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5. 下列图形具有稳定性的是（
C
）。答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先回忆核心性质：三角形具有稳定性，四边形及边数更多的多边形不具有稳定性，若平面图形被分割为若干三角形的组合，则该图形具有稳定性。接下来按这个标准逐个判断选项：先区分平面和立体图形排除立体选项，再看剩余平面图形是否全部由三角形构成，即可得出答案。
【解析】
根据三角形具有稳定性，四边形及其他多边形不具有稳定性的性质逐一判断：
1. 选项A：图形为四边形，不具有稳定性，排除；
2. 选项B：图形为边数大于3的多边形，存在非三角形的结构，不具有稳定性，排除；
3. 选项C：图形被内部线段分割为两个三角形，整体由三角形构成，具有稳定性，符合题意；
4. 选项D：为立体图形，不属于本题平面图形稳定性的考查范围，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的稳定性、多边形的不稳定性
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查对三角形稳定性的理解，只要掌握“只有由三角形构成的平面结构才有稳定性”这一判断标准，就能快速得出答案，这类概念题也是后续解决实际生活中结构稳定类问题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆核心性质：三角形具有稳定性，四边形及边数更多的多边形不具有稳定性，若平面图形被分割为若干三角形的组合，则该图形具有稳定性。接下来按这个标准逐个判断选项：先区分平面和立体图形排除立体选项，再看剩余平面图形是否全部由三角形构成，即可得出答案。
【解析】
根据三角形具有稳定性，四边形及其他多边形不具有稳定性的性质逐一判断：
1. 选项A：图形为四边形，不具有稳定性，排除；
2. 选项B：图形为边数大于3的多边形，存在非三角形的结构，不具有稳定性，排除；
3. 选项C：图形被内部线段分割为两个三角形，整体由三角形构成，具有稳定性，符合题意；
4. 选项D：为立体图形，不属于本题平面图形稳定性的考查范围，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的稳定性、多边形的不稳定性
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查对三角形稳定性的理解，只要掌握“只有由三角形构成的平面结构才有稳定性”这一判断标准，就能快速得出答案，这类概念题也是后续解决实际生活中结构稳定类问题的基础。
【难度系数】
0.8
6. 如图13.2-3，欣欣为估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘一侧选取了一点P，测得$PA=14\ \mathrm{m}$，$PB=10\ \mathrm{m}$，那么A，B间的距离可能是（
A.3 m
B.20 m
C.28 m
D.30 m
B
）。A.3 m
B.20 m
C.28 m
D.30 m
答案
6.B
解析
【分析】
要确定A、B间距离的可能值，首先观察到点A、B、P构成三角形，可利用三角形三边关系确定AB的取值范围，再判断选项中的数值是否在该范围内即可。解题思路为：先回忆三角形三边的关系规律，再代入已知的PA、PB长度计算出AB的取值范围，最后匹配选项得到答案。
【解析】
因为点A、B、P构成三角形，根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$PA-PB ＜ AB ＜ PA+PB$
将$PA=14\ \mathrm{m}$，$PB=10\ \mathrm{m}$代入得：
$14-10 ＜ AB ＜ 14+10$
即$4\ \mathrm{m}＜ AB ＜ 24\ \mathrm{m}$
观察选项，只有20m在这个取值范围内，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用问题，解题核心是利用三边关系确定未知边的取值范围，再结合选项筛选出符合条件的结果，难度较低。
【难度系数】
0.8
要确定A、B间距离的可能值，首先观察到点A、B、P构成三角形，可利用三角形三边关系确定AB的取值范围，再判断选项中的数值是否在该范围内即可。解题思路为：先回忆三角形三边的关系规律，再代入已知的PA、PB长度计算出AB的取值范围，最后匹配选项得到答案。
【解析】
因为点A、B、P构成三角形，根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$PA-PB ＜ AB ＜ PA+PB$
将$PA=14\ \mathrm{m}$，$PB=10\ \mathrm{m}$代入得：
$14-10 ＜ AB ＜ 14+10$
即$4\ \mathrm{m}＜ AB ＜ 24\ \mathrm{m}$
观察选项，只有20m在这个取值范围内，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用问题，解题核心是利用三边关系确定未知边的取值范围，再结合选项筛选出符合条件的结果，难度较低。
【难度系数】
0.8
7. 大桥钢架、索道支架等为了坚固都采用三角形结构，这样做的理由是
三角形具有稳定性
。答案
7. 三角形具有稳定性
解析
【分析】
本题考查三角形特性在实际生活中的应用，解题时首先回忆三角形区别于其他多边形的特有性质：四边形等多边形边长确定时形状仍可改变，而三角形一旦三条边的长度确定，它的形状和大小就完全固定，不会轻易变形，结合题目中“坚固”的需求，对应到三角形的稳定性这一性质即可得出答案。
【解析】
三角形具有特有的性质：当三角形的三条边的长度确定后，三角形的形状和大小就会完全固定，不容易发生形变，这一性质叫做三角形的稳定性。大桥钢架、索道支架等结构需要坚固、不易变形，采用三角形结构正是利用了这一性质。
【答案】
三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是数学知识在实际生活中的应用类基础题，解题关键是熟练掌握三角形的基本特性，能够将生活场景的需求和对应的数学性质建立关联。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形特性在实际生活中的应用，解题时首先回忆三角形区别于其他多边形的特有性质：四边形等多边形边长确定时形状仍可改变，而三角形一旦三条边的长度确定，它的形状和大小就完全固定，不会轻易变形，结合题目中“坚固”的需求，对应到三角形的稳定性这一性质即可得出答案。
【解析】
三角形具有特有的性质：当三角形的三条边的长度确定后，三角形的形状和大小就会完全固定，不容易发生形变，这一性质叫做三角形的稳定性。大桥钢架、索道支架等结构需要坚固、不易变形，采用三角形结构正是利用了这一性质。
【答案】
三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是数学知识在实际生活中的应用类基础题，解题关键是熟练掌握三角形的基本特性，能够将生活场景的需求和对应的数学性质建立关联。
【难度系数】
0.9
8. 为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接三段篱笆AB，BC，CD，这三段篱笆的长度如图13.2-4所示，其中篱笆AB，CD可分别绕轴BE和CF转动。若要围成一个三角形的空地，则需要在篱笆AB上接长度为
4（答案不唯一）
m的新篱笆。（写一个即可）答案
8. 4（答案不唯一）
解析
【分析】
要解决本题，首先明确围成的三角形的三条边长分别为AB接上新篱笆后的总长、CD的长度、BC的长度，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）列出不等式，求出接的新篱笆长度的取值范围，最后在范围内任取一个值即可。
【解析】
设在AB上接的新篱笆长度为$x\ \mathrm{m}$，则围成的三角形的三边长分别为$(2+x)\ \mathrm{m}$、$3\ \mathrm{m}$、$8\ \mathrm{m}$。
根据三角形三边关系：
1. 两边之和大于第三边：$(2+x)+3＞8$，解得$x＞3$；
2. 另外两边之和大于第三边：$3+8＞2+x$，解得$x＜9$。
结合篱笆长度为正数，可得$x$的取值范围是$3＜x＜9$，因此可取$x=4$（答案不唯一，只要在$3＜x＜9$范围内均可）。
【答案】
4（答案不唯一）
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用问题，解题的关键是准确找出围成三角形的三条边长，结合三边关系列不等式求出未知量的取值范围即可，解题时注意结果要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确围成的三角形的三条边长分别为AB接上新篱笆后的总长、CD的长度、BC的长度，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）列出不等式，求出接的新篱笆长度的取值范围，最后在范围内任取一个值即可。
【解析】
设在AB上接的新篱笆长度为$x\ \mathrm{m}$，则围成的三角形的三边长分别为$(2+x)\ \mathrm{m}$、$3\ \mathrm{m}$、$8\ \mathrm{m}$。
根据三角形三边关系：
1. 两边之和大于第三边：$(2+x)+3＞8$，解得$x＞3$；
2. 另外两边之和大于第三边：$3+8＞2+x$，解得$x＜9$。
结合篱笆长度为正数，可得$x$的取值范围是$3＜x＜9$，因此可取$x=4$（答案不唯一，只要在$3＜x＜9$范围内均可）。
【答案】
4（答案不唯一）
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用问题，解题的关键是准确找出围成三角形的三条边长，结合三边关系列不等式求出未知量的取值范围即可，解题时注意结果要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
9. 长度为20厘米的木棍，截成三段，每段长度为整数厘米，请写出一种可以构成三角形的截法，此时三段长度分别为
9厘米，9厘米，2厘米（答案不唯一）
，能构成三角形的截法共有8
种.（只考虑三段木棍的长度）答案
9. 9厘米，9厘米，2厘米（答案不唯一）；8
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，实际判断时只需验证较短两边之和大于最长边即可。对于第一问，只需写出3个和为20厘米的正整数，且满足较短两边之和大于最长边即可。对于第二问，为避免重复计数，我们设三段长度为a≤b≤c（单位：厘米），结合总长度和三边关系先确定最长边c的取值范围，再分类枚举所有符合条件的整数解，最后统计总种数。
【解析】
1. 第一问：构造满足条件的截法
例如取三段长度为9厘米，9厘米，2厘米，验证：2+9＞9，9+9＞2，满足三角形三边关系，且9+9+2=20，符合要求（答案不唯一，如7厘米、7厘米、6厘米等均可）。
2. 第二问：计算总截法种数
设三段长度为a≤b≤c（a、b、c均为正整数，单位：厘米），由题意得：
① a+b+c=20；
② 根据三边关系，a+b＞c，将①代入得20 - c ＞ c，解得c＜10；
③ 又因为c是最长边，故3c≥a+b+c=20，即c≥20/3≈6.67，结合c为整数，得c≥7。
因此c的取值为7、8、9，分情况枚举：
当c=9时，a+b=11，且a≤b≤9，故b≥11/2=5.5，即b≥6：
b=6时a=5；b=7时a=4；b=8时a=3；b=9时a=2，共4种；
当c=8时，a+b=12，且a≤b≤8，故b≥12/2=6：
b=6时a=6；b=7时a=5；b=8时a=4，共3种；
当c=7时，a+b=13，且a≤b≤7，故b≥13/2=6.5，即b=7，此时a=6，共1种。
总截法种数为4+3+1=8种。
【答案】
9厘米，9厘米，2厘米（答案不唯一）；8
【知识点】
三角形三边关系；分类讨论；整数解枚举
【点评】
本题围绕三角形三边关系设计，解题关键是先通过三边关系确定最长边的取值范围，再有序枚举避免重复或遗漏，能有效考查逻辑梳理能力和严谨性。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需要明确三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，实际判断时只需验证较短两边之和大于最长边即可。对于第一问，只需写出3个和为20厘米的正整数，且满足较短两边之和大于最长边即可。对于第二问，为避免重复计数，我们设三段长度为a≤b≤c（单位：厘米），结合总长度和三边关系先确定最长边c的取值范围，再分类枚举所有符合条件的整数解，最后统计总种数。
【解析】
1. 第一问：构造满足条件的截法
例如取三段长度为9厘米，9厘米，2厘米，验证：2+9＞9，9+9＞2，满足三角形三边关系，且9+9+2=20，符合要求（答案不唯一，如7厘米、7厘米、6厘米等均可）。
2. 第二问：计算总截法种数
设三段长度为a≤b≤c（a、b、c均为正整数，单位：厘米），由题意得：
① a+b+c=20；
② 根据三边关系，a+b＞c，将①代入得20 - c ＞ c，解得c＜10；
③ 又因为c是最长边，故3c≥a+b+c=20，即c≥20/3≈6.67，结合c为整数，得c≥7。
因此c的取值为7、8、9，分情况枚举：
当c=9时，a+b=11，且a≤b≤9，故b≥11/2=5.5，即b≥6：
b=6时a=5；b=7时a=4；b=8时a=3；b=9时a=2，共4种；
当c=8时，a+b=12，且a≤b≤8，故b≥12/2=6：
b=6时a=6；b=7时a=5；b=8时a=4，共3种；
当c=7时，a+b=13，且a≤b≤7，故b≥13/2=6.5，即b=7，此时a=6，共1种。
总截法种数为4+3+1=8种。
【答案】
9厘米，9厘米，2厘米（答案不唯一）；8
【知识点】
三角形三边关系；分类讨论；整数解枚举
【点评】
本题围绕三角形三边关系设计，解题关键是先通过三边关系确定最长边的取值范围，再有序枚举避免重复或遗漏，能有效考查逻辑梳理能力和严谨性。
【难度系数】
0.6
10. 已知$△ ABC$的三边长分别为$a$，$b$，$c$，且$a$，$b$，$c$均为整数.
（1）若$a=3$，$b=5$，则边长$c$可以取________；
（2）在（1）的条件下，若$c$为偶数，求$△ ABC$的周长.
（1）若$a=3$，$b=5$，则边长$c$可以取________；
（2）在（1）的条件下，若$c$为偶数，求$△ ABC$的周长.
答案
10. 解：(1) 3，4，5，6，7
(2) 在（1）的条件下，c可以取4或6. 当c=4时，△ABC的周长为3+4+5=12；当c=6时，△ABC的周长为3+6+5=14.
(2) 在（1）的条件下，c可以取4或6. 当c=4时，△ABC的周长为3+4+5=12；当c=6时，△ABC的周长为3+6+5=14.
解析
【分析】
解题需运用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。（1）首先根据已知的两边长求出第三边c的取值范围，再结合c为整数的条件，筛选出符合要求的c的值；（2）在（1）的结果中筛选出偶数值的c，分别代入三角形周长公式（三边之和）计算周长即可。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系可得：
$b - a ＜ c ＜ a + b$
代入$a=3$，$b=5$，得$5-3 ＜ c ＜ 3+5$，即$2 ＜ c ＜ 8$。
又因为c为整数，所以边长c可以取3，4，5，6，7。
(2) 由（1）可知c的取值为3，4，5，6，7，结合c为偶数的条件，可得c=4或c=6。
当$c=4$时，$△ ABC$的周长为$3+5+4=12$；
当$c=6$时，$△ ABC$的周长为$3+5+6=14$。
【答案】
(1) 3，4，5，6，7
(2) 12或14
【知识点】
三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题是三角形边的基础应用题，核心考点是三角形三边关系的实际运用，解题的关键是先准确求出第三边的取值范围，再结合题目给出的限定条件筛选出符合要求的数值，代入计算即可得到结果。
【难度系数】
0.9
解题需运用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。（1）首先根据已知的两边长求出第三边c的取值范围，再结合c为整数的条件，筛选出符合要求的c的值；（2）在（1）的结果中筛选出偶数值的c，分别代入三角形周长公式（三边之和）计算周长即可。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系可得：
$b - a ＜ c ＜ a + b$
代入$a=3$，$b=5$，得$5-3 ＜ c ＜ 3+5$，即$2 ＜ c ＜ 8$。
又因为c为整数，所以边长c可以取3，4，5，6，7。
(2) 由（1）可知c的取值为3，4，5，6，7，结合c为偶数的条件，可得c=4或c=6。
当$c=4$时，$△ ABC$的周长为$3+5+4=12$；
当$c=6$时，$△ ABC$的周长为$3+5+6=14$。
【答案】
(1) 3，4，5，6，7
(2) 12或14
【知识点】
三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题是三角形边的基础应用题，核心考点是三角形三边关系的实际运用，解题的关键是先准确求出第三边的取值范围，再结合题目给出的限定条件筛选出符合要求的数值，代入计算即可得到结果。
【难度系数】
0.9
