1（易错题）如图，点O是△ABC的外接圆的圆心，AI平分∠BAC，连结OB。若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为（）

A.15°
B.17.5°
C.20°
D.25°

1. C
【易错分析】三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点. 因此,点 O 一般不在射线 AI 上.

2 如图，CD是$\odot O$的直径，BE是$\odot O$的弦，DC，EB的延长线相交于点A，连结OE。若$∠ DOE=75°$，$AB=OC$，求$∠ A$的度数。
(第2题)

2. 如图,连结 OB. 因为$AB=OC$,$OB=OC$,所以$AB=OB$. 所以$∠A=∠2$. 因为$∠1=∠A+∠2$,所以$∠1=2∠A$. 因为$OB=OE$,所以$∠1=∠E$. 所以$E=2∠A$. 因为$∠DOE=∠A+∠E=75°$,所以$3∠A=75°$. 所以$∠A=25°$

3 [2026金华永康期中改编]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E.
(1)若$∠ A=28°$,则$\overset{\frown}{DE}$的度数为;
(2)如果$BC=3$,$AC=4$,那么BD的长为.

3. (1) $34°$ 解析:连结 CD. 因为$∠ACB=90°$,$∠A=28°$,所以$∠B=90°-∠A=90°-28°=62°$. 因为$CB=CD$,所以$∠B=∠CDB=62°$. 所以$∠BCD=180°-∠B-∠CDB=180°-62°-62°=56°$. 所以$∠DCE=∠ACB-∠BCD=90°-56°=34°$. 所以$\overset{\frown}{DE}$的度数为$34°$.
(2) $\frac{18}{5}$ 解析:过点 C 作$CH⊥BD$于点 H,则$BH=DH=\frac{1}{2}BD$. 在$Rt△ABC$中,$∠ACB=90°$,$BC=3$,$AC=4$,所以$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$. 因为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CH=\frac{1}{2}BC·AC$,所以$CH=\frac{BC·AC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$. 在$Rt△BCH$中,$BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}$,所以$BD=2BH=\frac{18}{5}$.

4 如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点。若∠AMC＝45°，求弦CD的长。

4. 如图,连结 OD,过点 O 作$OE⊥CD$于点 E,则$CE=DE=\frac{1}{2}CD$. 因为 AB 是$\odot O$的直径,$AB=4$,M 是 OA 的中点,所以$OD=OA=2$,$OM=1$. 因为$∠OME=∠AMC=45°$,所以$△OEM$是等腰直角三角形. 所以易得$OE=\frac{\sqrt{2}}{2}$. 所以在$Rt△ODE$中,$DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{2^2-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=\frac{\sqrt{14}}{2}$. 所以$CD=2DE=\sqrt{14}$

5 转化与化归思想 如图，AB为$\odot O$的弦，点C在AB上，$AC=4$，$BC=2$，$CD⊥ OC$交$\odot O$于点D，求CD的长. （第5题）

5. 如图,过点 O 作$OE⊥AB$于点 E,连结 OA,OD. 因为$AC=4$,$BC=2$,所以$AB=AC+BC=4+2=6$. 因为$OE⊥AB$,所以$AE=BE=\frac{1}{2}AB=3$. 所以$CE=BE-BC=3-2=1$. 设$OE=x$. 在$Rt△OAE$中,$OA^2=OE^2+AE^2=x^2+3^2$,在$Rt△OCE$中,$OC^2=OE^2+CE^2=x^2+1^2$. 因为$CD⊥OC$,所以$CD^2=OD^2-OC^2=OA^2-OC^2=x^2+9-(x^2+1)=8$. 所以$CD=2\sqrt{2}$(负值舍去)