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7.如图，有一张长12 cm、宽9 cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒。若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70 cm²，求剪去的小正方形的边长。设剪去的小正方形的边长是x cm，根据题意，可列方程
(12-2x)(9-2x)=70
。答案
7.$(12-2x)(9-2x)=70$
解析
【分析】
要列出符合题意的方程，首先需要明确题中的等量关系：折叠后纸盒底面的面积=70 cm²。接下来我们需要用含x的代数式表示出底面矩形的长和宽：因为四个角各剪去了边长为x的小正方形，原矩形的长为12 cm，左右两侧各减去1个x的长度，因此底面的长为(12-2x)cm；原矩形的宽为9 cm，上下两侧各减去1个x的长度，因此底面的宽为(9-2x)cm。最后结合矩形面积公式，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
设剪去的小正方形的边长为x cm。
折叠后无盖纸盒的底面为矩形，底面的长为$(12-2x)\ \mathrm{cm}$，底面的宽为$(9-2x)\ \mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式“矩形面积=长×宽”，结合底面面积为70 cm²的条件，可列方程：
$\boxed{(12-2x)(9-2x)=70}$
【答案】
$(12-2x)(9-2x)=70$
【知识点】
一元二次方程实际应用、矩形面积计算、图形折叠问题
【点评】
本题是基础的方程应用类题型，解题的关键是准确梳理折叠前后图形各边长的对应关系，结合题目给出的面积等量关系即可快速列方程。
【难度系数】
0.8
要列出符合题意的方程，首先需要明确题中的等量关系：折叠后纸盒底面的面积=70 cm²。接下来我们需要用含x的代数式表示出底面矩形的长和宽：因为四个角各剪去了边长为x的小正方形，原矩形的长为12 cm，左右两侧各减去1个x的长度，因此底面的长为(12-2x)cm；原矩形的宽为9 cm，上下两侧各减去1个x的长度，因此底面的宽为(9-2x)cm。最后结合矩形面积公式，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
设剪去的小正方形的边长为x cm。
折叠后无盖纸盒的底面为矩形，底面的长为$(12-2x)\ \mathrm{cm}$，底面的宽为$(9-2x)\ \mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式“矩形面积=长×宽”，结合底面面积为70 cm²的条件，可列方程：
$\boxed{(12-2x)(9-2x)=70}$
【答案】
$(12-2x)(9-2x)=70$
【知识点】
一元二次方程实际应用、矩形面积计算、图形折叠问题
【点评】
本题是基础的方程应用类题型，解题的关键是准确梳理折叠前后图形各边长的对应关系，结合题目给出的面积等量关系即可快速列方程。
【难度系数】
0.8
8.一个菱形的两条对角线之和是28，周长是40，则这个菱形的面积是
96
。答案
8.96
解析
【分析】
解题时先从菱形的基本性质入手：首先菱形四条边长度相等，结合周长可先算出边长；其次菱形的对角线互相垂直平分，因此两条对角线的一半与菱形边长可构成直角三角形，满足勾股定理；题目要求菱形面积，而菱形面积等于对角线乘积的一半，因此只需求出两条对角线的乘积即可，不需要单独计算每条对角线的长度，可结合完全平方公式整体求解，简化计算过程。
【解析】
1. 计算菱形边长：
∵菱形四条边相等，周长为40
∴菱形边长 = $40÷4=10$
2. 设两条对角线长度分别为$a$、$b$，根据题意得：$a + b = 28$
3. 根据菱形对角线互相垂直平分的性质，两条对角线的一半与边长构成直角三角形，由勾股定理得：
$(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 = 10^2$
化简得：$\frac{a^2 + b^2}{4}=100$，即$a^2 + b^2=400$
4. 对$a + b=28$两边同时平方：
$(a + b)^2=28^2$
展开得：$a^2 + 2ab + b^2=784$
5. 将$a^2 + b^2=400$代入上式：
$400 + 2ab=784$，解得$ab=192$
6. 由菱形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$，代入得：
$S=\frac{1}{2}×192=96$
【答案】
96
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；完全平方公式
【点评】
本题综合考查几何性质与代数公式的结合运用，解题时采用整体思想计算对角线乘积，可减少计算量，是解决此类题型的常用技巧。
【难度系数】
0.7
解题时先从菱形的基本性质入手：首先菱形四条边长度相等，结合周长可先算出边长；其次菱形的对角线互相垂直平分，因此两条对角线的一半与菱形边长可构成直角三角形，满足勾股定理；题目要求菱形面积，而菱形面积等于对角线乘积的一半，因此只需求出两条对角线的乘积即可，不需要单独计算每条对角线的长度，可结合完全平方公式整体求解，简化计算过程。
【解析】
1. 计算菱形边长：
∵菱形四条边相等，周长为40
∴菱形边长 = $40÷4=10$
2. 设两条对角线长度分别为$a$、$b$，根据题意得：$a + b = 28$
3. 根据菱形对角线互相垂直平分的性质，两条对角线的一半与边长构成直角三角形，由勾股定理得：
$(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 = 10^2$
化简得：$\frac{a^2 + b^2}{4}=100$，即$a^2 + b^2=400$
4. 对$a + b=28$两边同时平方：
$(a + b)^2=28^2$
展开得：$a^2 + 2ab + b^2=784$
5. 将$a^2 + b^2=400$代入上式：
$400 + 2ab=784$，解得$ab=192$
6. 由菱形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$，代入得：
$S=\frac{1}{2}×192=96$
【答案】
96
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；完全平方公式
【点评】
本题综合考查几何性质与代数公式的结合运用，解题时采用整体思想计算对角线乘积，可减少计算量，是解决此类题型的常用技巧。
【难度系数】
0.7
9.如图，某工程队在工地借助互相垂直的两面墙AE，AF，用铁栅栏为相邻两边围一个长方形场地ABCD，再用铁栅栏从中分割出两个长方形，铁栅栏总长180 m，已知墙AE长90 m，墙AF长60 m.
(1)设BC=x m，则CD为
(2)若长方形ABCD的面积为4 000 m²，BC的长为多少？
(1)设BC=x m，则CD为
180-2x
m，长方形ABCD的面积为x(180-2x)
m².(2)若长方形ABCD的面积为4 000 m²，BC的长为多少？
答案
9.(1)$180-2x$ $x(180-2x)$
(2)由题意,得 $x(180-2x)=4\ 000$,整理,得 $x^2-90x+2\ 000=0$,解得 $x=40$ 或 $x=50$.
当 $x=40$ 时,$180-2x=100＞90$,不符合题意,舍去;
当 $x=50$ 时,$180-2x=80＜90$,符合题意.
$BC=50\ \mathrm{m}$.
(2)由题意,得 $x(180-2x)=4\ 000$,整理,得 $x^2-90x+2\ 000=0$,解得 $x=40$ 或 $x=50$.
当 $x=40$ 时,$180-2x=100＞90$,不符合题意,舍去;
当 $x=50$ 时,$180-2x=80＜90$,符合题意.
$BC=50\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
(1) 首先观察图形可知，长方形ABCD的AB边靠墙AE、AD边靠墙AF，这两条边无需铁栅栏，铁栅栏共包含3段：BC边、中间的竖直分隔边、CD边。已知BC=x m，中间竖直分隔边和BC长度相等，都为x m，结合铁栅栏总长180m，用总长度减去两段x的长度即可得到CD的表达式；再根据长方形面积公式“面积=长×宽”，代入BC和CD的长度就能得到面积表达式。
(2) 令第一问得到的面积表达式等于4000，即可列出关于x的一元二次方程，求解方程后需结合墙的长度限制（CD=AB≤墙AE长90m，BC=AD≤墙AF长60m）对根进行检验，舍去不符合实际的根，即可得到BC的长度。
【解析】
(1) 由题意，铁栅栏总长=BC+中间分隔边+CD=180m，BC=x m，中间分隔边长度与BC相等为x m，因此：
$CD=180-x-x=(180-2x)\ \mathrm{m}$
长方形ABCD的面积为：
$S=BC× CD=x(180-2x)\ \mathrm{m}^2$
(2) 当长方形面积为$4000\ \mathrm{m}^2$时，列方程得：
$x(180-2x)=4000$
整理得：$x^2-90x+2000=0$
因式分解得：$(x-40)(x-50)=0$
解得：$x_1=40$，$x_2=50$
对根进行检验：
当$x=40$时，$CD=180-2×40=100\ \mathrm{m}$，而墙AE长仅90m，$100＞90$，超出墙的长度，不符合题意，舍去；
当$x=50$时，$CD=180-2×50=80\ \mathrm{m}＜90\ \mathrm{m}$，且$BC=50\ \mathrm{m}＜60\ \mathrm{m}$（墙AF的长度），符合题意。
【答案】
(1) $\boldsymbol{180-2x}$；$\boldsymbol{x(180-2x)}$
(2) $\boldsymbol{BC}$的长为$\boldsymbol{50\ \mathrm{m}}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的实际应用；方程根的检验
【点评】
本题是一元二次方程结合几何实际场景的基础应用题，解题核心是先理清栅栏对应的边的数量关系，正确列出代数式和方程，需要特别注意实际问题中求解出的方程根要符合场景的限制条件，不能盲目保留所有根。
【难度系数】
0.7
(1) 首先观察图形可知，长方形ABCD的AB边靠墙AE、AD边靠墙AF，这两条边无需铁栅栏，铁栅栏共包含3段：BC边、中间的竖直分隔边、CD边。已知BC=x m，中间竖直分隔边和BC长度相等，都为x m，结合铁栅栏总长180m，用总长度减去两段x的长度即可得到CD的表达式；再根据长方形面积公式“面积=长×宽”，代入BC和CD的长度就能得到面积表达式。
(2) 令第一问得到的面积表达式等于4000，即可列出关于x的一元二次方程，求解方程后需结合墙的长度限制（CD=AB≤墙AE长90m，BC=AD≤墙AF长60m）对根进行检验，舍去不符合实际的根，即可得到BC的长度。
【解析】
(1) 由题意，铁栅栏总长=BC+中间分隔边+CD=180m，BC=x m，中间分隔边长度与BC相等为x m，因此：
$CD=180-x-x=(180-2x)\ \mathrm{m}$
长方形ABCD的面积为：
$S=BC× CD=x(180-2x)\ \mathrm{m}^2$
(2) 当长方形面积为$4000\ \mathrm{m}^2$时，列方程得：
$x(180-2x)=4000$
整理得：$x^2-90x+2000=0$
因式分解得：$(x-40)(x-50)=0$
解得：$x_1=40$，$x_2=50$
对根进行检验：
当$x=40$时，$CD=180-2×40=100\ \mathrm{m}$，而墙AE长仅90m，$100＞90$，超出墙的长度，不符合题意，舍去；
当$x=50$时，$CD=180-2×50=80\ \mathrm{m}＜90\ \mathrm{m}$，且$BC=50\ \mathrm{m}＜60\ \mathrm{m}$（墙AF的长度），符合题意。
【答案】
(1) $\boldsymbol{180-2x}$；$\boldsymbol{x(180-2x)}$
(2) $\boldsymbol{BC}$的长为$\boldsymbol{50\ \mathrm{m}}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的实际应用；方程根的检验
【点评】
本题是一元二次方程结合几何实际场景的基础应用题，解题核心是先理清栅栏对应的边的数量关系，正确列出代数式和方程，需要特别注意实际问题中求解出的方程根要符合场景的限制条件，不能盲目保留所有根。
【难度系数】
0.7
10.如图,在矩形ABCD中,AB=10 cm,BC=12 cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以2 cm/s的速度运动,点Q从点B开始沿边BC向终点C以4 cm/s的速度运动.点P,Q同时开始运动,当点Q运动到点C时,两点停止运动.设运动时间为t s(0＜t＜3).
(1)当t为何值时,点B在PQ的垂直平分线上?
(2)当t为何值时,PQ的长度等于10 cm?
(3)连接PC,是否存在△PQC的面积等于32 cm²的时刻?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
(1)当t为何值时,点B在PQ的垂直平分线上?
(2)当t为何值时,PQ的长度等于10 cm?
(3)连接PC,是否存在△PQC的面积等于32 cm²的时刻?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
答案
10.由题意得 $BQ=4t\ \mathrm{cm}$,$AP=2t\ \mathrm{cm}$,$\because AB=10\ \mathrm{cm}$,$\therefore PB=AB-AP=(10-2t)\ \mathrm{cm}$.
(1)若点 B 在 PQ 的垂直平分线上,则 $PB=BQ$,$\therefore 10-2t=4t$,解得 $t=\dfrac{5}{3}$,
$\therefore$当 $t=\dfrac{5}{3}$ 时,点 B 在 PQ 的垂直平分线上.
(2)$\because$四边形 ABCD 是矩形,$\therefore ∠ B=90°$,由勾股定理得 $PQ^2=PB^2+BQ^2$,
若 $PQ=10\ \mathrm{cm}$,则 $(10-2t)^2+(4t)^2=10^2$,解得 $t_1=0$(舍去),$t_2=2$,
$\therefore$当 $t=2$ 时,$PQ$ 的长度等于 10 cm.
(3)由题意得,$CQ=BC-BQ=(12-4t)\ \mathrm{cm}$,
若$△ PQC$ 的面积等于 32 cm²,则 $\dfrac{1}{2}CQ· PB=32$,
$\therefore \dfrac{1}{2}(10-2t)(12-4t)=32$,解得 $t_1=1$,$t_2=7$(舍去),
$\therefore$当 $t=1$ 时,$△ PQC$ 的面积等于 32 cm².
(1)若点 B 在 PQ 的垂直平分线上,则 $PB=BQ$,$\therefore 10-2t=4t$,解得 $t=\dfrac{5}{3}$,
$\therefore$当 $t=\dfrac{5}{3}$ 时,点 B 在 PQ 的垂直平分线上.
(2)$\because$四边形 ABCD 是矩形,$\therefore ∠ B=90°$,由勾股定理得 $PQ^2=PB^2+BQ^2$,
若 $PQ=10\ \mathrm{cm}$,则 $(10-2t)^2+(4t)^2=10^2$,解得 $t_1=0$(舍去),$t_2=2$,
$\therefore$当 $t=2$ 时,$PQ$ 的长度等于 10 cm.
(3)由题意得,$CQ=BC-BQ=(12-4t)\ \mathrm{cm}$,
若$△ PQC$ 的面积等于 32 cm²,则 $\dfrac{1}{2}CQ· PB=32$,
$\therefore \dfrac{1}{2}(10-2t)(12-4t)=32$,解得 $t_1=1$,$t_2=7$(舍去),
$\therefore$当 $t=1$ 时,$△ PQC$ 的面积等于 32 cm².
解析
【分析】
解题前先根据点P、Q的运动速度和运动时间t，表示出相关线段的长度：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=4t\ \mathrm{cm}$，进而得到$PB=(10-2t)\ \mathrm{cm}$，$CQ=(12-4t)\ \mathrm{cm}$，再结合各小问的几何性质列方程求解即可：
(1) 依据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此点B在PQ的垂直平分线上时$PB=BQ$，列一元一次方程即可求解t；
(2) 矩形中$∠ B$为直角，$△ PBQ$是直角三角形，已知PQ的长度，可根据勾股定理列关于t的一元二次方程，求解后结合$0＜t＜3$的范围舍去不符合的解；
(3) $△ PQC$以CQ为底、PB为对应高，根据三角形面积公式列关于t的一元二次方程，求解后验证t是否符合取值范围，判断是否存在符合条件的t。
【解析】
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=4t\ \mathrm{cm}$，
$\because AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore PB=AB-AP=(10-2t)\ \mathrm{cm}$，$CQ=BC-BQ=(12-4t)\ \mathrm{cm}$。
(1) 若点B在PQ的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质可得$PB=BQ$，
代入线段长度得：$10-2t=4t$，
解得：$t=\dfrac{5}{3}$，符合$0＜t＜3$的取值范围。
(2) $\because$四边形ABCD是矩形，$\therefore ∠ B=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中，由勾股定理得：$PQ^2=PB^2+BQ^2$，
当$PQ=10\ \mathrm{cm}$时，代入得：$(10-2t)^2+(4t)^2=10^2$，
整理得$20t^2-40t=0$，解得：$t_1=0$（不符合$0＜t＜3$，舍去），$t_2=2$。
(3) 假设存在$△ PQC$的面积等于$32\ \mathrm{cm^2}$的时刻，
根据三角形面积公式得：$S_{△ PQC}=\dfrac{1}{2}× CQ × PB=32$，
代入得：$\dfrac{1}{2}(12-4t)(10-2t)=32$，
整理化简得$t^2-8t+7=0$，解得：$t_1=1$（符合$0＜t＜3$），$t_2=7$（不符合$0＜t＜3$，舍去）。
【答案】
(1) 当$t=\dfrac{5}{3}\ \mathrm{s}$时，点B在PQ的垂直平分线上；
(2) 当$t=2\ \mathrm{s}$时，PQ的长度等于10 cm；
(3) 存在，此时$t=1\ \mathrm{s}$。
【知识点】
1. 垂直平分线的性质
2. 勾股定理
3. 一元二次方程的应用
【点评】
本题是动点结合几何性质的方程应用问题，解题核心是用含时间t的代数式表示出相关线段长度，再结合对应几何性质建立方程求解，注意求出的解要符合运动的实际取值范围，舍去不合题意的解。
【难度系数】
0.7
解题前先根据点P、Q的运动速度和运动时间t，表示出相关线段的长度：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=4t\ \mathrm{cm}$，进而得到$PB=(10-2t)\ \mathrm{cm}$，$CQ=(12-4t)\ \mathrm{cm}$，再结合各小问的几何性质列方程求解即可：
(1) 依据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此点B在PQ的垂直平分线上时$PB=BQ$，列一元一次方程即可求解t；
(2) 矩形中$∠ B$为直角，$△ PBQ$是直角三角形，已知PQ的长度，可根据勾股定理列关于t的一元二次方程，求解后结合$0＜t＜3$的范围舍去不符合的解；
(3) $△ PQC$以CQ为底、PB为对应高，根据三角形面积公式列关于t的一元二次方程，求解后验证t是否符合取值范围，判断是否存在符合条件的t。
【解析】
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=4t\ \mathrm{cm}$，
$\because AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore PB=AB-AP=(10-2t)\ \mathrm{cm}$，$CQ=BC-BQ=(12-4t)\ \mathrm{cm}$。
(1) 若点B在PQ的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质可得$PB=BQ$，
代入线段长度得：$10-2t=4t$，
解得：$t=\dfrac{5}{3}$，符合$0＜t＜3$的取值范围。
(2) $\because$四边形ABCD是矩形，$\therefore ∠ B=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中，由勾股定理得：$PQ^2=PB^2+BQ^2$，
当$PQ=10\ \mathrm{cm}$时，代入得：$(10-2t)^2+(4t)^2=10^2$，
整理得$20t^2-40t=0$，解得：$t_1=0$（不符合$0＜t＜3$，舍去），$t_2=2$。
(3) 假设存在$△ PQC$的面积等于$32\ \mathrm{cm^2}$的时刻，
根据三角形面积公式得：$S_{△ PQC}=\dfrac{1}{2}× CQ × PB=32$，
代入得：$\dfrac{1}{2}(12-4t)(10-2t)=32$，
整理化简得$t^2-8t+7=0$，解得：$t_1=1$（符合$0＜t＜3$），$t_2=7$（不符合$0＜t＜3$，舍去）。
【答案】
(1) 当$t=\dfrac{5}{3}\ \mathrm{s}$时，点B在PQ的垂直平分线上；
(2) 当$t=2\ \mathrm{s}$时，PQ的长度等于10 cm；
(3) 存在，此时$t=1\ \mathrm{s}$。
【知识点】
1. 垂直平分线的性质
2. 勾股定理
3. 一元二次方程的应用
【点评】
本题是动点结合几何性质的方程应用问题，解题核心是用含时间t的代数式表示出相关线段长度，再结合对应几何性质建立方程求解，注意求出的解要符合运动的实际取值范围，舍去不合题意的解。
【难度系数】
0.7
