三、解答题(共56分)
17.「★☆」(8分)已知抛物线$y=x^2+2x-3$.
(1)求抛物线的顶点坐标.
(2)将该抛物线向右平移$m(m＞0)$个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求$m$的值.

(1)$\because y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$,
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(-1,-4)$.
(2)该抛物线向右平移$m(m＞0)$个单位长度,得到的新抛物线对应的函数表达式为$y=(x+1-m)^2-4$,
$\because$ 新抛物线经过原点,$\therefore 0=(0+1-m)^2-4$,
解得$m=3$或$m=-1$(舍去),故m的值为3.

18.「2026甘肃武威十中期末，★★☆」(8分)如图,已知抛物线$y=ax^2+x+c(a≠0)$与x轴交于点$A(-2,0)$,点B,与y轴交于点$C(0,3)$.
(1)求抛物线的表达式.
(2)在抛物线上是否存在一点G,使得$S_{△ ABG}=12$?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)由题意可得$\begin{cases}4a-2+c=0,\\c=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{4},\\c=3.\end{cases}$
故抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+x+3$.
(2)存在.
令$-\frac{1}{4}x^2+x+3=0$,解得$x_1=6$,$x_2=-2$,
$\because$ 点B在x轴正半轴上,$\therefore$ 点B的坐标为$(6,0)$,
$\therefore AB=6-(-2)=8$,
假设存在点G,令G点坐标为$(x_G,y_G)$,
$\because S_{△ ABG}=\frac{1}{2}× AB×|y_G|=\frac{1}{2}×8×|y_G|=12$,$\therefore |y_G|=3$,
当$-\frac{1}{4}x_G^2+x_G+3=3$时,解得$x_G=0$或$x_G=4$,
当$-\frac{1}{4}x_G^2+x_G+3=-3$时,解得$x_G=2\sqrt{7}+2$或$x_G=-2\sqrt{7}+2$,
$\therefore$ 存在G点,坐标为$(0,3)$或$(4,3)$或$(2\sqrt{7}+2,-3)$或$(-2\sqrt{7}+2,-3)$.

19.「2026北京师达中学月考，★★☆」(9分)二次函数$y=ax^2+bx+c$($a,b,c$是常数，$a≠0$)的自变量$x$与函数值$y$的部分对应值如下表：
| $x$ | … | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=ax^2+bx+c$ | … | $\frac{5}{2}$ | | $\frac{9}{2}$ | $4$ | $m$ | … |
根据以上信息，解决下列问题：
(1)直接写出$c,m$的值.
(2)求此二次函数的表达式.
(3)直接写出当$-2≤x＜1$时，$y$的取值范围.

(1)$c=4$,$m=\frac{5}{2}$.
详解:将$x=0$代入,得$c=4$,
由表格易知抛物线对称轴为直线$x=\frac{-2+0}{2}=-1$,
$\therefore x=1$和$x=-3$时的函数值相等,
$\therefore m=\frac{5}{2}$.
(2)由(1)得$c=4$,$\therefore y=ax^2+bx+4$,
将$(-3,\frac{5}{2})$,$(-1,\frac{9}{2})$代入$y=ax^2+bx+4$,
得$\begin{cases}\frac{5}{2}=9a-3b+4,\\\frac{9}{2}=a-b+4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2},\\b=-1,\end{cases}$
$\therefore y=-\frac{1}{2}x^2-x+4$.
(3)$\frac{5}{2}＜y≤\frac{9}{2}$.
详解:$\because a=-\frac{1}{2}＜0$,$\therefore$ 抛物线开口向下,
则当$x=-1$时,函数取得最大值,为$\frac{9}{2}$,
由(1)得$m=\frac{5}{2}$,
$\therefore$ 当$-2≤ x＜1$时,y的取值范围为$\frac{5}{2}＜y≤\frac{9}{2}$.