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二、填空题(每小题4分,共24分)
11. 学科特色易错题「2026四川成都金牛实验中学期中，★☆」若函数$y=(k-2)x^{|k|}+3x+1$是关于x的二次函数，则k的值为
11. 学科特色易错题「2026四川成都金牛实验中学期中，★☆」若函数$y=(k-2)x^{|k|}+3x+1$是关于x的二次函数，则k的值为
-2
。答案
答案 -2
解析 $\because$ 函数$y=(k-2)x^{|k|}+3x+1$是关于x的二次函数,
$\therefore |k|=2$,且$k-2≠0$,解得$k=-2$.故答案为-2.
易错警示 易忽视二次项系数不为0这个隐含条件.
解析 $\because$ 函数$y=(k-2)x^{|k|}+3x+1$是关于x的二次函数,
$\therefore |k|=2$,且$k-2≠0$,解得$k=-2$.故答案为-2.
易错警示 易忽视二次项系数不为0这个隐含条件.
12.「2026山东威海期中，★★☆」函数$y=kx^2 -6x +3$的图象与x轴只有一个交点，则k的值为
0或3
.答案
答案 0或3
解析 若$k=0$,则$y=-6x+3$,是一次函数,与x轴只有一个交点,满足题意;若$k≠0$,则$y=kx^2-6x+3$是二次函数,当函数图象与x轴只有一个交点时,$b^2-4ac=36-12k=0$,解得$k=3$.综上,$k=0$或3.
解析 若$k=0$,则$y=-6x+3$,是一次函数,与x轴只有一个交点,满足题意;若$k≠0$,则$y=kx^2-6x+3$是二次函数,当函数图象与x轴只有一个交点时,$b^2-4ac=36-12k=0$,解得$k=3$.综上,$k=0$或3.
13.「2026湖南花垣期中，★★☆」若二次函数$y=3x^2+bx+c$的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程$3x^2+bx+c=0$的一个解$x_1=3$，则另一个解$x_2=$
-1
。答案
答案 -1
解析 $\because$ 二次函数$y=3x^2+bx+c$图象的对称轴为直线$x=1$,关于x的一元二次方程$3x^2+bx+c=0$的一个解$x_1=3$,另一个解为$x_2$,$\therefore 3+x_2=2×1$,$\therefore x_2=-1$.故答案为-1.
解析 $\because$ 二次函数$y=3x^2+bx+c$图象的对称轴为直线$x=1$,关于x的一元二次方程$3x^2+bx+c=0$的一个解$x_1=3$,另一个解为$x_2$,$\therefore 3+x_2=2×1$,$\therefore x_2=-1$.故答案为-1.
14.「2026辽宁沈阳沈北期末，★★☆」湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥(如图①)，按如图②所示方式建立平面直角坐标系，得到抛物线表达式为$y=-\dfrac{1}{72}x^2$，正常水位时水面宽AB为24 m，当水位上升1.5 m时水面宽CD为
12
m.答案
答案 12
解析 当$x=-\frac{24}{2}=-12$时,$y=-\frac{1}{72}×(-12)^2=-2$,当水位上升1.5 m时,$y=-2+1.5=-0.5$,则$-0.5=-\frac{1}{72}x^2$,解得$x=6$或$x=-6$,$\therefore$水面宽CD为$6-(-6)=12(\mathrm{m})$.故答案为12.
解析 当$x=-\frac{24}{2}=-12$时,$y=-\frac{1}{72}×(-12)^2=-2$,当水位上升1.5 m时,$y=-2+1.5=-0.5$,则$-0.5=-\frac{1}{72}x^2$,解得$x=6$或$x=-6$,$\therefore$水面宽CD为$6-(-6)=12(\mathrm{m})$.故答案为12.
15.「2026江苏徐州期中，★★」如图所示的是二次函数$y=ax^2+bx+c$图象的一部分，其对称轴为直线$x=-1$，且过点$(-3,0)$。下列说法：①$abc＜0$；②$2a-b=0$；③$4a+2b+c＜0$；④若点$(-5,y_1)$，$(\dfrac{5}{2},y_2)$是抛物线上两点，则$y_1＞y_2$。其中说法正确的是
①②④
(填序号)。答案
答案 ①②④
解析 ①$\because$二次函数的图象开口向上,$\therefore a＞0$,
$\because$二次函数的图象与y轴的负半轴相交,$\therefore c＜0$,
$\because$对称轴是直线$x=-1$,$\therefore -\frac{b}{2a}=-1$,$\therefore b=2a＞0$,
$\therefore abc＜0$,故①正确;
②$\because b=2a$,$\therefore 2a-b=0$,故②正确;
③$\because$抛物线的对称轴为直线$x=-1$,且过点$(-3,0)$,
$\therefore$抛物线与x轴另一交点为$(1,0)$,
$\because$当$x＞-1$时,y随x的增大而增大,
$\therefore$当$x=2$时,$y＞0$,即$4a+2b+c＞0$,
故③错误;
④$\because$点$(-5,y_1)$关于直线$x=-1$的对称点的坐标是$(3,y_1)$,当$x＞-1$时,y随x的增大而增大,$3＞\frac{5}{2}$,$\therefore y_1＞y_2$,故④正确.
故答案为①②④.
解析 ①$\because$二次函数的图象开口向上,$\therefore a＞0$,
$\because$二次函数的图象与y轴的负半轴相交,$\therefore c＜0$,
$\because$对称轴是直线$x=-1$,$\therefore -\frac{b}{2a}=-1$,$\therefore b=2a＞0$,
$\therefore abc＜0$,故①正确;
②$\because b=2a$,$\therefore 2a-b=0$,故②正确;
③$\because$抛物线的对称轴为直线$x=-1$,且过点$(-3,0)$,
$\therefore$抛物线与x轴另一交点为$(1,0)$,
$\because$当$x＞-1$时,y随x的增大而增大,
$\therefore$当$x=2$时,$y＞0$,即$4a+2b+c＞0$,
故③错误;
④$\because$点$(-5,y_1)$关于直线$x=-1$的对称点的坐标是$(3,y_1)$,当$x＞-1$时,y随x的增大而增大,$3＞\frac{5}{2}$,$\therefore y_1＞y_2$,故④正确.
故答案为①②④.
16. 学科特色将军饮马模型「2026浙江嘉兴月考，★★★」如图，抛物线$y=-x^2+2x+3$与x轴分别交于A,B两点，与y轴交于点C，PQ为抛物线对称轴上的线段，且$PQ=2$，则四边形ACPQ周长的最小值为
$2+2\sqrt{10}$
。答案
答案 $2+2\sqrt{10}$
解析 对于$y=-x^2+2x+3$,当$x=0$时,$y=3$,即点$C(0,3)$,
令$-x^2+2x+3=0$,解得$x=3$或-1,即点A的坐标为$(-1,0)$,点B的坐标为$(3,0)$,抛物线的对称轴为直线$x=1$,
作点C关于抛物线对称轴的对称点$D(2,3)$,连接PD,将点D向下平移2个单位得到点$E(2,1)$,
连接QE,AE,AE交抛物线对称轴于点$Q'$,将点$Q'$向上平移2个单位得到点$P'$,连接$CP'$,$DP'$,当点P位于点$P'$,点Q位于点$Q'$时,四边形ACPQ的周长最小,
$\because DE// PQ$且$DE=PQ$,
$\therefore$四边形DEQP为平行四边形,$\therefore PD=QE$,
由抛物线的对称性知,$PC=DP$,
则四边形ACPQ周长的最小值$=AC+PQ+CP+AQ=AC+PQ+QE+AQ=AC+PQ+AE=\sqrt{1^2+3^2}+2+\sqrt{(-1-2)^2+(1-0)^2}=2+2\sqrt{10}$.故答案为$2+2\sqrt{10}$.
