6 如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上一点，$CD⊥ AB$于点D，连结BC，$∠ BCD$的平分线交AB于点E，交$\odot O$于另一点F，连结FB，求证：$FB=FE$.

6. 连结 AC. 因为 AB 是$\odot O$的直径,所以$∠ACB=90°$. 所以$∠CAB+∠CBA=90°$. 因为$CD⊥AB$,所以$∠CAB+∠DCA=90°$. 所以$∠CBA=∠DCA$. 因为 CF 平分$∠BCD$,所以$∠BCE=∠DCE$. 所以$∠CBA+∠BCE=∠DCA+∠DCE$,即$∠AEC=∠ACE$. 因为$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{AF}$,所以$∠ACE=∠ABF$. 因为$∠AEC=∠BEF$,所以$∠ABF=∠BEF$. 所以$FB=FE$

7 如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于点D，$DP⊥AC$，垂足为P，$DH⊥BM$，垂足为H.求证:$AP=BH$.

7. 连结 AD,BD. 因为$∠CAD$,$∠CBD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角,所以$∠CAD=∠CBD$. 因为 CD 平分$∠ACM$,$DP⊥AC$,$DH⊥BM$,所以$∠APD=∠BHD=90°$,$DP=DH$. 在$△ADP$和$△BDH$中,$\begin{cases}∠DAP=∠DBH,\\∠APD=∠BHD,\\DP=DH,\end{cases}$所以$△ADP≌△BDH$. 所以$AP=BH$

8 如图，AD 和 AC 分别是$\odot O$的直径和弦，且$∠ CAD=30°$，$OB⊥ AD$且交 AC 于点 B.已知$OB=1$，求 BC 的长.

8. 连结 CD. 因为 AD 是$\odot O$的直径,所以$∠ACD=90°$. 因为$OB⊥AD$,所以$∠AOB=90°$. 在$Rt△ABO$中,$OB=1$,$∠A=30°$,所以$AB=2OB=2$. 所以$AO=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. 所以$AD=2AO=2\sqrt{3}$. 在$Rt△ACD$中,$∠A=30°$,所以$CD=\frac{1}{2}AD=\sqrt{3}$. 所以$AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=3$. 所以$BC=AC-AB=3-2=1$

9 如图，C，D两点在以AB为直径的半圆O上，AD平分∠BAC，AB＝20，AD＝4√15，DE⊥AB于点E。
（1）求DE的长；
（2）求证：AC＝2OE。

9. (1) 如图,连结 BD. 因为 AB 为半圆 O 的直径,所以$∠ADB=90°$. 所以在$Rt△ADB$中,$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{20^2-(4\sqrt{15})^2}=4\sqrt{10}$. 因为$S_{△ADB}=\frac{1}{2}AD·BD=\frac{1}{2}AB·DE$,所以$DE=\frac{AD·BD}{AB}=\frac{4\sqrt{15}×4\sqrt{10}}{20}=4\sqrt{6}$
(2) 如图,连结 OD,过点 O 作$OF⊥AC$于点 F,则$∠AFO=90°$,$AC=2AF$. 因为 AD 平分$∠BAC$,所以$∠BAC=2∠BAD$. 又因为$∠BOD=2∠BAD$,所以$∠BAC=∠BOD$. 因为$DE⊥AB$,所以$∠OED=90°$. 所以$∠AFO=∠OED$. 在$△AFO$和$△OED$中,$\begin{cases}∠AFO=∠OED,\\∠FAO=∠EOD,\\AO=OD,\end{cases}$所以$△AFO≌△OED$. 所以$AF=OE$. 因为$AC=2AF$,所以$AC=2OE$