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1.锐角三角形ABC的面积是6 cm²，底边BC比高AD多4 cm，则BC的长是（
A.2 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm
C
）。A.2 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先抓住题目中的核心等量关系：三角形的面积=1/2×底×高。我们要求BC的长度，可设BC的长为未知数，根据“底边BC比高AD多4 cm”用未知数表示出高AD的长度，再将底、高和已知面积代入面积公式，即可得到关于未知数的一元二次方程，求解方程后结合边长为正的实际意义舍去不符合要求的根，就能得到BC的长度。
【解析】
设BC的长为$ x $ cm，则高AD的长为$ (x-4) $ cm。
根据三角形面积公式可得：
$ \frac{1}{2}x(x-4) = 6 $
整理方程得：
$ x^2 - 4x - 12 = 0 $
因式分解得：
$ (x-6)(x+2) = 0 $
解得：$ x_1 = 6 $，$ x_2 = -2 $
因为线段长度不能为负数，故舍去$ x=-2 $，即BC的长为6 cm。
【答案】
C
【知识点】
三角形面积公式；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的关键是结合几何图形的面积公式找到等量关系列方程，求解后要注意根据实际情况对方程的根进行取舍，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.8
解题时先抓住题目中的核心等量关系：三角形的面积=1/2×底×高。我们要求BC的长度，可设BC的长为未知数，根据“底边BC比高AD多4 cm”用未知数表示出高AD的长度，再将底、高和已知面积代入面积公式，即可得到关于未知数的一元二次方程，求解方程后结合边长为正的实际意义舍去不符合要求的根，就能得到BC的长度。
【解析】
设BC的长为$ x $ cm，则高AD的长为$ (x-4) $ cm。
根据三角形面积公式可得：
$ \frac{1}{2}x(x-4) = 6 $
整理方程得：
$ x^2 - 4x - 12 = 0 $
因式分解得：
$ (x-6)(x+2) = 0 $
解得：$ x_1 = 6 $，$ x_2 = -2 $
因为线段长度不能为负数，故舍去$ x=-2 $，即BC的长为6 cm。
【答案】
C
【知识点】
三角形面积公式；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的关键是结合几何图形的面积公式找到等量关系列方程，求解后要注意根据实际情况对方程的根进行取舍，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.8
2.用 20 cm 长的铁丝,折成一个面积为 24 cm² 的矩形,则矩形的宽为(
A.8 cm
B.6 cm
C.5 cm
D.4 cm
D
).A.8 cm
B.6 cm
C.5 cm
D.4 cm
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先从题干提取核心信息：铁丝长度为矩形的周长（20cm），矩形面积为24cm²。第一步根据矩形周长公式，可推出长与宽的和为周长的一半即10cm；第二步设宽为未知数，用含未知数的式子表示出长；第三步结合矩形面积公式列出一元二次方程；第四步求解方程后，结合“宽是矩形较短边”的实际意义对根进行取舍，即可得到正确结果。
【解析】
设矩形的宽为$ x $ cm，
∵ 矩形周长为20cm，根据矩形周长公式$ C=2×(长+宽) $，可得长与宽的和为$ 20÷2=10 $ cm，
∴ 矩形的长为$ (10-x) $ cm。
根据矩形面积公式$ S=长×宽 $，已知面积为24cm²，列方程得：
$ x(10-x)=24 $
整理方程为标准形式：$ x^2 -10x +24=0 $
因式分解得：$ (x-4)(x-6)=0 $
解得：$ x_1=4 $，$ x_2=6 $
∵ 矩形的宽小于长，当$ x=6 $时，长为$ 10-6=4 $cm，此时宽大于长，不符合实际，故舍去$ x=6 $。
∴ 矩形的宽为4cm。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形的周长；矩形的面积
【点评】
本题是一元二次方程在几何实际问题中的基础应用，解题关键是熟练掌握矩形周长、面积公式，能根据等量关系正确列方程，同时要注意方程的解需符合实际几何意义。
【难度系数】
0.8
解题时先从题干提取核心信息：铁丝长度为矩形的周长（20cm），矩形面积为24cm²。第一步根据矩形周长公式，可推出长与宽的和为周长的一半即10cm；第二步设宽为未知数，用含未知数的式子表示出长；第三步结合矩形面积公式列出一元二次方程；第四步求解方程后，结合“宽是矩形较短边”的实际意义对根进行取舍，即可得到正确结果。
【解析】
设矩形的宽为$ x $ cm，
∵ 矩形周长为20cm，根据矩形周长公式$ C=2×(长+宽) $，可得长与宽的和为$ 20÷2=10 $ cm，
∴ 矩形的长为$ (10-x) $ cm。
根据矩形面积公式$ S=长×宽 $，已知面积为24cm²，列方程得：
$ x(10-x)=24 $
整理方程为标准形式：$ x^2 -10x +24=0 $
因式分解得：$ (x-4)(x-6)=0 $
解得：$ x_1=4 $，$ x_2=6 $
∵ 矩形的宽小于长，当$ x=6 $时，长为$ 10-6=4 $cm，此时宽大于长，不符合实际，故舍去$ x=6 $。
∴ 矩形的宽为4cm。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形的周长；矩形的面积
【点评】
本题是一元二次方程在几何实际问题中的基础应用，解题关键是熟练掌握矩形周长、面积公式，能根据等量关系正确列方程，同时要注意方程的解需符合实际几何意义。
【难度系数】
0.8
3.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题:直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长各几步.意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,只说宽比长少12步,问宽和长各多少步?设长为x步,则可列方程为(
A.$x(x-12)=864$
B.$x(x+12)=864$
C.$x(12-x)=864$
D.$2(2x-12)=864$
A
).A.$x(x-12)=864$
B.$x(x+12)=864$
C.$x(12-x)=864$
D.$2(2x-12)=864$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先明确本题考查矩形面积相关的一元二次方程应用，思考步骤如下：第一步，回忆矩形面积公式：面积=长×宽；第二步，结合题干设长为x步，根据“宽比长少12步”的数量关系，用含x的式子表示出宽的长度；第三步，将长、宽、已知面积代入面积公式，即可列出对应方程，再匹配选项得到答案。
【解析】
已知设矩形的长为x步，由“宽比长少12步”可得，矩形的宽为(x-12)步。
根据矩形面积公式：$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{长} × \mathrm{宽}$，已知矩形面积为864平方步，代入数据可列方程：
$x(x-12)=864$，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
1. 列一元二次方程解应用题
2. 矩形面积计算
【点评】
本题结合古代数学典籍中的问题设置考点，解题关键是找准题干中的数量关系，正确表示出未知量，再结合对应的几何公式列方程，整体难度较低，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确本题考查矩形面积相关的一元二次方程应用，思考步骤如下：第一步，回忆矩形面积公式：面积=长×宽；第二步，结合题干设长为x步，根据“宽比长少12步”的数量关系，用含x的式子表示出宽的长度；第三步，将长、宽、已知面积代入面积公式，即可列出对应方程，再匹配选项得到答案。
【解析】
已知设矩形的长为x步，由“宽比长少12步”可得，矩形的宽为(x-12)步。
根据矩形面积公式：$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{长} × \mathrm{宽}$，已知矩形面积为864平方步，代入数据可列方程：
$x(x-12)=864$，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
1. 列一元二次方程解应用题
2. 矩形面积计算
【点评】
本题结合古代数学典籍中的问题设置考点，解题关键是找准题干中的数量关系，正确表示出未知量，再结合对应的几何公式列方程，整体难度较低，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.85
4.直角三角形两条直角边长的和为7，面积是6，则斜边长是（
A.4
B.5
C.$\sqrt{37}$
D.7
B
）.A.4
B.5
C.$\sqrt{37}$
D.7
答案
4.B
解析
【分析】
这是一道结合一元二次方程与直角三角形性质的基础题，解题思路可按以下步骤走：首先，题目给出两条直角边的和与面积，我们可以先设其中一条直角边的长度为未知数，用和的关系表示出另一条直角边；接着利用直角三角形的面积公式列出一元二次方程，求解得到两条直角边的长度；最后根据勾股定理计算出斜边长即可。
【解析】
设其中一条直角边长为$ x $，则另一条直角边长为$ 7-x $。
根据直角三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}ab $（$ a、b $为直角边），可列方程：
$\frac{1}{2}x(7-x)=6$
方程两边同乘2得：$ x(7-x)=12 $
整理为标准一元二次方程形式：$ x^2-7x+12=0 $
因式分解得：$ (x-3)(x-4)=0 $
解得$ x_1=3 $，$ x_2=4 $
即两条直角边长分别为3和4。
根据勾股定理，斜边长为$ \sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5 $。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；直角三角形面积计算；勾股定理
【点评】
本题是一元二次方程在几何问题中的典型应用，解题核心是通过面积等量关系建立方程求出直角边长，再结合勾股定理得到斜边，属于常规基础题型，掌握列方程解应用题的基本步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
这是一道结合一元二次方程与直角三角形性质的基础题，解题思路可按以下步骤走：首先，题目给出两条直角边的和与面积，我们可以先设其中一条直角边的长度为未知数，用和的关系表示出另一条直角边；接着利用直角三角形的面积公式列出一元二次方程，求解得到两条直角边的长度；最后根据勾股定理计算出斜边长即可。
【解析】
设其中一条直角边长为$ x $，则另一条直角边长为$ 7-x $。
根据直角三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}ab $（$ a、b $为直角边），可列方程：
$\frac{1}{2}x(7-x)=6$
方程两边同乘2得：$ x(7-x)=12 $
整理为标准一元二次方程形式：$ x^2-7x+12=0 $
因式分解得：$ (x-3)(x-4)=0 $
解得$ x_1=3 $，$ x_2=4 $
即两条直角边长分别为3和4。
根据勾股定理，斜边长为$ \sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5 $。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；直角三角形面积计算；勾股定理
【点评】
本题是一元二次方程在几何问题中的典型应用，解题核心是通过面积等量关系建立方程求出直角边长，再结合勾股定理得到斜边，属于常规基础题型，掌握列方程解应用题的基本步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
5.如图,利用一面墙和篱笆围成一个矩形场地,其中一边为墙,另三边为篱笆.墙足够长,篱笆总长 20 m.
(1)围成一个面积为 50 m² 的矩形场地,求矩形场地的长和宽.
(2)可以围成一个面积为 60 m² 的矩形场地吗? 如果能,求出矩形场地的长和宽;如果不能,请说明理由.
(1)围成一个面积为 50 m² 的矩形场地,求矩形场地的长和宽.
(2)可以围成一个面积为 60 m² 的矩形场地吗? 如果能,求出矩形场地的长和宽;如果不能,请说明理由.
答案
5.(1)设垂直于墙的边长 x m,则平行于墙的边长(20-2x) m,
依题意得 x(20-2x)=50,整理得 $x^2-10x+25=0$,解得 $x_1=x_2=5$,$\therefore 20-2x=10$.
矩形场地的长为 10 m,宽为 5 m.
(2)不能.
理由如下:设垂直于墙的边长 y m,则平行于墙的边长(20-2y) m,
依题意得 y(20-2y)=60,整理得 $y^2-10y+30=0$.
$\because \Delta=(-10)^2-4×1×30=-20＜0$,$\therefore$方程没有实数根,
$\therefore$不能围成一个面积为 60 m² 的矩形场地.
依题意得 x(20-2x)=50,整理得 $x^2-10x+25=0$,解得 $x_1=x_2=5$,$\therefore 20-2x=10$.
矩形场地的长为 10 m,宽为 5 m.
(2)不能.
理由如下:设垂直于墙的边长 y m,则平行于墙的边长(20-2y) m,
依题意得 y(20-2y)=60,整理得 $y^2-10y+30=0$.
$\because \Delta=(-10)^2-4×1×30=-20＜0$,$\therefore$方程没有实数根,
$\therefore$不能围成一个面积为 60 m² 的矩形场地.
解析
【分析】
这是一道结合矩形面积的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：1. 先明确篱笆的构成：因为有一面墙代替了矩形的一条边，所以篱笆总长度是2条垂直于墙的边长加1条平行于墙的边长。2. 解决第一问时，先设垂直于墙的边长为未知数，用篱笆总长表示出平行于墙的边长，再根据“矩形面积=长×宽”列一元二次方程，求解后得到边长即可。3. 解决第二问时，同理列出面积为60m²的方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0则无实根，说明无法围成对应面积的场地。
【解析】
(1) 设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(20-2x) m，
根据矩形面积公式列方程：$x(20-2x)=50$
整理方程得：$x^2-10x+25=0$
解方程得：$x_1=x_2=5$
则平行于墙的边长为：$20-2x=20-2×5=10\ \mathrm{m}$
(2) 不能围成面积为60 m²的矩形场地，理由如下：
设垂直于墙的边长为y m，则平行于墙的边长为(20-2y) m，
列方程得：$y(20-2y)=60$
整理得：$y^2-10y+30=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-10)^2-4×1×30=100-120=-20＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，即不存在符合条件的边长，所以不能围成面积为60 m²的矩形场地。
【答案】
(1) 矩形场地的长为10 m，宽为5 m；
(2) 不能围成面积为60 m²的矩形场地，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用，根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题是实际问题与一元二次方程结合的典型题型，解题的关键是结合篱笆的结构正确表示出矩形两条边的长度，同时掌握利用根的判别式判断方程解的存在性，解决“能否围成”类的判断问题。
【难度系数】
0.7
这是一道结合矩形面积的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：1. 先明确篱笆的构成：因为有一面墙代替了矩形的一条边，所以篱笆总长度是2条垂直于墙的边长加1条平行于墙的边长。2. 解决第一问时，先设垂直于墙的边长为未知数，用篱笆总长表示出平行于墙的边长，再根据“矩形面积=长×宽”列一元二次方程，求解后得到边长即可。3. 解决第二问时，同理列出面积为60m²的方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0则无实根，说明无法围成对应面积的场地。
【解析】
(1) 设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(20-2x) m，
根据矩形面积公式列方程：$x(20-2x)=50$
整理方程得：$x^2-10x+25=0$
解方程得：$x_1=x_2=5$
则平行于墙的边长为：$20-2x=20-2×5=10\ \mathrm{m}$
(2) 不能围成面积为60 m²的矩形场地，理由如下：
设垂直于墙的边长为y m，则平行于墙的边长为(20-2y) m，
列方程得：$y(20-2y)=60$
整理得：$y^2-10y+30=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-10)^2-4×1×30=100-120=-20＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，即不存在符合条件的边长，所以不能围成面积为60 m²的矩形场地。
【答案】
(1) 矩形场地的长为10 m，宽为5 m；
(2) 不能围成面积为60 m²的矩形场地，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用，根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题是实际问题与一元二次方程结合的典型题型，解题的关键是结合篱笆的结构正确表示出矩形两条边的长度，同时掌握利用根的判别式判断方程解的存在性，解决“能否围成”类的判断问题。
【难度系数】
0.7
6.在一块长 16 m、宽 12 m 的矩形荒地上建造一个花园，并使花圃占花园面积的一半，小颖的设计方案如图所示，图中阴影部分为花圃，则图中的 x 为（
A.24
B.4
C.12
D.2
B
）.A.24
B.4
C.12
D.2
答案
6.B
解析
【分析】
这是一道利用一元二次方程解决几何面积的实际问题，解题思路如下：第一步先计算矩形荒地的总面积，根据花圃面积占一半求出花圃的总面积；第二步利用平移法，将分散的四个阴影花圃拼接成一个规则的大矩形，观察可得拼接后大矩形的长为(16-x)m，宽为(12-x)m；第三步根据拼接后矩形的面积等于花圃总面积列方程求解，最后结合实际情况舍去不符合题意的根即可得到x的值。
【解析】
解：矩形荒地的总面积为 $ 16 × 12 = 192 \, \mathrm{m}^2 $
由题意得，花圃总面积为 $ \frac{1}{2} × 192 = 96 \, \mathrm{m}^2 $
将四个阴影矩形平移拼接，可得拼接后大矩形的长为$(16 - x)\mathrm{m}$，宽为$(12 - x)\mathrm{m}$，据此列方程：
$(16 - x)(12 - x) = 96$
展开整理得：
$x^2 - 28x + 96 = 0$
因式分解得：
$(x - 4)(x - 24) = 0$
解得 $ x_1 = 4 $，$ x_2 = 24 $
∵ 荒地的宽仅为12m，$ x ＜ 12 $，故 $ x = 24 $ 不符合实际，舍去
∴ $ x = 4 $
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，平移法转化图形
【点评】
本题是典型的面积类实际应用题，解题核心是通过平移将分散的阴影部分转化为规则矩形，降低面积计算的难度，求解后要注意结合实际场景验证根的合理性，避免多解出错。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元二次方程解决几何面积的实际问题，解题思路如下：第一步先计算矩形荒地的总面积，根据花圃面积占一半求出花圃的总面积；第二步利用平移法，将分散的四个阴影花圃拼接成一个规则的大矩形，观察可得拼接后大矩形的长为(16-x)m，宽为(12-x)m；第三步根据拼接后矩形的面积等于花圃总面积列方程求解，最后结合实际情况舍去不符合题意的根即可得到x的值。
【解析】
解：矩形荒地的总面积为 $ 16 × 12 = 192 \, \mathrm{m}^2 $
由题意得，花圃总面积为 $ \frac{1}{2} × 192 = 96 \, \mathrm{m}^2 $
将四个阴影矩形平移拼接，可得拼接后大矩形的长为$(16 - x)\mathrm{m}$，宽为$(12 - x)\mathrm{m}$，据此列方程：
$(16 - x)(12 - x) = 96$
展开整理得：
$x^2 - 28x + 96 = 0$
因式分解得：
$(x - 4)(x - 24) = 0$
解得 $ x_1 = 4 $，$ x_2 = 24 $
∵ 荒地的宽仅为12m，$ x ＜ 12 $，故 $ x = 24 $ 不符合实际，舍去
∴ $ x = 4 $
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，平移法转化图形
【点评】
本题是典型的面积类实际应用题，解题核心是通过平移将分散的阴影部分转化为规则矩形，降低面积计算的难度，求解后要注意结合实际场景验证根的合理性，避免多解出错。
【难度系数】
0.7
