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1. 我们已经学习和掌握了不少在平地上测量物体高度的方法。如果在同一个斜坡上，在同一时刻，测得在斜坡上自己的影长和一棵大树的影长，那么由自己的身高(
A.也能够求出树高
B.还须知道斜坡的角度，才能求出树高
C.不能求出树高
D.只有在光线垂直于斜坡时，才能求出树高
A
)。A.也能够求出树高
B.还须知道斜坡的角度，才能求出树高
C.不能求出树高
D.只有在光线垂直于斜坡时，才能求出树高
答案
1.A
解析
【分析】
解题时先回忆平行投影的性质：同一时刻太阳光线是平行光线。题目中测量场景是同一时刻、同一斜坡，人的身高和树高均垂直于水平面，二者与斜坡的夹角相等，结合平行光线与二者的夹角也相等，可判断出人和光线、人影组成的三角形与树和光线、树影组成的三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，即可直接通过已知的身高、人影长、树影长求出树高，无需额外条件。
【解析】
同一时刻，太阳光线为平行光线。在同一斜坡上，人的身高与大树的高度均垂直于水平面，因此二者与斜坡的夹角相等；同时平行的太阳光线分别与人和树的夹角也相等，因此由“人的身高、斜坡上的人影长、照射人的太阳光线”构成的三角形，与“大树的高度、斜坡上的树影长、照射树的太阳光线”构成的三角形相似。
根据相似三角形对应边成比例的性质，可得：$\frac{人的身高}{大树的高度}=\frac{人的影长}{大树的影长}$，已知人的身高、人影长、树影长，代入即可直接求出大树高度，不需要额外知道斜坡角度等其他条件，因此A选项正确，B、C、D选项错误。
【答案】
A
【知识点】
平行投影的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形测高的变式应用，解题的关键是抓住平行光线的特点，准确判断出两个三角形相似，不要被“斜坡”的干扰条件误导。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆平行投影的性质：同一时刻太阳光线是平行光线。题目中测量场景是同一时刻、同一斜坡，人的身高和树高均垂直于水平面，二者与斜坡的夹角相等，结合平行光线与二者的夹角也相等，可判断出人和光线、人影组成的三角形与树和光线、树影组成的三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，即可直接通过已知的身高、人影长、树影长求出树高，无需额外条件。
【解析】
同一时刻，太阳光线为平行光线。在同一斜坡上，人的身高与大树的高度均垂直于水平面，因此二者与斜坡的夹角相等；同时平行的太阳光线分别与人和树的夹角也相等，因此由“人的身高、斜坡上的人影长、照射人的太阳光线”构成的三角形，与“大树的高度、斜坡上的树影长、照射树的太阳光线”构成的三角形相似。
根据相似三角形对应边成比例的性质，可得：$\frac{人的身高}{大树的高度}=\frac{人的影长}{大树的影长}$，已知人的身高、人影长、树影长，代入即可直接求出大树高度，不需要额外知道斜坡角度等其他条件，因此A选项正确，B、C、D选项错误。
【答案】
A
【知识点】
平行投影的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形测高的变式应用，解题的关键是抓住平行光线的特点，准确判断出两个三角形相似，不要被“斜坡”的干扰条件误导。
【难度系数】
0.7
2. 如图3-6-1，阳光从教室的窗户射入室内，窗框AB在地面上的影长$DE=1.8\ \mathrm{m}$，窗户下沿到地面的距离$BC=1\ \mathrm{m}$，$EC=1.2\ \mathrm{m}$，那么窗框AB为（
A.$1.5\ \mathrm{m}$
B.$1.6\ \mathrm{m}$
C.$1.86\ \mathrm{m}$
D.$2.16\ \mathrm{m}$
A
）。A.$1.5\ \mathrm{m}$
B.$1.6\ \mathrm{m}$
C.$1.86\ \mathrm{m}$
D.$2.16\ \mathrm{m}$
答案
2.A
解析
【分析】
太阳光属于平行光线，因此可得AD//BE，结合公共角∠C可推出△CBE与△CAD相似，接下来利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵太阳光线为平行光线，
∴AD//BE，
∴∠BEC=∠ADC，
又
∵∠C=∠C（公共角），
∴△CBE∽△CAD（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{EC}{DC}$。
由题意可知：$DC=DE+EC=1.8+1.2=3\ \mathrm{m}$，$AC=AB+BC=AB+1$，$BC=1\ \mathrm{m}$，$EC=1.2\ \mathrm{m}$，
将各值代入比例式得：
$\frac{1}{AB+1}=\frac{1.2}{3}$，
解得：$AB=1.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
平行投影特征；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是平行投影结合相似三角形的基础应用题，解题的核心是根据平行光线构造出相似三角形，再利用相似的性质列方程求解，解题过程中要注意对应边不要找错。
【难度系数】
0.7
太阳光属于平行光线，因此可得AD//BE，结合公共角∠C可推出△CBE与△CAD相似，接下来利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵太阳光线为平行光线，
∴AD//BE，
∴∠BEC=∠ADC，
又
∵∠C=∠C（公共角），
∴△CBE∽△CAD（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{EC}{DC}$。
由题意可知：$DC=DE+EC=1.8+1.2=3\ \mathrm{m}$，$AC=AB+BC=AB+1$，$BC=1\ \mathrm{m}$，$EC=1.2\ \mathrm{m}$，
将各值代入比例式得：
$\frac{1}{AB+1}=\frac{1.2}{3}$，
解得：$AB=1.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
平行投影特征；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是平行投影结合相似三角形的基础应用题，解题的核心是根据平行光线构造出相似三角形，再利用相似的性质列方程求解，解题过程中要注意对应边不要找错。
【难度系数】
0.7
3. 人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离。在如图3-6-2所示的测量A，B间的距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF。观测者的眼睛(图中用点C表示)与BF在同一水平线上，若某次测量中$\frac{CF}{BF}=\frac{1}{5}$，则下列结论错误的是(
图3-6-2
A.$\frac{CE}{AE}=\frac{1}{5}$
B.$\frac{EF}{AB}=\frac{1}{6}$
C.$\frac{CF}{CE}=\frac{1}{2}$
D.$\frac{S_{△ CEF}}{S_{△ CAB}}=\frac{1}{36}$
C
)。图3-6-2
A.$\frac{CE}{AE}=\frac{1}{5}$
B.$\frac{EF}{AB}=\frac{1}{6}$
C.$\frac{CF}{CE}=\frac{1}{2}$
D.$\frac{S_{△ CEF}}{S_{△ CAB}}=\frac{1}{36}$
答案
3.C
解析
【分析】
首先由图可知EF//AB，可判定△CEF∽△CAB，再结合已知条件$\frac{CF}{BF}=\frac{1}{5}$推导相似比，最后利用相似三角形的对应边成比例、面积比等于相似比的平方逐一判断选项即可。
【解析】
解：由题意得$EF// AB$，
$\therefore △ CEF ∽ △ CAB$，相似比$k=\frac{CF}{CB}$。
$\because \frac{CF}{BF}=\frac{1}{5}$，设$CF=x$，则$BF=5x$，
$\therefore CB=CF+BF=x+5x=6x$，
$\therefore k=\frac{CF}{CB}=\frac{x}{6x}=\frac{1}{6}$，即$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{CA}=\frac{CF}{CB}=\frac{1}{6}$。
逐一判断选项：
A. 由$\frac{CE}{CA}=\frac{1}{6}$，得$CA=6CE$，则$AE=CA-CE=5CE$，$\therefore \frac{CE}{AE}=\frac{CE}{5CE}=\frac{1}{5}$，该选项结论正确；
B. 由相似比可知$\frac{EF}{AB}=\frac{1}{6}$，该选项结论正确；
C. 题中无对应条件可推导CF和CE的数量关系，无法得到$\frac{CF}{CE}=\frac{1}{2}$，该选项结论错误；
D. 相似三角形面积比等于相似比的平方，$\therefore \frac{S_{△ CEF}}{S_{△ CAB}}=(\frac{1}{6})^2=\frac{1}{36}$，该选项结论正确。
综上，结论错误的是C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题考查相似三角形在实际测量中的应用，解题关键是先判定三角形相似，再结合已知条件求出相似比，利用相似的性质判断对应结论，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
首先由图可知EF//AB，可判定△CEF∽△CAB，再结合已知条件$\frac{CF}{BF}=\frac{1}{5}$推导相似比，最后利用相似三角形的对应边成比例、面积比等于相似比的平方逐一判断选项即可。
【解析】
解：由题意得$EF// AB$，
$\therefore △ CEF ∽ △ CAB$，相似比$k=\frac{CF}{CB}$。
$\because \frac{CF}{BF}=\frac{1}{5}$，设$CF=x$，则$BF=5x$，
$\therefore CB=CF+BF=x+5x=6x$，
$\therefore k=\frac{CF}{CB}=\frac{x}{6x}=\frac{1}{6}$，即$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{CA}=\frac{CF}{CB}=\frac{1}{6}$。
逐一判断选项：
A. 由$\frac{CE}{CA}=\frac{1}{6}$，得$CA=6CE$，则$AE=CA-CE=5CE$，$\therefore \frac{CE}{AE}=\frac{CE}{5CE}=\frac{1}{5}$，该选项结论正确；
B. 由相似比可知$\frac{EF}{AB}=\frac{1}{6}$，该选项结论正确；
C. 题中无对应条件可推导CF和CE的数量关系，无法得到$\frac{CF}{CE}=\frac{1}{2}$，该选项结论错误；
D. 相似三角形面积比等于相似比的平方，$\therefore \frac{S_{△ CEF}}{S_{△ CAB}}=(\frac{1}{6})^2=\frac{1}{36}$，该选项结论正确。
综上，结论错误的是C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题考查相似三角形在实际测量中的应用，解题关键是先判定三角形相似，再结合已知条件求出相似比，利用相似的性质判断对应结论，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
4. 某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某大厦CD的高度。如图3-6-3，在点P处放一面水平的平面镜。光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB = 1.5 m，BP=2 m，PD=52 m，那么该大厦的高度约为
39
m。 答案
4.39
5. 中国古书中有一道题:今有一座古方城,四面正中都开门,南门直行八里止,脚下有座塔耸立,又出西门二里停,切城角恰见塔形,请问诸君能算者,方城每边长是几?大意如下:如图 3-6-4,有一座正方形城池,四面城墙的正中都有城门,出南门 D 直行 8 里到宝塔 A 处(即 $DA=8$ 里,$DA ⊥ DC$),出西门 E 直行 2 里到 B 处(即 $EB=2$ 里,$EB ⊥ EC$),此时,视线刚好经过城墙角 C 看见宝塔 A(即 B,C,A 三点共线),问正方形城池每一面城墙长(即正方形的边长)多少里?根据以上信息,算出这座方城每一面的城墙长
8
里。答案
5.8
解析
【分析】
本题可通过构建相似三角形求解：首先设正方形边长为未知数，结合正方形的性质得到两组直角，再根据三点共线推导角的等量关系，证明两个直角三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例列方程，求解后舍去不符合实际的负根即可得到边长。思考时注意：城门是城墙中点，所以从城门到城角的距离是边长的一半；三点共线可推出互余的角相等，刚好满足相似三角形的判定条件，因此用相似求解是最优思路。
【解析】
设这座方城每一面的城墙长为$ x $里。
∵南门D、西门E分别是所在城墙的中点，
∴$ DC = EC = \frac{1}{2}x $里。
由题意得：$ ∠ ADC = ∠ CEB = 90° $，
∵B、C、A三点共线，
∴$ ∠ ACD + ∠ BCE = 90° $，
又
∵在$ \mathrm{Rt}△ ADC $中，$ ∠ A + ∠ ACD = 90° $，
∴$ ∠ A = ∠ BCE $，
∴$ △ ADC ∽ △ CEB $（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$ \frac{AD}{EC} = \frac{DC}{EB} $
代入$ AD=8 $里，$ EB=2 $里，$ DC=EC=\frac{1}{2}x $里，得：
$ \frac{8}{\frac{1}{2}x} = \frac{\frac{1}{2}x}{2} $
交叉相乘化简得：$ \frac{1}{4}x^2 = 16 $
解得$ x = 8 $（边长为正数，舍去负根）。
【答案】
8
【知识点】
相似三角形的应用，正方形的性质，列方程解应用题
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查了几何知识在实际测量中的应用，解题的核心是从实际场景中抽象出相似三角形模型，利用相似性质建立等量关系，既体现了数学的文化价值，也考查了学生的模型构建能力。
【难度系数】
0.6
本题可通过构建相似三角形求解：首先设正方形边长为未知数，结合正方形的性质得到两组直角，再根据三点共线推导角的等量关系，证明两个直角三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例列方程，求解后舍去不符合实际的负根即可得到边长。思考时注意：城门是城墙中点，所以从城门到城角的距离是边长的一半；三点共线可推出互余的角相等，刚好满足相似三角形的判定条件，因此用相似求解是最优思路。
【解析】
设这座方城每一面的城墙长为$ x $里。
∵南门D、西门E分别是所在城墙的中点，
∴$ DC = EC = \frac{1}{2}x $里。
由题意得：$ ∠ ADC = ∠ CEB = 90° $，
∵B、C、A三点共线，
∴$ ∠ ACD + ∠ BCE = 90° $，
又
∵在$ \mathrm{Rt}△ ADC $中，$ ∠ A + ∠ ACD = 90° $，
∴$ ∠ A = ∠ BCE $，
∴$ △ ADC ∽ △ CEB $（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$ \frac{AD}{EC} = \frac{DC}{EB} $
代入$ AD=8 $里，$ EB=2 $里，$ DC=EC=\frac{1}{2}x $里，得：
$ \frac{8}{\frac{1}{2}x} = \frac{\frac{1}{2}x}{2} $
交叉相乘化简得：$ \frac{1}{4}x^2 = 16 $
解得$ x = 8 $（边长为正数，舍去负根）。
【答案】
8
【知识点】
相似三角形的应用，正方形的性质，列方程解应用题
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查了几何知识在实际测量中的应用，解题的核心是从实际场景中抽象出相似三角形模型，利用相似性质建立等量关系，既体现了数学的文化价值，也考查了学生的模型构建能力。
【难度系数】
0.6
