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1.某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为$y=-\frac{1}{25}x^2$，当水面宽度AB为20 m时，水面与桥拱顶的高度CO为(
A.2 m
B.4 m
C.10 m
D.16 m
B
).A.2 m
B.4 m
C.10 m
D.16 m
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先明确该抛物线解析式为$y=-\frac{1}{25}x^2$，图象关于y轴对称，顶点在原点O处。已知水面宽度AB为20m，由对称性可知A、B两点的横坐标分别为-10和10；要求水面与桥拱顶的高度CO，只需将x=10（或x=-10）代入解析式，求出对应y值的绝对值即可，因y值为负，高度取正值。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=-\frac{1}{25}x^2$关于y轴对称，水面宽度$AB=20\ \mathrm{m}$
∴ 点B的横坐标为$20÷2=10$
将$x=10$代入$y=-\frac{1}{25}x^2$，得：
$y=-\frac{1}{25}×10^2=-\frac{1}{25}×100=-4$
水面与桥拱顶的高度CO为y值的绝对值，即$|y|=4\ \mathrm{m}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数图象的对称性
2. 二次函数代入求值
【点评】
本题结合桥拱的实际场景考查二次函数的基础应用，解题的核心是利用抛物线的对称性快速确定点的横坐标，再代入解析式计算对应函数值，解题思路清晰，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先明确该抛物线解析式为$y=-\frac{1}{25}x^2$，图象关于y轴对称，顶点在原点O处。已知水面宽度AB为20m，由对称性可知A、B两点的横坐标分别为-10和10；要求水面与桥拱顶的高度CO，只需将x=10（或x=-10）代入解析式，求出对应y值的绝对值即可，因y值为负，高度取正值。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=-\frac{1}{25}x^2$关于y轴对称，水面宽度$AB=20\ \mathrm{m}$
∴ 点B的横坐标为$20÷2=10$
将$x=10$代入$y=-\frac{1}{25}x^2$，得：
$y=-\frac{1}{25}×10^2=-\frac{1}{25}×100=-4$
水面与桥拱顶的高度CO为y值的绝对值，即$|y|=4\ \mathrm{m}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数图象的对称性
2. 二次函数代入求值
【点评】
本题结合桥拱的实际场景考查二次函数的基础应用，解题的核心是利用抛物线的对称性快速确定点的横坐标，再代入解析式计算对应函数值，解题思路清晰，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
2.如图,一抛物线形拱桥,当拱顶到水面的距离为2 m时,水面宽度为4 m.那么当水位下降1 m时,水面的宽度为(
A.$\sqrt{6}$ m
B.$2\sqrt{6}$ m
C.$(\sqrt{6}-4)$ m
D.$(2\sqrt{6}-4)$ m
B
).A.$\sqrt{6}$ m
B.$2\sqrt{6}$ m
C.$(\sqrt{6}-4)$ m
D.$(2\sqrt{6}-4)$ m
答案
2.B
解析
【分析】
解决这类抛物线实际应用问题，首先要建立合适的平面直角坐标系简化计算，通常将抛物线的顶点（本题即拱顶）设为坐标原点，对称轴设为y轴，此时抛物线解析式可设为最简形式$y=ax^2$。接下来先代入已知条件求出解析式，再根据水位下降后的纵坐标求出对应横坐标，两个横坐标的差就是水面宽度。
【解析】
以拱顶为原点，过原点且平行于水面的直线为x轴，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系。
设该抛物线的解析式为$ y=ax^2 (a≠0) $。
由题意可知，当拱顶到水面距离为2m、水面宽4m时，水面右端点坐标为$(2, -2)$，将其代入解析式：
$ -2 = a×2^2 $，解得$ a=-\frac{1}{2} $，即抛物线解析式为$ y=-\frac{1}{2}x^2 $。
当水位下降1m时，此时水面所在位置的纵坐标为$ -2-1=-3 $，将$ y=-3 $代入解析式：
$ -3=-\frac{1}{2}x^2 $，解得$ x^2=6 $，即$ x=±\sqrt{6} $。
此时水面宽度为$ \sqrt{6} - (-\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} \, \mathrm{m} $。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用题，核心是合理建立坐标系降低计算难度，再通过函数值与坐标的对应关系求解即可，掌握建模思路是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解决这类抛物线实际应用问题，首先要建立合适的平面直角坐标系简化计算，通常将抛物线的顶点（本题即拱顶）设为坐标原点，对称轴设为y轴，此时抛物线解析式可设为最简形式$y=ax^2$。接下来先代入已知条件求出解析式，再根据水位下降后的纵坐标求出对应横坐标，两个横坐标的差就是水面宽度。
【解析】
以拱顶为原点，过原点且平行于水面的直线为x轴，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系。
设该抛物线的解析式为$ y=ax^2 (a≠0) $。
由题意可知，当拱顶到水面距离为2m、水面宽4m时，水面右端点坐标为$(2, -2)$，将其代入解析式：
$ -2 = a×2^2 $，解得$ a=-\frac{1}{2} $，即抛物线解析式为$ y=-\frac{1}{2}x^2 $。
当水位下降1m时，此时水面所在位置的纵坐标为$ -2-1=-3 $，将$ y=-3 $代入解析式：
$ -3=-\frac{1}{2}x^2 $，解得$ x^2=6 $，即$ x=±\sqrt{6} $。
此时水面宽度为$ \sqrt{6} - (-\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} \, \mathrm{m} $。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用题，核心是合理建立坐标系降低计算难度，再通过函数值与坐标的对应关系求解即可，掌握建模思路是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3.竖直向上发射的小球的高度$h$与运动时间$t$的函数关系为$h=at^2+bt$，其图象如图所示，若小球发射后第2 s与第6 s时的高度相等，则小球达到最高点的时刻是(
A.第2.5 s
B.第3 s
C.第3.5 s
D.第4 s
D
)。A.第2.5 s
B.第3 s
C.第3.5 s
D.第4 s
答案
3.D
解析
【分析】
首先，小球的高度h和运动时间t的函数关系是二次函数，其图象为开口向下的抛物线，抛物线的最高点对应的横坐标就是函数的对称轴。已知t=2和t=6时小球高度相等，说明这两个时刻对应的抛物线上的点关于对称轴对称，根据二次函数的对称性，对称轴横坐标为这两个t值的平均值，算出对称轴对应的t值就是小球到达最高点的时刻。
【解析】
函数$h=at^2+bt$是二次函数，图象为开口向下的抛物线，抛物线的最高点对应其对称轴位置。
由题意得，当$t=2$和$t=6$时，$h$的值相等，即点$(2,h)$和点$(6,h)$是抛物线上关于对称轴对称的两个点。
根据二次函数对称性，对称轴的横坐标为两点横坐标的平均值，即：
$t=\frac{2+6}{2}=4$
因此小球达到最高点的时刻是第4 s。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性、二次函数的实际应用
【点评】
本题结合抛球的实际场景考查二次函数对称性的应用，解题时无需计算函数解析式，仅利用纵坐标相等的两个点关于对称轴对称的特征即可快速求解，是二次函数基础性质的典型应用题目。
【难度系数】
0.8
首先，小球的高度h和运动时间t的函数关系是二次函数，其图象为开口向下的抛物线，抛物线的最高点对应的横坐标就是函数的对称轴。已知t=2和t=6时小球高度相等，说明这两个时刻对应的抛物线上的点关于对称轴对称，根据二次函数的对称性，对称轴横坐标为这两个t值的平均值，算出对称轴对应的t值就是小球到达最高点的时刻。
【解析】
函数$h=at^2+bt$是二次函数，图象为开口向下的抛物线，抛物线的最高点对应其对称轴位置。
由题意得，当$t=2$和$t=6$时，$h$的值相等，即点$(2,h)$和点$(6,h)$是抛物线上关于对称轴对称的两个点。
根据二次函数对称性，对称轴的横坐标为两点横坐标的平均值，即：
$t=\frac{2+6}{2}=4$
因此小球达到最高点的时刻是第4 s。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性、二次函数的实际应用
【点评】
本题结合抛球的实际场景考查二次函数对称性的应用，解题时无需计算函数解析式，仅利用纵坐标相等的两个点关于对称轴对称的特征即可快速求解，是二次函数基础性质的典型应用题目。
【难度系数】
0.8
4.如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离4 m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线的一部分.当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离是3.05 m，则此抛物线的函数解析式是
$y=-0.2x^2+3.5$
.答案
4.$y=-0.2x^2+3.5$
解析
【分析】
本题考查二次函数在投篮实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据题意确定抛物线的顶点坐标，本题中抛物线顶点在y轴上，选择顶点式设函数解析式更简便；其次结合坐标系和题干数据找到抛物线上的另一个已知点（篮圈中心对应的坐标），将其代入所设解析式求出未知系数a，即可得到抛物线的函数解析式。
【解析】
解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(0, 3.5)$，因此设抛物线的解析式为$ y=ax^2 + 3.5 \ (a≠0) $。
计算篮圈中心的坐标：小张距原点水平距离为2.5m，距篮圈中心水平距离为4m，因此篮圈中心的横坐标为$ 4 - 2.5 = 1.5 $，纵坐标为篮圈到地面的高度3.05m，即点$ (1.5, 3.05) $在抛物线上。
将$ x=1.5, y=3.05 $代入解析式得：
$ 3.05 = a× 1.5^2 + 3.5 $
计算得$ 2.25a = 3.05 - 3.5 = -0.45 $
解得$ a = -0.2 $
因此抛物线的函数解析式为$ y=-0.2x^2 + 3.5 $。
【答案】
$ y=-0.2x^2+3.5 $
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数实际应用
【点评】
本题属于二次函数基础应用题型，解题关键是结合坐标系和题意准确提取抛物线上的已知点，选择合适的解析式形式代入计算即可，解题时注意坐标计算不要出错。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数在投篮实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据题意确定抛物线的顶点坐标，本题中抛物线顶点在y轴上，选择顶点式设函数解析式更简便；其次结合坐标系和题干数据找到抛物线上的另一个已知点（篮圈中心对应的坐标），将其代入所设解析式求出未知系数a，即可得到抛物线的函数解析式。
【解析】
解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(0, 3.5)$，因此设抛物线的解析式为$ y=ax^2 + 3.5 \ (a≠0) $。
计算篮圈中心的坐标：小张距原点水平距离为2.5m，距篮圈中心水平距离为4m，因此篮圈中心的横坐标为$ 4 - 2.5 = 1.5 $，纵坐标为篮圈到地面的高度3.05m，即点$ (1.5, 3.05) $在抛物线上。
将$ x=1.5, y=3.05 $代入解析式得：
$ 3.05 = a× 1.5^2 + 3.5 $
计算得$ 2.25a = 3.05 - 3.5 = -0.45 $
解得$ a = -0.2 $
因此抛物线的函数解析式为$ y=-0.2x^2 + 3.5 $。
【答案】
$ y=-0.2x^2+3.5 $
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数实际应用
【点评】
本题属于二次函数基础应用题型，解题关键是结合坐标系和题意准确提取抛物线上的已知点，选择合适的解析式形式代入计算即可，解题时注意坐标计算不要出错。
【难度系数】
0.7
5.某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中的运行路线是抛物线$y=-x^2+4x$（单位：m）的一部分，求水喷出的最远水平距离.
答案
5.令 $y=0$,则 $-x^2+4x=0$,解得 $x=0$ 或 $x=4$,
抛物线与 $x$ 轴交于点$(0,0)$和$(4,0)$,$|4-0|=4$,
$\therefore$ 水喷出的最远水平距离是 $4$ m.
抛物线与 $x$ 轴交于点$(0,0)$和$(4,0)$,$|4-0|=4$,
$\therefore$ 水喷出的最远水平距离是 $4$ m.
解析
【分析】
要解决水喷出的最远水平距离问题，首先需明确实际量和函数变量的对应关系：x代表水平距离，y代表水的竖直高度，水平地面为x轴，因此水落地时高度y=0。出水点为原点(0,0)，水落地的位置对应抛物线与x轴的另一个交点，两个交点横坐标的差值就是最远水平距离。解题时先令y=0，求解对应的一元二次方程得到两个交点的横坐标，再计算横坐标的差即可。
【解析】
当水落到地面时，高度$y=0$，令$y=0$，则：
$-x^2+4x=0$
因式分解得$x(-x+4)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=4$
即抛物线与x轴交于点$(0,0)$和$(4,0)$，两点的水平距离为$|4-0|=4\ \mathrm{m}$
【答案】
$4\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的实际应用；抛物线与x轴的交点；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础实际应用题，核心是将实际场景中的物理量和函数的坐标变量建立对应关系，掌握通过令函数值为0求解抛物线与x轴交点的方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决水喷出的最远水平距离问题，首先需明确实际量和函数变量的对应关系：x代表水平距离，y代表水的竖直高度，水平地面为x轴，因此水落地时高度y=0。出水点为原点(0,0)，水落地的位置对应抛物线与x轴的另一个交点，两个交点横坐标的差值就是最远水平距离。解题时先令y=0，求解对应的一元二次方程得到两个交点的横坐标，再计算横坐标的差即可。
【解析】
当水落到地面时，高度$y=0$，令$y=0$，则：
$-x^2+4x=0$
因式分解得$x(-x+4)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=4$
即抛物线与x轴交于点$(0,0)$和$(4,0)$，两点的水平距离为$|4-0|=4\ \mathrm{m}$
【答案】
$4\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的实际应用；抛物线与x轴的交点；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础实际应用题，核心是将实际场景中的物理量和函数的坐标变量建立对应关系，掌握通过令函数值为0求解抛物线与x轴交点的方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
