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1.某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为$y=-\frac{1}{25}x^2$，当水面宽度AB为20 m时，水面与桥拱顶的高度CO为(
A.2 m
B.4 m
C.10 m
D.16 m
B
).A.2 m
B.4 m
C.10 m
D.16 m
答案
1.B
解析
【分析】
首先观察抛物线解析式$y=-\frac{1}{25}x^2$，可知其顶点在原点O，且关于y轴对称。已知水面宽度AB为20m，由对称性可得水面右端点B的横坐标为10，要求水面与桥拱顶的高度CO，只需要将x=10代入解析式求出对应的y值，y的绝对值就是高度CO。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=-\frac{1}{25}x^2$关于y轴对称，水面宽度$AB=20\ \mathrm{m}$，
∴ 点B的横坐标为$\frac{20}{2}=10$。
将$x=10$代入$y=-\frac{1}{25}x^2$，得：
$y=-\frac{1}{25}×10^2=-\frac{1}{25}×100=-4$
即水面所在位置的纵坐标为-4，桥拱顶O的坐标为$(0,0)$，
∴ 水面与桥拱顶的高度$CO=|0 - (-4)|=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；抛物线的对称性；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用题，解题的核心是利用抛物线的对称性确定对应点的横坐标，再代入解析式计算即可，解题时注意高度为正数，要取计算结果的绝对值。
【难度系数】
0.8
首先观察抛物线解析式$y=-\frac{1}{25}x^2$，可知其顶点在原点O，且关于y轴对称。已知水面宽度AB为20m，由对称性可得水面右端点B的横坐标为10，要求水面与桥拱顶的高度CO，只需要将x=10代入解析式求出对应的y值，y的绝对值就是高度CO。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=-\frac{1}{25}x^2$关于y轴对称，水面宽度$AB=20\ \mathrm{m}$，
∴ 点B的横坐标为$\frac{20}{2}=10$。
将$x=10$代入$y=-\frac{1}{25}x^2$，得：
$y=-\frac{1}{25}×10^2=-\frac{1}{25}×100=-4$
即水面所在位置的纵坐标为-4，桥拱顶O的坐标为$(0,0)$，
∴ 水面与桥拱顶的高度$CO=|0 - (-4)|=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；抛物线的对称性；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用题，解题的核心是利用抛物线的对称性确定对应点的横坐标，再代入解析式计算即可，解题时注意高度为正数，要取计算结果的绝对值。
【难度系数】
0.8
2.如图,一抛物线形拱桥,当拱顶到水面的距离为2 m时,水面宽度为4 m.那么当水位下降1 m时,水面的宽度为(
A.$\sqrt{6}$ m
B.$2\sqrt{6}$ m
C.$(\sqrt{6}-4)$ m
D.$(2\sqrt{6}-4)$ m
B
).A.$\sqrt{6}$ m
B.$2\sqrt{6}$ m
C.$(\sqrt{6}-4)$ m
D.$(2\sqrt{6}-4)$ m
答案
2.B
解析
【分析】
解决抛物线类实际问题，首先要建立合适的平面直角坐标系，将实际长度转化为坐标数据，简化计算。我们可以选择拱顶作为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立坐标系，此时抛物线顶点在原点，解析式可设为$y=ax^2$。首先根据已知“拱顶到水面距离2m时水面宽4m”的条件，找到抛物线上的点坐标，代入求出抛物线解析式；再将水位下降1m后的纵坐标代入解析式，求出对应横坐标，即可计算得到水面宽度。
【解析】
以抛物线拱顶为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
∵抛物线顶点为$(0,0)$，
∴设抛物线解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意得：当拱顶距水面2m时，水面宽4m，即点$(2,-2)$在抛物线上，将其代入解析式：
$-2=a× 2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，即抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
当水位下降1m时，水面所在位置的纵坐标为$y=-2-1=-3$，将$y=-3$代入解析式：
$-3=-\frac{1}{2}x^2$，解得$x=\pm\sqrt{6}$。
此时水面宽度为$\sqrt{6}-(-\sqrt{6})=2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数的求值
【点评】
本题是二次函数的实际应用常规题型，解题核心是通过建立坐标系将几何问题转化为代数问题，选择合适的原点位置可大幅降低计算量，同时要注意实际场景中坐标的正负含义。
【难度系数】
0.7
解决抛物线类实际问题，首先要建立合适的平面直角坐标系，将实际长度转化为坐标数据，简化计算。我们可以选择拱顶作为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立坐标系，此时抛物线顶点在原点，解析式可设为$y=ax^2$。首先根据已知“拱顶到水面距离2m时水面宽4m”的条件，找到抛物线上的点坐标，代入求出抛物线解析式；再将水位下降1m后的纵坐标代入解析式，求出对应横坐标，即可计算得到水面宽度。
【解析】
以抛物线拱顶为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
∵抛物线顶点为$(0,0)$，
∴设抛物线解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意得：当拱顶距水面2m时，水面宽4m，即点$(2,-2)$在抛物线上，将其代入解析式：
$-2=a× 2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，即抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
当水位下降1m时，水面所在位置的纵坐标为$y=-2-1=-3$，将$y=-3$代入解析式：
$-3=-\frac{1}{2}x^2$，解得$x=\pm\sqrt{6}$。
此时水面宽度为$\sqrt{6}-(-\sqrt{6})=2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数的求值
【点评】
本题是二次函数的实际应用常规题型，解题核心是通过建立坐标系将几何问题转化为代数问题，选择合适的原点位置可大幅降低计算量，同时要注意实际场景中坐标的正负含义。
【难度系数】
0.7
3.竖直向上发射的小球的高度$h$与运动时间$t$的函数关系为$h=at^2+bt$，其图象如图所示，若小球发射后第2 s与第6 s时的高度相等，则小球达到最高点的时刻是(
A.第2.5 s
B.第3 s
C.第3.5 s
D.第4 s
D
)。A.第2.5 s
B.第3 s
C.第3.5 s
D.第4 s
答案
3.D
解析
【分析】
小球的高度h与运动时间t的关系是开口向下的二次函数，小球到达最高点的时刻对应二次函数图象顶点的横坐标，也就是抛物线的对称轴对应的t值。已知t=2s和t=6s时小球高度相等，根据二次函数的性质，函数值相等的两个点关于抛物线的对称轴对称，因此只需计算两个时间的中点即可得到对称轴对应的t值，也就是最高点的时刻。
【解析】
已知$ h=at^2+bt $是开口向下的二次函数，其图象为抛物线，抛物线上纵坐标相等的两个点关于抛物线的对称轴对称。
由题意得，t=2s和t=6s时h的值相等，因此抛物线的对称轴为：
$ t=\frac{2+6}{2}=4\,\mathrm{s} $
开口向下的抛物线的顶点为图象最高点，顶点在对称轴上，因此小球达到最高点的时刻是第4s。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的图象性质；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合抛体运动的实际场景，考查二次函数对称性的应用，无需计算函数的具体解析式，仅利用二次函数的对称性质即可快速求解，是二次函数实际应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
小球的高度h与运动时间t的关系是开口向下的二次函数，小球到达最高点的时刻对应二次函数图象顶点的横坐标，也就是抛物线的对称轴对应的t值。已知t=2s和t=6s时小球高度相等，根据二次函数的性质，函数值相等的两个点关于抛物线的对称轴对称，因此只需计算两个时间的中点即可得到对称轴对应的t值，也就是最高点的时刻。
【解析】
已知$ h=at^2+bt $是开口向下的二次函数，其图象为抛物线，抛物线上纵坐标相等的两个点关于抛物线的对称轴对称。
由题意得，t=2s和t=6s时h的值相等，因此抛物线的对称轴为：
$ t=\frac{2+6}{2}=4\,\mathrm{s} $
开口向下的抛物线的顶点为图象最高点，顶点在对称轴上，因此小球达到最高点的时刻是第4s。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的图象性质；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合抛体运动的实际场景，考查二次函数对称性的应用，无需计算函数的具体解析式，仅利用二次函数的对称性质即可快速求解，是二次函数实际应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
4.如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离4 m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线的一部分.当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离是3.05 m，则此抛物线的函数解析式是
$y=-0.2x^2+3.5$
.答案
4.$y=-0.2x^2+3.5$
解析
【分析】
本题是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：首先观察坐标系可知抛物线的顶点在y轴上，坐标为$(0,3.5)$，因此可设顶点形式的二次函数解析式减少计算量；其次根据图像信息确定篮圈中心的坐标，篮圈中心的水平位置距离原点为$4-2.5=1.5\mathrm{m}$，纵坐标为篮圈高度$3.05\mathrm{m}$，即篮圈对应点坐标为$(1.5,3.05)$；最后将该点代入所设解析式求出参数$a$，即可得到完整的函数解析式。
【解析】
$\because$ 抛物线的顶点坐标为$(0,3.5)$
$\therefore$ 设抛物线的函数解析式为$y=ax^2+3.5\ (a≠0)$
由题意可知，篮圈中心的坐标为$(1.5,3.05)$，且该点在抛物线上
将$x=1.5$，$y=3.05$代入解析式得：
$3.05=a×1.5^2+3.5$
计算得：$2.25a=3.05-3.5=-0.45$
解得：$a=-0.2$
$\therefore$ 抛物线的函数解析式为$y=-0.2x^2+3.5$
【答案】
$y=-0.2x^2+3.5$
【知识点】
二次函数顶点式，待定系数法，二次函数实际应用
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，核心考查对图像信息的提取能力和待定系数法求函数解析式的掌握，解题的关键是根据顶点特征选择合适的解析式形式，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：首先观察坐标系可知抛物线的顶点在y轴上，坐标为$(0,3.5)$，因此可设顶点形式的二次函数解析式减少计算量；其次根据图像信息确定篮圈中心的坐标，篮圈中心的水平位置距离原点为$4-2.5=1.5\mathrm{m}$，纵坐标为篮圈高度$3.05\mathrm{m}$，即篮圈对应点坐标为$(1.5,3.05)$；最后将该点代入所设解析式求出参数$a$，即可得到完整的函数解析式。
【解析】
$\because$ 抛物线的顶点坐标为$(0,3.5)$
$\therefore$ 设抛物线的函数解析式为$y=ax^2+3.5\ (a≠0)$
由题意可知，篮圈中心的坐标为$(1.5,3.05)$，且该点在抛物线上
将$x=1.5$，$y=3.05$代入解析式得：
$3.05=a×1.5^2+3.5$
计算得：$2.25a=3.05-3.5=-0.45$
解得：$a=-0.2$
$\therefore$ 抛物线的函数解析式为$y=-0.2x^2+3.5$
【答案】
$y=-0.2x^2+3.5$
【知识点】
二次函数顶点式，待定系数法，二次函数实际应用
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，核心考查对图像信息的提取能力和待定系数法求函数解析式的掌握，解题的关键是根据顶点特征选择合适的解析式形式，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
5.某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中的运行路线是抛物线$y=-x^2+4x$（单位：m）的一部分，求水喷出的最远水平距离.
答案
5.令 $y=0$,则 $-x^2+4x=0$,解得 $x=0$ 或 $x=4$,
抛物线与 $x$ 轴交于点$(0,0)$和$(4,0)$,$|4-0|=4$,
$\therefore$ 水喷出的最远水平距离是 $4$ m.
抛物线与 $x$ 轴交于点$(0,0)$和$(4,0)$,$|4-0|=4$,
$\therefore$ 水喷出的最远水平距离是 $4$ m.
解析
【分析】要计算水喷出的最远水平距离，首先明确水落回地面时竖直高度为0，对应平面直角坐标系中抛物线与x轴交点的位置；已知出水点为原点(0,0)，因此最远水平距离就是抛物线与x轴另一个交点的横坐标数值，只需令抛物线解析式中y=0，解一元二次方程取非零正根即可得到结果。
【解析】当水落回地面时，高度y=0，令$y=0$，代入抛物线解析式得：
$-x^2+4x=0$
因式分解得：$x(-x+4)=0$
解得 $x=0$ 或 $x=4$
其中$x=0$对应出水点位置，$x=4$对应水落地时的水平位置，因此水喷出的最远水平距离为$|4-0|=4$ m。
【答案】4 m
【知识点】二次函数实际应用；抛物线与x轴交点；解一元二次方程
【点评】本题是二次函数结合实际场景的基础题，解题核心是将实际问题中的“落回地面”转化为函数中y=0的代数条件，把实际距离求解转化为求抛物线与x轴交点坐标的问题，思路直接，计算简单。
【难度系数】0.8
【解析】当水落回地面时，高度y=0，令$y=0$，代入抛物线解析式得：
$-x^2+4x=0$
因式分解得：$x(-x+4)=0$
解得 $x=0$ 或 $x=4$
其中$x=0$对应出水点位置，$x=4$对应水落地时的水平位置，因此水喷出的最远水平距离为$|4-0|=4$ m。
【答案】4 m
【知识点】二次函数实际应用；抛物线与x轴交点；解一元二次方程
【点评】本题是二次函数结合实际场景的基础题，解题核心是将实际问题中的“落回地面”转化为函数中y=0的代数条件，把实际距离求解转化为求抛物线与x轴交点坐标的问题，思路直接，计算简单。
【难度系数】0.8
