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6.如果某型号飞机降落后滑行的距离$s$（单位：$\mathrm{m}$）关于滑行的时间$t$（单位：$\mathrm{s}$）的函数解析式是$s=54t-\frac{3}{2}t^2$，则该飞机着陆后到停下的滑行时间为（
A.$18\ \mathrm{s}$
B.$9\ \mathrm{s}$
C.$6\ \mathrm{s}$
D.$3.6\ \mathrm{s}$
A
）。A.$18\ \mathrm{s}$
B.$9\ \mathrm{s}$
C.$6\ \mathrm{s}$
D.$3.6\ \mathrm{s}$
答案
6.A
解析
【分析】首先明确飞机停下的状态：当飞机滑行距离最大时，速度降为0，即完全停下。题目给出的s与t的函数是开口向下的二次函数，其最大值对应飞机的最大滑行距离，此时对应的t值就是所求的滑行时间。解题时先确定二次函数的各项系数，再利用二次函数顶点横坐标的公式计算最值对应的t即可。
【解析】已知滑行距离的函数解析式为$s = 54t - \frac{3}{2}t^2$，整理为二次函数一般形式：$s = -\frac{3}{2}t^2 + 54t$。
其中二次项系数$a=-\frac{3}{2}＜0$，因此该函数图象是开口向下的抛物线，存在最大值，当s取最大值时，飞机滑行距离最远，刚好停下。
根据二次函数顶点横坐标公式，当$t = -\frac{b}{2a}$时，函数取得最值，这里一次项系数$b=54$，代入得：
$t = -\frac{54}{2×(-\frac{3}{2})} = \frac{54}{3} = 18(\mathrm{s})$
因此该飞机着陆后到停下的滑行时间为18s。
【答案】A
【知识点】二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数实际应用
【点评】本题将二次函数的知识与实际生活场景结合，解题的核心是理解“飞机停下”对应二次函数取得最大值的状态，只要熟练掌握二次函数顶点坐标的求解方法，就能快速得出结果。
【难度系数】0.8
【解析】已知滑行距离的函数解析式为$s = 54t - \frac{3}{2}t^2$，整理为二次函数一般形式：$s = -\frac{3}{2}t^2 + 54t$。
其中二次项系数$a=-\frac{3}{2}＜0$，因此该函数图象是开口向下的抛物线，存在最大值，当s取最大值时，飞机滑行距离最远，刚好停下。
根据二次函数顶点横坐标公式，当$t = -\frac{b}{2a}$时，函数取得最值，这里一次项系数$b=54$，代入得：
$t = -\frac{54}{2×(-\frac{3}{2})} = \frac{54}{3} = 18(\mathrm{s})$
因此该飞机着陆后到停下的滑行时间为18s。
【答案】A
【知识点】二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数实际应用
【点评】本题将二次函数的知识与实际生活场景结合，解题的核心是理解“飞机停下”对应二次函数取得最大值的状态，只要熟练掌握二次函数顶点坐标的求解方法，就能快速得出结果。
【难度系数】0.8
7.在某次测试中，小明掷出的实心球的飞行高度$y$(单位:m)与水平距离$x$(单位:m)之间的关系可以近似表达为$y=-\dfrac{1}{10}(x-3)^2+2.5$，则小明本次投掷实心球的成绩表达为
8 m
。答案
7.8 m
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确投掷实心球成绩的实际意义：当实心球落地时，飞行高度$y=0$，此时对应的正的水平距离$x$就是投掷成绩（负的水平距离不符合实际情况，需要舍去）。因此解题思路是令函数解析式中$y=0$，解关于$x$的一元二次方程，选取符合实际意义的正根即可。
【解析】
解：实心球落地时飞行高度为0，因此令$y=0$，代入解析式：
$0=-\dfrac{1}{10}(x-3)^2+2.5$
移项可得：
$\dfrac{1}{10}(x-3)^2=2.5$
两边同时乘10得：
$(x-3)^2=25$
开平方得：
$x-3=\pm5$
解得：$x_1=3+5=8$，$x_2=3-5=-2$
由于水平距离$x$不能为负数，不符合实际，因此舍去$x=-2$。
即小明本次投掷实心球的成绩为8 m。
【答案】
8 m
【知识点】
二次函数的实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用题，解题核心是结合实际场景明确函数值为0的意义，同时要注意对方程的根结合实际意义进行取舍，是对二次函数和一元二次方程基础知识的综合考查。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确投掷实心球成绩的实际意义：当实心球落地时，飞行高度$y=0$，此时对应的正的水平距离$x$就是投掷成绩（负的水平距离不符合实际情况，需要舍去）。因此解题思路是令函数解析式中$y=0$，解关于$x$的一元二次方程，选取符合实际意义的正根即可。
【解析】
解：实心球落地时飞行高度为0，因此令$y=0$，代入解析式：
$0=-\dfrac{1}{10}(x-3)^2+2.5$
移项可得：
$\dfrac{1}{10}(x-3)^2=2.5$
两边同时乘10得：
$(x-3)^2=25$
开平方得：
$x-3=\pm5$
解得：$x_1=3+5=8$，$x_2=3-5=-2$
由于水平距离$x$不能为负数，不符合实际，因此舍去$x=-2$。
即小明本次投掷实心球的成绩为8 m。
【答案】
8 m
【知识点】
二次函数的实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用题，解题核心是结合实际场景明确函数值为0的意义，同时要注意对方程的根结合实际意义进行取舍，是对二次函数和一元二次方程基础知识的综合考查。
【难度系数】
0.7
8.在排球比赛中,通常情况下,一名球员(二传手)在网前将球垫起来,球在本方球场的网前与球网平行的方向飞行,其飞行路线是抛物线的一部分,进攻队员跳起扣球.如图,球网的长AB为10 m,高OA为2.4 m,二传手在与边界O相距0.5 m处的点E传球,球(看成一个点)从点M处开始沿抛物线MHN飞行,点M的高度为1.8 m,球在水平方向飞行5 m后达到最大高度3.8 m.以点O为坐标原点,OE为x轴,OA为y轴,建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式.
(2)甲球员在距二传手2 m的点F处起跳扣快球,其最大扣球高度为3.10 m(只考虑在起跳点正上方扣球,不考虑起跳时间等因素),甲球员能否扣到球?
(3)若乙球员的最大扣球高度是3.4 m,而对方防守队员最大防守高度为3.2 m,乙球员应在距点O多远的范围内起跳,既能扣到球又避免对方拦网?(扣球处到防守处视为球高度不变,参考数据:$\sqrt{5}\approx2.24,\sqrt{30}\approx5.48$)
(1)求抛物线的解析式.
(2)甲球员在距二传手2 m的点F处起跳扣快球,其最大扣球高度为3.10 m(只考虑在起跳点正上方扣球,不考虑起跳时间等因素),甲球员能否扣到球?
(3)若乙球员的最大扣球高度是3.4 m,而对方防守队员最大防守高度为3.2 m,乙球员应在距点O多远的范围内起跳,既能扣到球又避免对方拦网?(扣球处到防守处视为球高度不变,参考数据:$\sqrt{5}\approx2.24,\sqrt{30}\approx5.48$)
答案
8.(1)设 $y=a(x-h)^2+k$,由顶点$(5.5,3.8)$得 $y=a(x-5.5)^2+3.8$,
代入点$(0.5,1.8)$得 $1.8=a(0.5-5.5)^2+3.8$,解得 $a=-\dfrac{2}{25}$,
$\therefore y=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8.$
(2)当 $x=2.5$ 时,$y=-\dfrac{2}{25}(2.5-5.5)^2+3.8=3.08$,
$\because 3.08＜3.10,\therefore$ 甲队员能扣到球.
(3)若乙队员的最大扣球高度是 $3.4$ m,而对方防守队员最大防守高度为 $3.2$ m,则扣球高度满足 $3.2＜y≤3.4.$
当 $y=3.4$ 时,$3.4=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$,解得 $x_1=5.5+\sqrt{5}\approx7.74,x_2=5.5-\sqrt{5}\approx3.26.$
当 $y=3.2$ 时,$3.2=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$,解得 $x_1=5.5+\dfrac{\sqrt{30}}{2}\approx8.24,x_2=5.5-\dfrac{\sqrt{30}}{2}\approx2.76.$
$\because a=-\dfrac{2}{25}＜0$,抛物线开口向下,$\therefore$ 当 $3.2＜y≤3.4$ 时,$2.76＜x≤3.26$ 或 $7.74≤ x＜8.24.$
$\therefore$ 乙球员在离边界 $O$ 点 $2.76＜x≤3.26$ 或 $7.74≤ x＜8.24$ 范围时起跳扣球,可扣球成功且避免对方拦网.
代入点$(0.5,1.8)$得 $1.8=a(0.5-5.5)^2+3.8$,解得 $a=-\dfrac{2}{25}$,
$\therefore y=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8.$
(2)当 $x=2.5$ 时,$y=-\dfrac{2}{25}(2.5-5.5)^2+3.8=3.08$,
$\because 3.08＜3.10,\therefore$ 甲队员能扣到球.
(3)若乙队员的最大扣球高度是 $3.4$ m,而对方防守队员最大防守高度为 $3.2$ m,则扣球高度满足 $3.2＜y≤3.4.$
当 $y=3.4$ 时,$3.4=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$,解得 $x_1=5.5+\sqrt{5}\approx7.74,x_2=5.5-\sqrt{5}\approx3.26.$
当 $y=3.2$ 时,$3.2=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$,解得 $x_1=5.5+\dfrac{\sqrt{30}}{2}\approx8.24,x_2=5.5-\dfrac{\sqrt{30}}{2}\approx2.76.$
$\because a=-\dfrac{2}{25}＜0$,抛物线开口向下,$\therefore$ 当 $3.2＜y≤3.4$ 时,$2.76＜x≤3.26$ 或 $7.74≤ x＜8.24.$
$\therefore$ 乙球员在离边界 $O$ 点 $2.76＜x≤3.26$ 或 $7.74≤ x＜8.24$ 范围时起跳扣球,可扣球成功且避免对方拦网.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线顶点坐标，优先选用顶点式求解。先确定顶点坐标：E点横坐标为0.5，球水平飞行5m达到最高点，因此顶点横坐标为$0.5+5=5.5$，纵坐标为最大高度3.8，即顶点为$(5.5,3.8)$；再将已知点$M(0.5,1.8)$代入顶点式即可求出参数$a$，得到解析式。
(2) 判断甲能否扣到球，先确定F点横坐标：E点横坐标为0.5，F距E2m，因此F的横坐标为$0.5+2=2.5$，将$x=2.5$代入解析式求出对应高度$y$，和甲的最大扣球高度3.10m比较，若$y≤3.10$则能扣到。
(3) 要同时满足扣到球（$y≤3.4$）和避免对方拦网（$y＞3.2$），即$3.2＜y≤3.4$。分别令$y=3.4$和$y=3.2$，解一元二次方程得到对应的$x$值，结合抛物线开口向下的性质，即可得到符合要求的$x$取值范围。
【解析】
(1) 设抛物线解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，由题意得抛物线顶点为$(5.5,3.8)$，因此解析式写为：
$y=a(x-5.5)^2+3.8$
将点$M(0.5,1.8)$代入上式：
$1.8=a(0.5-5.5)^2+3.8$
计算得$1.8=25a+3.8$，解得$a=-\dfrac{2}{25}$
因此抛物线解析式为：$y=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$
(2) 点F的横坐标为$0.5+2=2.5$，将$x=2.5$代入解析式：
$y=-\dfrac{2}{25}(2.5-5.5)^2+3.8=3.08$
$\because 3.08＜3.10$，$\therefore$ 甲球员能扣到球。
(3) 要满足要求，扣球高度需满足$3.2＜y≤3.4$：
① 当$y=3.4$时，代入解析式得：
$3.4=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$
整理得$(x-5.5)^2=5$，解得$x_1=5.5+\sqrt{5}\approx7.74$，$x_2=5.5-\sqrt{5}\approx3.26$
② 当$y=3.2$时，代入解析式得：
$3.2=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$
整理得$(x-5.5)^2=\dfrac{30}{4}$，解得$x_1=5.5+\dfrac{\sqrt{30}}{2}\approx8.24$，$x_2=5.5-\dfrac{\sqrt{30}}{2}\approx2.76$
$\because$ 抛物线开口向下，$\therefore$ 当$3.2＜y≤3.4$时，$x$的取值范围是$2.76＜x≤3.26$或$7.74≤x＜8.24$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8}$
(2) 甲球员能扣到球
(3) 乙球员应在距点O满足$\boldsymbol{2.76＜x≤3.26}$或$\boldsymbol{7.74≤x＜8.24}$的范围内起跳。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的实际应用；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合排球运动的实际场景，考查二次函数的建模与应用，需要学生从题意中提取有效坐标信息，灵活运用二次函数的性质、一元二次方程的解法求解，同时要结合实际意义确定取值范围，有效锻炼了学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线顶点坐标，优先选用顶点式求解。先确定顶点坐标：E点横坐标为0.5，球水平飞行5m达到最高点，因此顶点横坐标为$0.5+5=5.5$，纵坐标为最大高度3.8，即顶点为$(5.5,3.8)$；再将已知点$M(0.5,1.8)$代入顶点式即可求出参数$a$，得到解析式。
(2) 判断甲能否扣到球，先确定F点横坐标：E点横坐标为0.5，F距E2m，因此F的横坐标为$0.5+2=2.5$，将$x=2.5$代入解析式求出对应高度$y$，和甲的最大扣球高度3.10m比较，若$y≤3.10$则能扣到。
(3) 要同时满足扣到球（$y≤3.4$）和避免对方拦网（$y＞3.2$），即$3.2＜y≤3.4$。分别令$y=3.4$和$y=3.2$，解一元二次方程得到对应的$x$值，结合抛物线开口向下的性质，即可得到符合要求的$x$取值范围。
【解析】
(1) 设抛物线解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，由题意得抛物线顶点为$(5.5,3.8)$，因此解析式写为：
$y=a(x-5.5)^2+3.8$
将点$M(0.5,1.8)$代入上式：
$1.8=a(0.5-5.5)^2+3.8$
计算得$1.8=25a+3.8$，解得$a=-\dfrac{2}{25}$
因此抛物线解析式为：$y=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$
(2) 点F的横坐标为$0.5+2=2.5$，将$x=2.5$代入解析式：
$y=-\dfrac{2}{25}(2.5-5.5)^2+3.8=3.08$
$\because 3.08＜3.10$，$\therefore$ 甲球员能扣到球。
(3) 要满足要求，扣球高度需满足$3.2＜y≤3.4$：
① 当$y=3.4$时，代入解析式得：
$3.4=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$
整理得$(x-5.5)^2=5$，解得$x_1=5.5+\sqrt{5}\approx7.74$，$x_2=5.5-\sqrt{5}\approx3.26$
② 当$y=3.2$时，代入解析式得：
$3.2=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$
整理得$(x-5.5)^2=\dfrac{30}{4}$，解得$x_1=5.5+\dfrac{\sqrt{30}}{2}\approx8.24$，$x_2=5.5-\dfrac{\sqrt{30}}{2}\approx2.76$
$\because$ 抛物线开口向下，$\therefore$ 当$3.2＜y≤3.4$时，$x$的取值范围是$2.76＜x≤3.26$或$7.74≤x＜8.24$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8}$
(2) 甲球员能扣到球
(3) 乙球员应在距点O满足$\boldsymbol{2.76＜x≤3.26}$或$\boldsymbol{7.74≤x＜8.24}$的范围内起跳。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的实际应用；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合排球运动的实际场景，考查二次函数的建模与应用，需要学生从题意中提取有效坐标信息，灵活运用二次函数的性质、一元二次方程的解法求解，同时要结合实际意义确定取值范围，有效锻炼了学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
