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7.如图，有一张长12 cm、宽9 cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒。若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70 cm²，求剪去的小正方形的边长。设剪去的小正方形的边长是x cm，根据题意，可列方程
(12-2x)(9-2x)=70
。答案
7.$(12-2x)(9-2x)=70$
解析
【分析】
解题时首先要理清剪去小正方形后纸盒底面的长、宽与原矩形边长、小正方形边长的关系：四个角各剪去边长为x的小正方形后，原矩形的长左右各减少1个x，因此底面长为(12-2x)cm；原矩形的宽上下各减少1个x，因此底面宽为(9-2x)cm。再结合已知的底面面积，利用矩形面积公式即可列出方程。
【解析】
设剪去的小正方形的边长为x cm。
折叠后无盖纸盒的底面为矩形，它的长为：$12-2x$（单位：cm），
它的宽为：$9-2x$（单位：cm）。
已知纸盒底面面积为$70\ \mathrm{cm}^2$，根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可列方程：
$(12-2x)(9-2x)=70$
【答案】
$(12-2x)(9-2x)=70$
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题属于图形类方程应用的基础题型，解题核心是准确提取图形变化后的边长关系，结合面积公式即可快速列方程，对基础的图形分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.8
解题时首先要理清剪去小正方形后纸盒底面的长、宽与原矩形边长、小正方形边长的关系：四个角各剪去边长为x的小正方形后，原矩形的长左右各减少1个x，因此底面长为(12-2x)cm；原矩形的宽上下各减少1个x，因此底面宽为(9-2x)cm。再结合已知的底面面积，利用矩形面积公式即可列出方程。
【解析】
设剪去的小正方形的边长为x cm。
折叠后无盖纸盒的底面为矩形，它的长为：$12-2x$（单位：cm），
它的宽为：$9-2x$（单位：cm）。
已知纸盒底面面积为$70\ \mathrm{cm}^2$，根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可列方程：
$(12-2x)(9-2x)=70$
【答案】
$(12-2x)(9-2x)=70$
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题属于图形类方程应用的基础题型，解题核心是准确提取图形变化后的边长关系，结合面积公式即可快速列方程，对基础的图形分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.8
8.一个菱形的两条对角线之和是28，周长是40，则这个菱形的面积是
96
。答案
8.96
解析
【分析】
解题时首先利用菱形的基本性质推导已知条件的关系：1. 菱形四条边相等，由周长可直接算出边长；2. 菱形对角线互相垂直平分，因此两条对角线的一半与边长可构成直角三角形，满足勾股定理；3. 已知两条对角线的和，结合勾股定理的结论，通过完全平方公式即可求出两条对角线的乘积，最后根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算结果即可。
【解析】
1. 计算菱形边长：
菱形四条边长度相等，已知周长为40，因此边长为 $ 40 ÷ 4 = 10 $。
2. 设未知量并列式：
设两条对角线长分别为$ a $、$ b $，由题意得 $ a + b = 28 $ ①。
因为菱形对角线互相垂直平分，半条对角线与边长构成直角三角形，由勾股定理得：
$ ( \frac{a}{2} )^2 + ( \frac{b}{2} )^2 = 10^2 $
整理得 $ a^2 + b^2 = 400 $ ②。
3. 计算对角线乘积求面积：
将①式两边平方得 $ (a + b)^2 = 28^2 $，展开得 $ a^2 + 2ab + b^2 = 784 $。
把②式代入上式：$ 400 + 2ab = 784 $，解得 $ ab = 192 $。
菱形面积公式为 $ S = \frac{1}{2}ab $，代入得 $ S = \frac{1}{2} × 192 = 96 $。
【答案】
96
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、完全平方公式
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础应用题，解题核心是熟练掌握菱形边长与对角线的关系，利用完全平方公式可避免单独求解两条对角线的长度，简化计算过程。
【难度系数】
0.65
解题时首先利用菱形的基本性质推导已知条件的关系：1. 菱形四条边相等，由周长可直接算出边长；2. 菱形对角线互相垂直平分，因此两条对角线的一半与边长可构成直角三角形，满足勾股定理；3. 已知两条对角线的和，结合勾股定理的结论，通过完全平方公式即可求出两条对角线的乘积，最后根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算结果即可。
【解析】
1. 计算菱形边长：
菱形四条边长度相等，已知周长为40，因此边长为 $ 40 ÷ 4 = 10 $。
2. 设未知量并列式：
设两条对角线长分别为$ a $、$ b $，由题意得 $ a + b = 28 $ ①。
因为菱形对角线互相垂直平分，半条对角线与边长构成直角三角形，由勾股定理得：
$ ( \frac{a}{2} )^2 + ( \frac{b}{2} )^2 = 10^2 $
整理得 $ a^2 + b^2 = 400 $ ②。
3. 计算对角线乘积求面积：
将①式两边平方得 $ (a + b)^2 = 28^2 $，展开得 $ a^2 + 2ab + b^2 = 784 $。
把②式代入上式：$ 400 + 2ab = 784 $，解得 $ ab = 192 $。
菱形面积公式为 $ S = \frac{1}{2}ab $，代入得 $ S = \frac{1}{2} × 192 = 96 $。
【答案】
96
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、完全平方公式
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础应用题，解题核心是熟练掌握菱形边长与对角线的关系，利用完全平方公式可避免单独求解两条对角线的长度，简化计算过程。
【难度系数】
0.65
9.如图，某工程队在工地借助互相垂直的两面墙AE，AF，用铁栅栏为相邻两边围一个长方形场地ABCD，再用铁栅栏从中分割出两个长方形，铁栅栏总长180 m，已知墙AE长90 m，墙AF长60 m.
(1)设BC=x m，则CD为
(2)若长方形ABCD的面积为4 000 m²，BC的长为多少？
(1)设BC=x m，则CD为
180-2x
m，长方形ABCD的面积为x(180-2x)
m².(2)若长方形ABCD的面积为4 000 m²，BC的长为多少？
答案
9.(1)$180-2x$ $x(180-2x)$
(2)由题意,得 $x(180-2x)=4\ 000$,整理,得 $x^2-90x+2\ 000=0$,解得 $x=40$ 或 $x=50$.
当 $x=40$ 时,$180-2x=100＞90$,不符合题意,舍去;
当 $x=50$ 时,$180-2x=80＜90$,符合题意.
$BC=50\ \mathrm{m}$.
(2)由题意,得 $x(180-2x)=4\ 000$,整理,得 $x^2-90x+2\ 000=0$,解得 $x=40$ 或 $x=50$.
当 $x=40$ 时,$180-2x=100＞90$,不符合题意,舍去;
当 $x=50$ 时,$180-2x=80＜90$,符合题意.
$BC=50\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
(1) 首先分析铁栅栏的构成：借助两面垂直的墙围长方形，AB、AD分别靠在AE、AF墙上，无需使用铁栅栏，铁栅栏总长包含1条CD边、2条与BC长度相等的边（BC边和中间分隔栅栏）。已知总长180m、BC=x m，即可推出CD的长度，再根据长方形面积公式写出面积表达式。
(2) 结合第一问的面积表达式，令面积等于4000m²列出一元二次方程，求解后需结合墙长的限制条件（CD≤AE的长度90m，BC≤AF的长度60m），舍去不符合实际的根，得到BC的长度。
【解析】
(1) 已知铁栅栏总长180m，由1条CD边和2条长度等于BC的边组成，BC=x m，因此$CD=180-2x$ m；
根据长方形面积=长×宽，可得长方形ABCD的面积为$BC× CD=x(180-2x)$ m²。
(2) 由题意得面积为4000m²，列方程：
$x(180-2x)=4000$
整理得：$x^2-90x+2000=0$
解得$x=40$或$x=50$。
验证根的合理性：
当$x=40$时，$CD=180-2×40=100＞90$，超出墙AE的长度，不符合题意，舍去；
当$x=50$时，$CD=180-2×50=80＜90$，且$BC=50＜60$，符合题意。
【答案】
(1) $180-2x$；$x(180-2x)$
(2) $50\ \mathrm{m}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；实际问题的根检验
【点评】
本题是结合几何面积的方程应用题，解题核心是理清栅栏的长度构成，正确列代数式和方程，同时要注意实际问题存在取值限制，需对求解的根做合理性验证，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
(1) 首先分析铁栅栏的构成：借助两面垂直的墙围长方形，AB、AD分别靠在AE、AF墙上，无需使用铁栅栏，铁栅栏总长包含1条CD边、2条与BC长度相等的边（BC边和中间分隔栅栏）。已知总长180m、BC=x m，即可推出CD的长度，再根据长方形面积公式写出面积表达式。
(2) 结合第一问的面积表达式，令面积等于4000m²列出一元二次方程，求解后需结合墙长的限制条件（CD≤AE的长度90m，BC≤AF的长度60m），舍去不符合实际的根，得到BC的长度。
【解析】
(1) 已知铁栅栏总长180m，由1条CD边和2条长度等于BC的边组成，BC=x m，因此$CD=180-2x$ m；
根据长方形面积=长×宽，可得长方形ABCD的面积为$BC× CD=x(180-2x)$ m²。
(2) 由题意得面积为4000m²，列方程：
$x(180-2x)=4000$
整理得：$x^2-90x+2000=0$
解得$x=40$或$x=50$。
验证根的合理性：
当$x=40$时，$CD=180-2×40=100＞90$，超出墙AE的长度，不符合题意，舍去；
当$x=50$时，$CD=180-2×50=80＜90$，且$BC=50＜60$，符合题意。
【答案】
(1) $180-2x$；$x(180-2x)$
(2) $50\ \mathrm{m}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；实际问题的根检验
【点评】
本题是结合几何面积的方程应用题，解题核心是理清栅栏的长度构成，正确列代数式和方程，同时要注意实际问题存在取值限制，需对求解的根做合理性验证，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
10.如图,在矩形ABCD中,AB=10 cm,BC=12 cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以2 cm/s的速度运动,点Q从点B开始沿边BC向终点C以4 cm/s的速度运动.点P,Q同时开始运动,当点Q运动到点C时,两点停止运动.设运动时间为t s(0＜t＜3).
(1)当t为何值时,点B在PQ的垂直平分线上?
(2)当t为何值时,PQ的长度等于10 cm?
(3)连接PC,是否存在△PQC的面积等于32 cm²的时刻?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
(1)当t为何值时,点B在PQ的垂直平分线上?
(2)当t为何值时,PQ的长度等于10 cm?
(3)连接PC,是否存在△PQC的面积等于32 cm²的时刻?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
答案
10.由题意得 $BQ=4t\ \mathrm{cm}$,$AP=2t\ \mathrm{cm}$,$\because AB=10\ \mathrm{cm}$,$\therefore PB=AB-AP=(10-2t)\ \mathrm{cm}$.
(1)若点 B 在 PQ 的垂直平分线上,则 $PB=BQ$,$\therefore 10-2t=4t$,解得 $t=\dfrac{5}{3}$,
$\therefore$当 $t=\dfrac{5}{3}$ 时,点 B 在 PQ 的垂直平分线上.
(2)$\because$四边形 ABCD 是矩形,$\therefore ∠ B=90°$,由勾股定理得 $PQ^2=PB^2+BQ^2$,
若 $PQ=10\ \mathrm{cm}$,则 $(10-2t)^2+(4t)^2=10^2$,解得 $t_1=0$(舍去),$t_2=2$,
$\therefore$当 $t=2$ 时,$PQ$ 的长度等于 10 cm.
(3)由题意得,$CQ=BC-BQ=(12-4t)\ \mathrm{cm}$,
若$△ PQC$ 的面积等于 32 cm²,则 $\dfrac{1}{2}CQ· PB=32$,
$\therefore \dfrac{1}{2}(10-2t)(12-4t)=32$,解得 $t_1=1$,$t_2=7$(舍去),
$\therefore$当 $t=1$ 时,$△ PQC$ 的面积等于 32 cm².
(1)若点 B 在 PQ 的垂直平分线上,则 $PB=BQ$,$\therefore 10-2t=4t$,解得 $t=\dfrac{5}{3}$,
$\therefore$当 $t=\dfrac{5}{3}$ 时,点 B 在 PQ 的垂直平分线上.
(2)$\because$四边形 ABCD 是矩形,$\therefore ∠ B=90°$,由勾股定理得 $PQ^2=PB^2+BQ^2$,
若 $PQ=10\ \mathrm{cm}$,则 $(10-2t)^2+(4t)^2=10^2$,解得 $t_1=0$(舍去),$t_2=2$,
$\therefore$当 $t=2$ 时,$PQ$ 的长度等于 10 cm.
(3)由题意得,$CQ=BC-BQ=(12-4t)\ \mathrm{cm}$,
若$△ PQC$ 的面积等于 32 cm²,则 $\dfrac{1}{2}CQ· PB=32$,
$\therefore \dfrac{1}{2}(10-2t)(12-4t)=32$,解得 $t_1=1$,$t_2=7$(舍去),
$\therefore$当 $t=1$ 时,$△ PQC$ 的面积等于 32 cm².
解析
【分析】
解决这类动点问题的第一步是先根据运动速度和时间，用含t的代数式表示出相关线段的长度：AP=2t cm，BQ=4t cm，进而得到PB=(10-2t)cm，CQ=(12-4t)cm。(1)问利用垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得PB=BQ，列方程求解即可；(2)问矩形内角为直角，△PBQ是直角三角形，已知斜边PQ的长度，用勾股定理列一元二次方程求解，注意舍去不符合t取值范围的解；(3)问△PQC以CQ为底、PB为高，根据三角形面积公式列方程，求解后舍去超出0＜t＜3范围的解即可。
【解析】
由题意得 $BQ=4t\ \mathrm{cm}$,$AP=2t\ \mathrm{cm}$,$\because AB=10\ \mathrm{cm}$,$\therefore PB=AB-AP=(10-2t)\ \mathrm{cm}$.
(1)若点B在PQ的垂直平分线上，则 $PB=BQ$,
$\therefore 10-2t=4t$,解得 $t=\dfrac{5}{3}$，符合0＜t＜3的取值范围。
(2)$\because$四边形ABCD是矩形,$\therefore ∠ B=90°$,由勾股定理得 $PQ^2=PB^2+BQ^2$,
若 $PQ=10\ \mathrm{cm}$,则 $(10-2t)^2+(4t)^2=10^2$,解得 $t_1=0$(舍去),$t_2=2$，符合取值范围。
(3)由题意得,$CQ=BC-BQ=(12-4t)\ \mathrm{cm}$,
若$△ PQC$ 的面积等于 32 cm²,则 $\dfrac{1}{2}CQ· PB=32$,
$\therefore \dfrac{1}{2}(10-2t)(12-4t)=32$,解得 $t_1=1$,$t_2=7$(舍去)，符合取值范围。
【答案】
(1)$t=\dfrac{5}{3}\ \mathrm{s}$；(2)$t=2\ \mathrm{s}$；(3)存在，此时$t=1\ \mathrm{s}$
【知识点】
垂直平分线的性质、勾股定理、一元二次方程的应用
【点评】
本题是动态几何结合方程的典型题型，解题核心是先将运动过程中的相关线段用含运动时间的代数式表示，再结合对应几何性质列方程求解，最后要注意结合运动的取值范围舍去不合题意的解，考查数形结合能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
解决这类动点问题的第一步是先根据运动速度和时间，用含t的代数式表示出相关线段的长度：AP=2t cm，BQ=4t cm，进而得到PB=(10-2t)cm，CQ=(12-4t)cm。(1)问利用垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得PB=BQ，列方程求解即可；(2)问矩形内角为直角，△PBQ是直角三角形，已知斜边PQ的长度，用勾股定理列一元二次方程求解，注意舍去不符合t取值范围的解；(3)问△PQC以CQ为底、PB为高，根据三角形面积公式列方程，求解后舍去超出0＜t＜3范围的解即可。
【解析】
由题意得 $BQ=4t\ \mathrm{cm}$,$AP=2t\ \mathrm{cm}$,$\because AB=10\ \mathrm{cm}$,$\therefore PB=AB-AP=(10-2t)\ \mathrm{cm}$.
(1)若点B在PQ的垂直平分线上，则 $PB=BQ$,
$\therefore 10-2t=4t$,解得 $t=\dfrac{5}{3}$，符合0＜t＜3的取值范围。
(2)$\because$四边形ABCD是矩形,$\therefore ∠ B=90°$,由勾股定理得 $PQ^2=PB^2+BQ^2$,
若 $PQ=10\ \mathrm{cm}$,则 $(10-2t)^2+(4t)^2=10^2$,解得 $t_1=0$(舍去),$t_2=2$，符合取值范围。
(3)由题意得,$CQ=BC-BQ=(12-4t)\ \mathrm{cm}$,
若$△ PQC$ 的面积等于 32 cm²,则 $\dfrac{1}{2}CQ· PB=32$,
$\therefore \dfrac{1}{2}(10-2t)(12-4t)=32$,解得 $t_1=1$,$t_2=7$(舍去)，符合取值范围。
【答案】
(1)$t=\dfrac{5}{3}\ \mathrm{s}$；(2)$t=2\ \mathrm{s}$；(3)存在，此时$t=1\ \mathrm{s}$
【知识点】
垂直平分线的性质、勾股定理、一元二次方程的应用
【点评】
本题是动态几何结合方程的典型题型，解题核心是先将运动过程中的相关线段用含运动时间的代数式表示，再结合对应几何性质列方程求解，最后要注意结合运动的取值范围舍去不合题意的解，考查数形结合能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
