七、(本题满分16分)
20. 如图,有两个可以自由转动的均匀转盘A,B.每个转盘被平均分成3个区域并标有数字,转动转盘指针都会等可能地指向每个区域.分别转动转盘A和转盘B各一次.将转盘A上的数字记为x,转盘B上的数字记为y.
(1)当转动转盘A时,指针指向数字1所在区域的概率为;
(2)求点$(x,y)$恰好为一次函数$y=x+1$图象上的点的概率.
(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)

(1)$\frac{1}{3}$ 解析:
∵ 转盘A被平均分成三等份,
∴ 当转动转盘A时,指针指向数字1所在区域的概率为$\frac{1}{3}$.
(2)依题意,列表为
| x\y | 1 | 2 | 3 |
|----|----|----|----|
| 2 | (1,2) | (2,2) | (3,2) |
| 3 | (1,3) | (2,3) | (3,3) |
| 4 | (1,4) | (2,4) | (3,4) |
共有9种等可能的结果,其中(1,2),(2,3),(3,4)在一次函数y=x+1图象上,
∴ 点(x,y)恰好为一次函数y=x+1图象上的点的概率为$\frac{3}{9}$=$\frac{1}{3}$.

【分析】
(1) 转动转盘A时，所有等可能的结果共3种，指针指向数字1的结果只有1种，根据概率公式“概率=所求情况数与总情况数之比”，可直接计算结果。
(2) 该题为两步随机试验，可通过列表法枚举出转动两个转盘得到的所有等可能的$(x,y)$组合，再筛选出满足一次函数解析式$y=x+1$的组合数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
(1)
∵ 转盘A被平均分成3个等份，转动转盘A时指向每个区域的可能性相等，指向数字1的情况有1种，
∴ 指针指向数字1所在区域的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 依题意，$x$的可能取值为1、2、3，$y$的可能取值为2、3、4，列表如下：
| $x \setminus y$ | 2 | 3 | 4 |
|-------|---|---|---|
| 1 | $(1,2)$ | $(1,3)$ | $(1,4)$ |
| 2 | $(2,2)$ | $(2,3)$ | $(2,4)$ |
| 3 | $(3,2)$ | $(3,3)$ | $(3,4)$ |
由表可知，共有9种等可能的结果，其中满足一次函数$y=x+1$的点有$(1,2)$、$(2,3)$、$(3,4)$，共3种结果，
∴ $P(\mathrm{点在}y=x+1\mathrm{图象上})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
概率公式；列表法求概率；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是概率与一次函数的综合题，解题关键是用列表法或树状图法不重不漏地列出所有等可能的结果，再结合条件筛选符合要求的结果，最后代入概率公式计算即可。
【难度系数】
0.7

八、(本题满分18分)
21. 某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖规则如下:
1. 抽奖方案有以下两种:
方案A,从装有1个红球、2个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出1个球,若是红球,则获得奖金15元,否则,没有奖金,兑奖后将摸出的球放回甲袋中;
方案B,从装有2个红球、1个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出1个球,若是红球,则获得奖金10元,否则,没有奖金,兑奖后将摸出的球放回乙袋中.
2. 抽奖条件:
顾客购买商品的金额每满100元,可根据方案A抽奖一次:每满150元,可根据方案B抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为310元,则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种,根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A,B各抽奖一次).
已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元.
(1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖,求其所获奖金为15元的概率.
(2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据,应采用哪种方式抽奖更合算?并说明理由.

(1)由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元,只选择方案A进行抽奖,因此可以抽2次,由抽奖规则可知,两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元,从1个红球,2个白球中有放回地抽2次,所有可能出现的结果情况如下:
| 第1次\第2次 | 红 | 白1 | 白2 |
|----|----|----|----|
| 红 | 红红 | 白1红 | 白2红 |
| 白1 | 红白1 | 白1白1 | 白2白1 |
| 白2 | 红白2 | 白1白2 | 白2白2 |
共有9种等可能出现的结果,其中一红一白可获奖金15元的有4种,所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖,获奖金为15元的概率为$\frac{4}{9}$.
(2)①由(1)可得,只选择方案A,抽奖两次,获得15元的概率为$\frac{4}{9}$,获得30元(两次都是红球)的概率为$\frac{1}{9}$,两次都不获奖的概率为$\frac{4}{9}$,所以只选择方案A获得奖金的平均值为$15×\frac{4}{9}+30×\frac{1}{9}$=10(元).
②只选择方案B,则只能摸奖一次,摸到红球的概率为$\frac{2}{3}$,因此获得奖金的平均值为$10×\frac{2}{3}≈6.7$(元).
③选择方案A一次,方案B一次,所获奖金的平均值为$15×\frac{1}{3}+10×\frac{2}{3}≈11.7$(元).
因为11.7＞10＞6.7,所以选择方案A、方案B各抽奖一次的方案,更为合算.

【分析】
(1) 首先根据消费金额250元和方案A的抽奖规则（每满100元抽1次），确定可抽奖2次；所获奖金为15元意味着2次摸球恰好1次摸到红球、1次摸到白球。由于是有放回摸球，所有结果是等可能的，用列表法列出所有可能结果，统计符合条件的结果数，根据概率公式“概率=符合条件的结果数/总等可能结果数”计算即可。
(2) 首先梳理250元对应的所有可行抽奖方案：①只选方案A抽2次；②只选方案B抽1次；③选方案A、B各抽1次。分别计算三种方案下的奖金平均值（即每种奖金金额乘以对应概率再求和），比较三个平均值的大小，选择平均值最高的方案即为更合算的方案。
【解析】
(1) 顾客消费250元，仅选择方案A抽奖时，可抽奖次数为2次。
甲袋有1个红球、2个白球，有放回摸2次，所有等可能结果列表如下：
| 第1次\第2次 | 红 | 白1 | 白2 |
|----|----|----|----|
| 红 | 红红 | 红白1 | 红白2 |
| 白1 | 白1红 | 白1白1 | 白1白2 |
| 白2 | 白2红 | 白2白1 | 白2白2 |
总共有9种等可能的结果，其中恰好1次红、1次白（对应奖金15元）的结果有4种，
因此所获奖金为15元的概率$P=\frac{4}{9}$。
(2) 250元对应的抽奖方案共3种，分别计算各方案的奖金平均值：
① 仅选方案A抽2次：
获得0元（两次均为白球）的概率为$\frac{4}{9}$，获得15元（一红一白）的概率为$\frac{4}{9}$，获得30元（两次均为红球）的概率为$\frac{1}{9}$，
奖金平均值$=0×\frac{4}{9}+15×\frac{4}{9}+30×\frac{1}{9}=10$元。
② 仅选方案B抽1次：
乙袋有2个红球、1个白球，摸到红球得10元，概率为$\frac{2}{3}$，摸到白球得0元，概率为$\frac{1}{3}$，
奖金平均值$=10×\frac{2}{3}+0×\frac{1}{3}=\frac{20}{3}≈6.7$元。
③ 选方案A、B各抽1次：
方案A得15元的概率为$\frac{1}{3}$，得0元的概率为$\frac{2}{3}$；方案B得10元的概率为$\frac{2}{3}$，得0元的概率为$\frac{1}{3}$，两次抽奖相互独立，
奖金平均值$=15×\frac{1}{3}+10×\frac{2}{3}=\frac{35}{3}≈11.7$元。
比较三个平均值：$11.7＞10＞6.7$，因此选择方案A、B各抽奖一次更合算。
【答案】
(1) $\frac{4}{9}$
(2) 选择方案A、方案B各抽奖一次更合算。
【知识点】
1. 列表法求概率
2. 加权平均数计算
3. 最优方案决策
【点评】
本题结合实际促销抽奖场景命题，既考查了概率的基础计算，也要求学生梳理所有可行方案后通过计算比较做出决策，解题时需注意摸球为有放回操作，保证每次摸球的概率不变，不要漏算可行的抽奖方案。
【难度系数】
0.7