4. 如图13.1-3，钝角三角形的个数为（）。

A.2
B.3
C.4
D.5

4. D

【分析】
要解决本题，首先明确钝角三角形的定义：有一个内角是钝角（大于90°且小于180°）的三角形为钝角三角形。解题时按照“从小到大、不重不漏”的原则找出图中所有三角形，再逐个判断是否存在钝角即可，数三角形时可以按小三角形、组合大三角形的顺序梳理，避免重复或遗漏，同时注意共线的三点不能构成三角形。
【解析】
首先梳理图中所有三角形，逐一判断：
1. 小三角形$△ BDE$：$∠ D$是钝角，属于钝角三角形；
2. 小三角形$△ BCE$：$∠ BEC$是钝角，属于钝角三角形；
3. 小三角形$△ ACE$：$∠ EAC$是钝角，属于钝角三角形；
4. 由$△ BDE$和$△ BCE$组合成的$△ BDC$：$∠ D$是钝角，属于钝角三角形；
5. 由$△ ACE$和$△ BCE$组合成的$△ ABC$：$∠ BAC$是钝角，属于钝角三角形。
综上，钝角三角形共有5个。
【答案】
D
【知识点】
钝角三角形的定义、三角形的识别
【点评】
本题重点考查钝角三角形的判断，易错点是数三角形时出现重复、遗漏，只要按顺序梳理所有三角形，结合钝角的定义逐一判断就能准确得到结果。
【难度系数】
0.7

5. 如图13.1-4，试回答下列问题：
（1）图中共有个三角形，它们分别是；
（2）以AE为边的三角形有；
（3）∠C分别是△AEC，△ADC，△ABC中，，边的对角；
（4）∠B是，，的内角；∠AED是，的内角。
图13.1-3

5. (1) 6 △ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC
(2) △ABE，△ADE，△AEC
(3) AE AD AB
(4) △ABD △ABE △ABC △ADE △ABE

【分析】
解决这道题我们围绕三角形的相关概念分步思考即可：
1. 数三角形个数：图中所有三角形都以A为公共顶点，底边都在线段BC上，所以只需有序数出BC上的线段总数，就能对应得到三角形总个数，计数时按从小到大的顺序，避免重复和遗漏；
2. 找以AE为边的三角形：逐一排查每个三角形的边，筛选出包含AE的三角形即可；
3. 找角的对边：三角形中一个角的对边是指不经过这个角顶点的边，对应每个三角形找到与∠C不相邻的边即可；
4. 找角所属的三角形：只要某个三角形中包含这个角，该角就是这个三角形的内角，逐一排查符合要求的三角形即可。
【解析】
（1）线段BC上共有BD、BE、BC、DE、DC、EC共6条线段，每条线段和顶点A均可组成1个三角形，因此共有6个三角形，分别为△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC；
（2）逐一核对所有三角形的边，包含AE边的三角形为△ABE，△ADE，△AEC；
（3）在△AEC中，∠C的顶点为C，不经过点C的边是AE；在△ADC中，不经过点C的边是AD；在△ABC中，不经过点C的边是AB，因此∠C对应的对边分别是AE、AD、AB；
（4）排查所有三角形，包含∠B的三角形是△ABD、△ABE、△ABC，因此∠B是这三个三角形的内角；包含∠AED的三角形是△ADE、△ABE，因此∠AED是这两个三角形的内角。
【答案】
(1) 6 △ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC
(2) △ABE，△ADE，△AEC
(3) AE AD AB
(4) △ABD △ABE △ABC △ADE △ABE
【知识点】
三角形的计数，三角形的对角，三角形的内角
【点评】
本题是三角形概念的基础应用题，重点考查有序计数的能力和对三角形边、角相关定义的理解，计数时按顺序枚举可有效避免漏数、重复数的问题。
【难度系数】
0.85

6. 下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（）。A. B. C. D.

6. C

【分析】
要判断被遮挡的三角形类型，首先明确三角形按角分类的规则：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。解题时先观察每个选项露出的角的类型：如果露出的是直角或钝角，可直接确定三角形类型；如果露出的是锐角，由于剩下两个角的和为180°减去这个锐角，可能包含直角、钝角，也可能全是锐角，因此无法确定类型，据此逐个判断选项即可。
【解析】
我们逐个分析四个选项：
选项A：露出的角是钝角，因此该三角形是钝角三角形，可以判断类型；
选项B：露出的角是直角，因此该三角形是直角三角形，可以判断类型；
选项C：露出的角是锐角，无法确定剩余两个角中是否存在直角或钝角，因此不能判断三角形的类型；
选项D：露出的角是钝角，因此该三角形是钝角三角形，可以判断类型。
综上，不能判断三角形类型的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形按角分类、三角形内角和性质
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对三角形分类标准的理解，解题关键是明确仅知道三角形的一个锐角无法确定它的类型，只要知道一个直角或钝角就能直接确定对应类型。
【难度系数】
0.8

7. 如图13.1-5，图①中有1个三角形，在图①的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的3个顶点得到图②，图②中共有4个三角形. 若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的3个顶点得到图③. 在虚线框中画出图③，图③中共有个三角形.（写出所有可能的值）

7. 7或9 图略

【分析】
要解决这道题，我们先梳理已知条件，再分类讨论取点的不同位置：首先明确图②共有4个三角形，包含3个与原大三角形有公共边的外侧小三角形，和1个仅与内部点相连、不与大三角形共边的内侧小三角形。我们需要分别讨论取点在外侧小三角形、内侧小三角形两种情况，计数总三角形个数即可。
【解析】
已知图②共有4个三角形，分两种情况讨论：
1. 当所取的点在图②的内侧小三角形（不与原大三角形共边的中间小三角形）内部时：连接该点与该小三角形的3个顶点，会将这个小三角形拆分为3个更小的三角形，总三角形个数为 $ 4 - 1 + 3 = 7 $ 个；
2. 当所取的点在图②的外侧小三角形（与原大三角形有公共边的小三角形）内部时：连接该点与该小三角形的3个顶点，除了将该小三角形拆分为3个更小的三角形外，还会形成多个由新线段和原有线段围成的新三角形，最终总个数为9个。
综上，图③中三角形的个数为7或9。
【答案】
7或9
【知识点】
三角形的概念；图形计数；分类讨论
【点评】
这道题的易错点是忽略取点位置的差异，解题时要分类讨论所有可能的取点情况，计数三角形时要做到不重不漏，避免漏解。
【难度系数】
0.6

8. 根据图13.1-6中前3个图所示的规律，依次下去，第n个图中的三角形的个数是。

8. $6(n+1)$

【分析】
这是一道图形规律探究题，解题思路为：首先统计前3个图形中三角形的个数，再观察个数与图形序号的对应关系，推导通用规律。观察图形可知：从大三角形的上顶点共引出4条射线，任意一条平行于底边的横线与这4条射线组成的三角形个数固定为$3+2+1=6$个；再看横线数量：第1个图有2条横线（含底边），第2个图有3条横线，第3个图有4条横线，横线数量比图形序号大1，由此可推导出第n个图的三角形总个数。
【解析】
首先计算每层（单条横线对应的）三角形个数：从顶点引出4条射线，组成的三角形个数为$3+2+1=6$个；
再统计各图的横线数量：
第1个图（序号1）：横线共$1+1=2$条，总三角形个数为$6×2=12=6×(1+1)$；
第2个图（序号2）：横线共$2+1=3$条，总三角形个数为$6×3=18=6×(2+1)$；
第3个图（序号3）：横线共$3+1=4$条，总三角形个数为$6×4=24=6×(3+1)$；
依次类推，第n个图的横线数量为$n+1$条，总三角形个数为$6(n+1)$。
【答案】
$6(n+1)$
【知识点】
图形规律探究，三角形的概念
【点评】
本题侧重考查对图形规律的观察和归纳能力，解题的关键是先确定单层的三角形固定数量，再找到层数与图形序号的关系，只要细心计数就能轻松找到规律。
【难度系数】
0.7