10. 如图,在$△ ABC$中,若$CE=\frac{1}{3}BC=4$,$BD=\frac{1}{4}BC$,$CD$,$BE$是$△ ABC$的两条中线,则$△ ABC$的周长是 ()

A.22
B.26
C.35
D.45

10.B

【分析】
解题时先从已知条件$CE=\frac{1}{3}BC=4$出发，先计算出BC的长度，再根据$BD=\frac{1}{4}BC$算出BD的长度；接下来结合三角形中线的性质：三角形的中线连接顶点和对边中点，因此中线分对边为相等的两段，可分别求出AB、AC的长度，最后将三边相加即可得到$△ ABC$的周长。
【解析】
1. 计算BC的长度：
已知$CE=\frac{1}{3}BC=4$，因此$BC=4×3=12$。
2. 计算BD的长度：
已知$BD=\frac{1}{4}BC$，代入$BC=12$得$BD=\frac{1}{4}×12=3$。
3. 结合中线性质求AB、AC的长度：
∵BE是$△ ABC$的中线，
∴E是AC的中点，即$AC=2CE$，代入$CE=4$得$AC=2×4=8$；
∵CD是$△ ABC$的中线，
∴D是AB的中点，即$AB=2BD$，代入$BD=3$得$AB=2×3=6$。
4. 计算周长：
$△ ABC$的周长为$AB+BC+AC=6+12+8=26$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质，线段长度计算，三角形周长计算
【点评】
本题解题核心是掌握三角形中线的定义，能利用中线得到对边被平分的数量关系，再结合已知的线段比例关系依次求出各边长度即可，整体解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7

11. 如图，在$△ ABC$中，$D,E,F$分别是$BC$，$AD,CE$的中点，若$S_{△ ABC}=8$，则阴影部分$△ BEF$的面积等于（）


A.1
B.2
C.4
D.6

11.B

【分析】
本题可根据三角形中线的性质求解，三角形的中线能将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。解题时先利用D是BC中点，求出△ABD和△ACD的面积，再利用E是AD中点求出△BEC的面积，最后利用F是CE中点求出阴影部分△BEF的面积即可。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，根据中线性质可得$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵$S_{△ ABC}=8$，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×8=4$。
又
∵E是AD的中点，
∴BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线，
∴$S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×4=2$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×4=2$，
∴$S_{△ BEC}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=2+2=4$。
∵F是CE的中点，
∴BF是△BEC的中线，
∴$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BEC}=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的面积性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础类几何题，核心考查三角形中线的面积相关性质，解题时只要抓住“三角形中线将原三角形分为两个面积相等的小三角形”这一核心点，多次递推即可得到阴影部分的面积，是三角形面积类问题的常考题型。
【难度系数】
0.7

12.如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，若△ABC的周长是10 cm，则AE+CD+BF的长为cm.

12.5

【分析】
解题时先抓住已知条件“AD，BE，CF是△ABC的三条中线”，结合三角形中线的定义可知，中线会将三角形的对边平分为相等的两段，因此AE是AC的一半，CD是BC的一半，BF是AB的一半。由此可将所求的AE+CD+BF转化为三角形周长的一半，代入已知的周长数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵AD、BE、CF是△ABC的三条中线
∴点E是AC中点，点D是BC中点，点F是AB中点
∴$AE=\frac{1}{2}AC$，$CD=\frac{1}{2}BC$，$BF=\frac{1}{2}AB$
∴$AE+CD+BF=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AC+BC+AB)$
∵△ABC的周长为10cm，即$AC+BC+AB=10\mathrm{cm}$
∴$AE+CD+BF=\frac{1}{2}×10=5\mathrm{cm}$
【答案】
5
【知识点】
三角形中线的定义，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，核心是对三角形中线性质的运用，只要理解中线平分对边的特点，结合周长公式就能快速求解。
【难度系数】
0.8

13.(易错题)如图,在$△ ABC$中,$AD⊥ BC$,$CE⊥ AB$,垂足分别为$D$,$E$,$AD$与$CE$交于点$O$,连接$BO$并延长交$AC$于点$F$,若$AB=5$,$BC=4$,$AC=6$,则$CE:AD:BF$值为.

13.12 : 15 : 10

【分析】
要计算三条高的比值，可利用同一个三角形面积固定的特点求解。首先AD、CE分别是BC、AB边上的高，结合三角形三条高交于一点的性质，可知BF是AC边上的高，因此分别以三角形的三边为底，结合面积公式即可表示出三条高的长度，约去公共项后就能得到比值。
【解析】
设$△ ABC$的面积为$S$。
1. 由$AD⊥ BC$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得$S=\frac{1}{2}× BC× AD$，代入$BC=4$，可得$AD=\frac{2S}{BC}=\frac{2S}{4}=\frac{S}{2}$；
2. 由$CE⊥ AB$，同理得$S=\frac{1}{2}× AB× CE$，代入$AB=5$，可得$CE=\frac{2S}{AB}=\frac{2S}{5}$；
3. 因为三角形的三条高交于同一点，$AD$和$CE$的交点$O$是$△ ABC$的垂心，因此$BF$是$AC$边上的高，即$BF⊥ AC$，得$S=\frac{1}{2}× AC× BF$，代入$AC=6$，可得$BF=\frac{2S}{AC}=\frac{2S}{6}=\frac{S}{3}$；
4. 求比值：$CE:AD:BF=\frac{2S}{5}:\frac{S}{2}:\frac{S}{3}$，约去$S$后同时乘以30消去分母，得$(\frac{2}{5}×30):(\frac{1}{2}×30):(\frac{1}{3}×30)=12:15:10$。
【答案】
$12:15:10$
【知识点】
三角形面积公式，三角形高的性质，比的化简
【点评】
本题是易错题，解题的关键是灵活运用三角形面积的不变性，不需要求出高的具体数值，通过面积作为中间量即可得到各高的关系，易错点是部分学生忽略三角形三条高交于一点的性质，无法判断BF是AC边上的高，导致解题受阻。
【难度系数】
0.6

14. [分类讨论思想]在$△ ABC$中，$AB=AC$，$DB$为$△ ABC$的中线，且$BD$将$△ ABC$的周长分为$12\ \mathrm{cm}$与$15\ \mathrm{cm}$两部分，求$△ ABC$的各边长.

14.解:$\because DB$为$△ ABC$的中线，
$\therefore AD=CD$.
设$AD=CD=x$,则$AB=2x$.
如图,若$AB+AD=12\ \mathrm{cm}$,
则$2x+x=12$,
解得$x=4$,即$AD=CD=4\ \mathrm{cm}$,则$AB=8\ \mathrm{cm}$.
故$BC=15-4=11(\mathrm{cm})$.
此时$AB+AC＞BC$,三角形存在；
如图,若$AB+AD=15\ \mathrm{cm}$,
则$2x+x=15$,
解得$x=5$,即$AD=CD=5\ \mathrm{cm}$,
则$AB=10\ \mathrm{cm}$.
故$BC=12-5=7(\mathrm{cm})$.
此时$AB+BC＞AC$,三角形存在.
综上所述,$△ ABC$的三边长分别为$8\ \mathrm{cm},8\ \mathrm{cm},11\ \mathrm{cm}$或$10\ \mathrm{cm},10\ \mathrm{cm},7\ \mathrm{cm}$.

【分析】
解题时首先明确已知条件：△ABC是等腰三角形，AB=AC，BD是AC边上的中线，因此可得AD=CD，AC=2AD。题目仅说明BD将周长分为12cm和15cm两部分，未明确哪部分对应AB+AD的和，因此需要分两种情况分类讨论：①AB+AD=12cm，BC+CD=15cm；②AB+AD=15cm，BC+CD=12cm。分别求出两种情况的三边长后，还需要根据三角形三边关系验证三边能否构成三角形，舍去不符合要求的解，最终得到正确结果。
【解析】
∵ DB为△ABC的中线，
∴ AD=CD。
设AD=CD=x，则AB=AC=2x。
如图，若AB+AD=12 cm，
则2x+x=12，
解得x=4，即AD=CD=4 cm，则AB=AC=8 cm。
故BC=15-4=11(cm)。
此时AB+AC=16 cm＞11 cm=BC，满足三角形三边关系，三角形存在；
如图，若AB+AD=15 cm，
则2x+x=15，
解得x=5，即AD=CD=5 cm，
则AB=AC=10 cm。
故BC=12-5=7(cm)。
此时AB+BC=17 cm＞10 cm=AC，满足三角形三边关系，三角形存在。
【答案】
△ABC的三边长分别为$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm},8\ \mathrm{cm},11\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{10\ \mathrm{cm},10\ \mathrm{cm},7\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
等腰三角形性质，三角形中线定义，三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需注意题干未明确两部分周长的对应关系，切勿漏解；同时算出边长后要验证三边关系，排除不能构成三角形的错误情况，保证解的合理性。
【难度系数】
0.65

15.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=8$,$P$是$BC$上任意一点,$PD⊥ AB$于点$D$,$PE⊥ AC$于点$E$.若$△ ABC$的面积为14,问:$PD+PE$的值是定值吗?若是,求出$PD+PE$的值;若不是,请说明理由.

15.解:是定值.
连接$AP$.
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP}=\frac{1}{2}AB· PD+\frac{1}{2}AC· PE$,
$S_{△ ABC}=14,AB=AC=8$,
$\therefore 14=\frac{1}{2}×8× PD+\frac{1}{2}×8× PE$,
$\therefore PD+PE=\frac{7}{2}$.
$\therefore PD+PE$为定值,其值为$\frac{7}{2}$.

【分析】
要判断PD+PE是否为定值，可结合已知的垂直条件和三角形面积关系思考：PD是△ABP中AB边上的高，PE是△ACP中AC边上的高，我们可以连接AP，把△ABC分割为△ABP和△ACP两个小三角形，两个小三角形的面积之和等于△ABC的面积，再代入AB、AC的长度和△ABC的面积，就能推导出PD+PE的数值，判断其是否和P的位置无关即可。
【解析】
PD+PE是定值，求解过程如下：
连接$AP$，
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP}$，
其中$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AB· PD$，$S_{△ ACP}=\frac{1}{2}AC· PE$，
又已知$S_{△ ABC}=14$，$AB=AC=8$，
代入面积关系得：$14=\frac{1}{2}×8× PD+\frac{1}{2}×8× PE$，
整理得$4(PD+PE)=14$，
$\therefore PD+PE=\frac{7}{2}$。
【答案】
$PD+PE$是定值，其值为$\frac{7}{2}$。
【知识点】
三角形面积计算；等面积法；割补法求面积
【点评】
本题是等腰三角形中常见的线段和定值问题，解题核心是通过作辅助线分割三角形，利用面积和建立等量关系，巧妙避开了P点位置的不确定性，是等面积法的典型应用。
【难度系数】
0.7