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三角形三边的关系：三角形两边的和
大于
第三边，三角形两边的差小于
第三边。答案
大于 小于
解析
【分析】
解题时先回忆三角形三边关系的推导逻辑：我们知道两点之间线段最短，把三角形的两个顶点看作端点，连接这两个点的边是线段，另外两边的和是这两点之间的折线长度，折线长度一定大于线段长度，就能推出两边之和与第三边的关系；再对两边之和大于第三边的不等式做简单移项变形，就能得到两边之差与第三边的关系，对应填出结论即可。
【解析】
设三角形的三边长分别为$a$、$b$、$c$：
1. 根据“两点之间，线段最短”的基本事实，连接三角形任意两个顶点的边的长度，一定小于另外两边长度的和，即$a+b＞c$、$a+c＞b$、$b+c＞a$，因此三角形两边的和大于第三边；
2. 对上述不等式移项可得$c-b＜a$、$c-a＜b$、$b-a＜c$等结论，即任意两边的差都小于第三边。
因此两个空依次填入对应结论即可。
【答案】
大于 小于
【知识点】
三角形三边关系、线段的基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的基础概念考查题，属于识记类考点，熟练掌握该结论是解决三角形边长取值范围、边长合理性判断等相关题型的前提。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆三角形三边关系的推导逻辑：我们知道两点之间线段最短，把三角形的两个顶点看作端点，连接这两个点的边是线段，另外两边的和是这两点之间的折线长度，折线长度一定大于线段长度，就能推出两边之和与第三边的关系；再对两边之和大于第三边的不等式做简单移项变形，就能得到两边之差与第三边的关系，对应填出结论即可。
【解析】
设三角形的三边长分别为$a$、$b$、$c$：
1. 根据“两点之间，线段最短”的基本事实，连接三角形任意两个顶点的边的长度，一定小于另外两边长度的和，即$a+b＞c$、$a+c＞b$、$b+c＞a$，因此三角形两边的和大于第三边；
2. 对上述不等式移项可得$c-b＜a$、$c-a＜b$、$b-a＜c$等结论，即任意两边的差都小于第三边。
因此两个空依次填入对应结论即可。
【答案】
大于 小于
【知识点】
三角形三边关系、线段的基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的基础概念考查题，属于识记类考点，熟练掌握该结论是解决三角形边长取值范围、边长合理性判断等相关题型的前提。
【难度系数】
0.9
1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（
A.2，3，5
B.3，5，9
C.2，5，5
D.5，12，7
C
）。A.2，3，5
B.3，5，9
C.2，5，5
D.5，12，7
答案
1.C
解析
【分析】
要判断三条线段能否组成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，无需逐一验证三组边的和，只需将两条较短的线段长度相加，若其和大于最长线段的长度，就说明这三条线段满足三边关系，可以组成三角形，反之则不能，接下来用这个方法逐一验证四个选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系，采用简便判断方法：比较两条短边之和与最长边的大小。
选项A：三条线段长为2、3、5，最长边为5，$2+3=5$，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
选项B：三条线段长为3、5、9，最长边为9，$3+5=8＜9$，不满足条件，不能组成三角形；
选项C：三条线段长为2、5、5，最长边为5，$2+5=7＞5$，满足三边关系，可以组成三角形；
选项D：三条线段长为5、12、7，最长边为12，$5+7=12$，不满足条件，不能组成三角形。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于三角形三边关系的基础应用题型，掌握“两条短边之和大于最长边”的简便判断方法，可快速得出结果，是三角形模块的常见基础考题。
【难度系数】
0.9
要判断三条线段能否组成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，无需逐一验证三组边的和，只需将两条较短的线段长度相加，若其和大于最长线段的长度，就说明这三条线段满足三边关系，可以组成三角形，反之则不能，接下来用这个方法逐一验证四个选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系，采用简便判断方法：比较两条短边之和与最长边的大小。
选项A：三条线段长为2、3、5，最长边为5，$2+3=5$，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
选项B：三条线段长为3、5、9，最长边为9，$3+5=8＜9$，不满足条件，不能组成三角形；
选项C：三条线段长为2、5、5，最长边为5，$2+5=7＞5$，满足三边关系，可以组成三角形；
选项D：三条线段长为5、12、7，最长边为12，$5+7=12$，不满足条件，不能组成三角形。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于三角形三边关系的基础应用题型，掌握“两条短边之和大于最长边”的简便判断方法，可快速得出结果，是三角形模块的常见基础考题。
【难度系数】
0.9
2. 有长度分别是4 cm、5 cm、8 cm和9 cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）个三角形。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2.C
解析
【分析】
解决这道题的核心是掌握三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，实际判断时可简化为：较短两条边的长度和大于最长边的长度（因为最长边加任意一条短边一定大于另一条短边，无需重复验证）。解题分三步进行：第一步，列举从4根小棒中任选3根的所有组合，4根选3根等价于每次排除1根，共4种组合，可保证不重不漏；第二步，对每个组合用简化的三边关系判断能否构成三角形；第三步，统计符合条件的组合数即可得到答案。
【解析】
首先列出所有任选3根小棒的组合，共4种，逐一判断：
1. 组合：4cm、5cm、8cm，最长边为8cm，较短两边之和为4+5=9cm，9cm＞8cm，满足三角形三边关系，可围成三角形；
2. 组合：4cm、5cm、9cm，最长边为9cm，较短两边之和为4+5=9cm，9cm=9cm，不满足两边之和大于第三边，不可围成三角形；
3. 组合：4cm、8cm、9cm，最长边为9cm，较短两边之和为4+8=12cm，12cm＞9cm，满足三角形三边关系，可围成三角形；
4. 组合：5cm、8cm、9cm，最长边为9cm，较短两边之和为5+8=13cm，13cm＞9cm，满足三角形三边关系，可围成三角形。
综上，能围成三角形的组合共有3个，答案选C。
【答案】C
【知识点】1.三角形三边关系 2.分类枚举
【点评】
这道题是三角形三边关系的典型应用题，解题时要注意先完整列出所有组合，再用简便判断方法验证，需特别注意两边之和等于第三边的情况无法构成三角形，避免漏判或错判。
【难度系数】0.7
解决这道题的核心是掌握三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，实际判断时可简化为：较短两条边的长度和大于最长边的长度（因为最长边加任意一条短边一定大于另一条短边，无需重复验证）。解题分三步进行：第一步，列举从4根小棒中任选3根的所有组合，4根选3根等价于每次排除1根，共4种组合，可保证不重不漏；第二步，对每个组合用简化的三边关系判断能否构成三角形；第三步，统计符合条件的组合数即可得到答案。
【解析】
首先列出所有任选3根小棒的组合，共4种，逐一判断：
1. 组合：4cm、5cm、8cm，最长边为8cm，较短两边之和为4+5=9cm，9cm＞8cm，满足三角形三边关系，可围成三角形；
2. 组合：4cm、5cm、9cm，最长边为9cm，较短两边之和为4+5=9cm，9cm=9cm，不满足两边之和大于第三边，不可围成三角形；
3. 组合：4cm、8cm、9cm，最长边为9cm，较短两边之和为4+8=12cm，12cm＞9cm，满足三角形三边关系，可围成三角形；
4. 组合：5cm、8cm、9cm，最长边为9cm，较短两边之和为5+8=13cm，13cm＞9cm，满足三角形三边关系，可围成三角形。
综上，能围成三角形的组合共有3个，答案选C。
【答案】C
【知识点】1.三角形三边关系 2.分类枚举
【点评】
这道题是三角形三边关系的典型应用题，解题时要注意先完整列出所有组合，再用简便判断方法验证，需特别注意两边之和等于第三边的情况无法构成三角形，避免漏判或错判。
【难度系数】0.7
3. 如图13.2-1，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做所蕴含的数学原理是（
A.三角形的稳定性
B.两点确定一条直线
C.垂线段最短
D.两点之间线段最短
A
）。A.三角形的稳定性
B.两点确定一条直线
C.垂线段最短
D.两点之间线段最短
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先观察人字梯加拉杆后的结构特征：拉杆和人字梯的两个梯腿会共同围成三角形结构，再逐一辨析各选项对应的几何原理的适用场景：B选项“两点确定一条直线”多用于固定直杆类场景，C选项“垂线段最短”多用于求点到直线的最短距离的场景，D选项“两点之间线段最短”多用于求最短路径的场景，只有三角形的稳定性能够让结构更稳固不易变形，符合人字梯加拉杆的设计目的，即可锁定答案。
【解析】
人字梯中间设计“拉杆”后，拉杆与两个梯腿共同构成三角形结构，三角形具有稳定性的特性，能让梯子使用时更稳固、不易变形。
其余选项均不符合题意：B选项“两点确定一条直线”与结构稳固无关；C选项“垂线段最短”是点到直线的距离相关性质，和本题场景无关；D选项“两点之间线段最短”是路径长度相关性质，不符合设计原理。因此选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活中的常见物品考查几何基本性质的应用，能帮助学生理解数学知识在实际生活中的用处，只要明确各几何性质的适用场景就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察人字梯加拉杆后的结构特征：拉杆和人字梯的两个梯腿会共同围成三角形结构，再逐一辨析各选项对应的几何原理的适用场景：B选项“两点确定一条直线”多用于固定直杆类场景，C选项“垂线段最短”多用于求点到直线的最短距离的场景，D选项“两点之间线段最短”多用于求最短路径的场景，只有三角形的稳定性能够让结构更稳固不易变形，符合人字梯加拉杆的设计目的，即可锁定答案。
【解析】
人字梯中间设计“拉杆”后，拉杆与两个梯腿共同构成三角形结构，三角形具有稳定性的特性，能让梯子使用时更稳固、不易变形。
其余选项均不符合题意：B选项“两点确定一条直线”与结构稳固无关；C选项“垂线段最短”是点到直线的距离相关性质，和本题场景无关；D选项“两点之间线段最短”是路径长度相关性质，不符合设计原理。因此选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活中的常见物品考查几何基本性质的应用，能帮助学生理解数学知识在实际生活中的用处，只要明确各几何性质的适用场景就能快速解题。
【难度系数】
0.9
4. 如图13.2-2，$△ ABC$被木板遮住了一部分，其中$AB=6$，则$AC+BC$的值不可能是（
A.11
B.9
C.7
D.5
D
）。A.11
B.9
C.7
D.5
答案
4.D
解析
【分析】
要判断AC+BC不可能的值，需结合三角形三边的关系推导AC+BC的取值范围。首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。在△ABC中，AB是已知边，长度为6，因此AC与BC的和必然大于AB的长度，由此即可判断选项中不符合该范围的数值。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。
在△ABC中，可得：$AC + BC ＞ AB$
已知$AB=6$，因此$AC + BC ＞ 6$。
逐一判断选项：
A. $11＞6$，符合要求；
B. $9＞6$，符合要求；
C. $7＞6$，符合要求；
D. $5＜6$，不符合要求。
因此AC+BC的值不可能是5。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形三边关系的直接应用，只要掌握“三角形两边之和大于第三边”的性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断AC+BC不可能的值，需结合三角形三边的关系推导AC+BC的取值范围。首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。在△ABC中，AB是已知边，长度为6，因此AC与BC的和必然大于AB的长度，由此即可判断选项中不符合该范围的数值。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。
在△ABC中，可得：$AC + BC ＞ AB$
已知$AB=6$，因此$AC + BC ＞ 6$。
逐一判断选项：
A. $11＞6$，符合要求；
B. $9＞6$，符合要求；
C. $7＞6$，符合要求；
D. $5＜6$，不符合要求。
因此AC+BC的值不可能是5。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形三边关系的直接应用，只要掌握“三角形两边之和大于第三边”的性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9
