次方程列方程问题，解题思路清晰：首先明确核心等量关系为矩形面积=长×宽；其次根据设出的长为x步，结合“宽比长少12步”的条件，用含x的代数式表示出宽；最后将长、宽和已知面积代入等量关系，就能得到对应方程。
【解析】
设矩形田地的长为x步，
∵宽比长少12步，
∴宽为$(x-12)$步，
已知矩形面积为864平方步，且矩形面积=长×宽，代入等量关系可得方程：
$x(x-12)=864$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积公式
【点评】
本题依托古代数学命题考查列方程解实际问题的能力，解题关键是准确理解题意，找准等量关系，正确用含未知数的式子表示各个未知量。
【难度系数】
0.9
4.直角三角形两条直角边长的和为7，面积是6，则斜边长是（
A.4
B.5
C.$\sqrt{37}$
D.7
B
）.A.4
B.5
C.$\sqrt{37}$
D.7
答案
4.B
解析
【分析】
本题要求直角三角形的斜边长，可先梳理已知量和未知量的关系求解：首先已知两条直角边的和与三角形面积，可先设未知数表示两条直角边，再结合面积公式列一元二次方程求出直角边长，最后用勾股定理计算斜边；也可结合完全平方公式整体代入运算，无需解出直角边的具体数值，简化计算过程。
【解析】
方法一：设其中一条直角边长为$x$，则另一条直角边长为$7-x$。
根据直角三角形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}x(7-x)=6$
整理得：$x^2-7x+12=0$
因式分解得：$(x-3)(x-4)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=4$，即两条直角边长为3和4。
根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
方法二：设两条直角边长为$a$、$b$，斜边长为$c$。
由题意得$a+b=7$，$\frac{1}{2}ab=6$，即$ab=12$。
结合勾股定理和完全平方公式：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(a+b)^2-2ab}=\sqrt{7^2-2×12}=\sqrt{49-24}=5$
综上答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是方程与几何结合的基础综合题，解题时需要熟练掌握直角三角形的相关性质，灵活选择整体代入的思路可有效减少计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题要求直角三角形的斜边长，可先梳理已知量和未知量的关系求解：首先已知两条直角边的和与三角形面积，可先设未知数表示两条直角边，再结合面积公式列一元二次方程求出直角边长，最后用勾股定理计算斜边；也可结合完全平方公式整体代入运算，无需解出直角边的具体数值，简化计算过程。
【解析】
方法一：设其中一条直角边长为$x$，则另一条直角边长为$7-x$。
根据直角三角形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}x(7-x)=6$
整理得：$x^2-7x+12=0$
因式分解得：$(x-3)(x-4)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=4$，即两条直角边长为3和4。
根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
方法二：设两条直角边长为$a$、$b$，斜边长为$c$。
由题意得$a+b=7$，$\frac{1}{2}ab=6$，即$ab=12$。
结合勾股定理和完全平方公式：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(a+b)^2-2ab}=\sqrt{7^2-2×12}=\sqrt{49-24}=5$
综上答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是方程与几何结合的基础综合题，解题时需要熟练掌握直角三角形的相关性质，灵活选择整体代入的思路可有效减少计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
5.如图,利用一面墙和篱笆围成一个矩形场地,其中一边为墙,另三边为篱笆.墙足够长,篱笆总长 20 m.
(1)围成一个面积为 50 m² 的矩形场地,求矩形场地的长和宽.
(2)可以围成一个面积为 60 m² 的矩形场地吗? 如果能,求出矩形场地的长和宽;如果不能,请说明理由.
(1)围成一个面积为 50 m² 的矩形场地,求矩形场地的长和宽.
(2)可以围成一个面积为 60 m² 的矩形场地吗? 如果能,求出矩形场地的长和宽;如果不能,请说明理由.
答案
5.(1)设垂直于墙的边长 x m,则平行于墙的边长(20-2x) m,
依题意得 x(20-2x)=50,整理得 $x^2-10x+25=0$,解得 $x_1=x_2=5$,$\therefore 20-2x=10$.
矩形场地的长为 10 m,宽为 5 m.
(2)不能.
理由如下:设垂直于墙的边长 y m,则平行于墙的边长(20-2y) m,
依题意得 y(20-2y)=60,整理得 $y^2-10y+30=0$.
$\because \Delta=(-10)^2-4×1×30=-20＜0$,$\therefore$方程没有实数根,
$\therefore$不能围成一个面积为 60 m² 的矩形场地.
依题意得 x(20-2x)=50,整理得 $x^2-10x+25=0$,解得 $x_1=x_2=5$,$\therefore 20-2x=10$.
矩形场地的长为 10 m,宽为 5 m.
(2)不能.
理由如下:设垂直于墙的边长 y m,则平行于墙的边长(20-2y) m,
依题意得 y(20-2y)=60,整理得 $y^2-10y+30=0$.
$\because \Delta=(-10)^2-4×1×30=-20＜0$,$\therefore$方程没有实数根,
$\therefore$不能围成一个面积为 60 m² 的矩形场地.
解析
【分析】
本题是一元二次方程结合矩形面积的实际应用题，解题核心是抓住“矩形面积=长×宽”的等量关系建立方程。首先明确篱笆围了矩形的3条边：2条垂直于墙的边+1条平行于墙的边=篱笆总长20m，因此我们可以设垂直于墙的边长为未知数，用含未知数的式子表示出平行于墙的边长，再结合题目给出的面积条件列方程求解。第一问求解方程后验证边长符合实际意义即可；第二问列完方程后通过一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，即可判断能否围成对应面积的场地。
【解析】
(1) 设垂直于墙的边长为$x \ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长为$(20-2x) \ \mathrm{m}$。
根据矩形面积为$50 \ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(20-2x)=50$
整理得：$x^2 - 10x + 25 = 0$
解得$x_1=x_2=5$
则平行于墙的边长为$20-2×5=10 \ \mathrm{m}$，符合边长为正的实际意义。
(2) 不能围成面积为$60 \ \mathrm{m}^2$的矩形场地，理由如下：
设垂直于墙的边长为$y \ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长为$(20-2y) \ \mathrm{m}$。
根据面积为$60 \ \mathrm{m}^2$列方程得：
$y(20-2y)=60$
整理得：$y^2 - 10y + 30 = 0$
计算根的判别式：$\Delta = (-10)^2 - 4×1×30 = -20 ＜ 0$
因此该一元二次方程没有实数根，即不存在符合条件的边长，故不能围成。
【答案】
(1) 矩形场地的长为$\boldsymbol{10 \ \mathrm{m}}$，宽为$\boldsymbol{5 \ \mathrm{m}}$；
(2) 不能。
【知识点】
一元二次方程的实际应用，一元二次方程根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程解决实际问题的基础题型，解题关键是结合篱笆的围法正确表示出矩形的两条边长，再结合面积等量关系建立方程，求解后要注意结合实际意义判断解是否合理，第二问通过根的判别式判断方程解的情况即可得出结论，较好地考察了数学建模能力和方程知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程结合矩形面积的实际应用题，解题核心是抓住“矩形面积=长×宽”的等量关系建立方程。首先明确篱笆围了矩形的3条边：2条垂直于墙的边+1条平行于墙的边=篱笆总长20m，因此我们可以设垂直于墙的边长为未知数，用含未知数的式子表示出平行于墙的边长，再结合题目给出的面积条件列方程求解。第一问求解方程后验证边长符合实际意义即可；第二问列完方程后通过一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，即可判断能否围成对应面积的场地。
【解析】
(1) 设垂直于墙的边长为$x \ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长为$(20-2x) \ \mathrm{m}$。
根据矩形面积为$50 \ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(20-2x)=50$
整理得：$x^2 - 10x + 25 = 0$
解得$x_1=x_2=5$
则平行于墙的边长为$20-2×5=10 \ \mathrm{m}$，符合边长为正的实际意义。
(2) 不能围成面积为$60 \ \mathrm{m}^2$的矩形场地，理由如下：
设垂直于墙的边长为$y \ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长为$(20-2y) \ \mathrm{m}$。
根据面积为$60 \ \mathrm{m}^2$列方程得：
$y(20-2y)=60$
整理得：$y^2 - 10y + 30 = 0$
计算根的判别式：$\Delta = (-10)^2 - 4×1×30 = -20 ＜ 0$
因此该一元二次方程没有实数根，即不存在符合条件的边长，故不能围成。
【答案】
(1) 矩形场地的长为$\boldsymbol{10 \ \mathrm{m}}$，宽为$\boldsymbol{5 \ \mathrm{m}}$；
(2) 不能。
【知识点】
一元二次方程的实际应用，一元二次方程根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程解决实际问题的基础题型，解题关键是结合篱笆的围法正确表示出矩形的两条边长，再结合面积等量关系建立方程，求解后要注意结合实际意义判断解是否合理，第二问通过根的判别式判断方程解的情况即可得出结论，较好地考察了数学建模能力和方程知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
6.在一块长 16 m、宽 12 m 的矩形荒地上建造一个花园，并使花圃占花园面积的一半，小颖的设计方案如图所示，图中阴影部分为花圃，则图中的 x 为（
A.24
B.4
C.12
D.2
B
）.A.24
B.4
C.12
D.2
答案
6.B
解析
【分析】首先明确题目等量关系：阴影部分（花圃）的面积等于矩形荒地面积的一半。我们可以通过平移道路的方法简化计算：将横向、纵向的道路分别向边缘平移，分散的四块花圃可拼接成一个完整的矩形，该矩形的长为$(16-x)\mathrm{m}$，宽为$(12-x)\mathrm{m}$，结合面积等量关系列一元二次方程求解，最后检验根是否符合实际意义即可。
【解析】
1. 计算矩形荒地总面积：
$S_{\mathrm{总}}=16×12=192\ \mathrm{m}^2$
由题意得花圃面积为总面积的一半，即$S_{\mathrm{花圃}}=\frac{1}{2}×192=96\ \mathrm{m}^2$
2. 平移道路后，拼接得到的花圃矩形长为$(16-x)\mathrm{m}$，宽为$(12-x)\mathrm{m}$，列方程：
$(16-x)(12-x)=96$
3. 整理方程：
展开得$192-28x+x^2=96$，即$x^2-28x+96=0$
4. 解方程：
因式分解得$(x-4)(x-24)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=24$
5. 验根：
荒地的宽仅为$12\ \mathrm{m}$，$x=24＞12$不符合实际，舍去，故$x=4$。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用，矩形面积计算，图形平移
【点评】本题是几何面积类的方程应用题，核心技巧是通过平移将分散的不规则图形转化为规则矩形，降低计算难度，求解后注意结合实际场景舍去不符合常理的根。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 计算矩形荒地总面积：
$S_{\mathrm{总}}=16×12=192\ \mathrm{m}^2$
由题意得花圃面积为总面积的一半，即$S_{\mathrm{花圃}}=\frac{1}{2}×192=96\ \mathrm{m}^2$
2. 平移道路后，拼接得到的花圃矩形长为$(16-x)\mathrm{m}$，宽为$(12-x)\mathrm{m}$，列方程：
$(16-x)(12-x)=96$
3. 整理方程：
展开得$192-28x+x^2=96$，即$x^2-28x+96=0$
4. 解方程：
因式分解得$(x-4)(x-24)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=24$
5. 验根：
荒地的宽仅为$12\ \mathrm{m}$，$x=24＞12$不符合实际，舍去，故$x=4$。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用，矩形面积计算，图形平移
【点评】本题是几何面积类的方程应用题，核心技巧是通过平移将分散的不规则图形转化为规则矩形，降低计算难度，求解后注意结合实际场景舍去不符合常理的根。
【难度系数】0.7
