6. 图3-6-5是一位同学设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图。小树AB在路灯O的照射下形成树影BC，这位同学测得树高AB=3 m，树影BC=4 m，树与路灯的水平距离BP=5 m。求路灯的高度OP。

图3-6-5

6. 解:
∵OP⊥PC,AB⊥PC,
∴AB//OP,
∴△ABC∽△OPC,
∴$\frac{OP}{AB}=\frac{PC}{BC}$。
∵AB=3,BC=4,BP=5,
∴PC=BP+BC=9,
∴$\frac{OP}{3}=\frac{9}{4}$,
∴$OP=\frac{27}{4}$,
∴路灯的高度OP为$\frac{27}{4}\mathrm{m}$。

【分析】
本题是利用相似三角形测量高度的实际应用题，解题思路如下：首先观察图形可得OP、AB都垂直于地面PC，因此AB平行于OP，根据相似三角形的判定定理可推出△ABC和△OPC相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出包含路灯高度OP的比例式；最后代入已知的AB、BC、BP的长度，计算出PC的长度后代入比例式，即可求出OP的长度。
【解析】
解：
∵OP⊥PC，AB⊥PC，
∴AB//OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴$\frac{OP}{AB}=\frac{PC}{BC}$。
已知AB=3 m，BC=4 m，BP=5 m，
∴PC=BP+BC=5+4=9 m，
将各值代入比例式得$\frac{OP}{3}=\frac{9}{4}$，
解得$OP=\frac{27}{4}$。
【答案】
$\frac{27}{4}\mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用类题目，解题的核心是通过两条线垂直于同一直线得到平行关系，进而确定相似三角形，再利用相似三角形的性质建立比例式求解，是将几何知识结合实际场景的典型题型。
【难度系数】
0.75

7. 南阳解放纪念碑位于中国历史文化名城南阳市白河游览区，是南阳一处重要的爱国主义和革命传统教育基地。某综合实践学习小组开展测量物体高度的实践活动。他们把“测量南阳解放纪念碑的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了活动报告(如表3-6-1)。
表3-6-1
| 活动项目 | 测量南阳解放纪念碑的高度 |
| --- | --- |
| 活动方案 | “测角仪”方案 |
| 方案示意图 | |
| 实施过程 | ①选取与纪念碑底座点B位于同一水平地面的D处立一标杆CD；②测量B，D两点间的距离；③在F处从点E看到标杆顶端C与纪念碑顶端A在同一条直线上；④测量D，F两点间的距离；⑤测量E到地面的高度EF |
| 数据 | ①$CD=2.4\ \mathrm{m}$；②$BD=227\ \mathrm{m}$；③$DF=3\ \mathrm{m}$；④$EF=1.6\ \mathrm{m}$ |
| 说明 | ①图上所有点均在同一平面内；②$AB,CD,EF$均与地面垂直 |
续表
根据活动报告，求南阳解放纪念碑AB的高度。(结果精确到0.1 m)

7. 解:如答图3-6-1,过点E作EN⊥AB于点N,交CD于点M。
由题意可知:$∠ EFD = ∠ MDF = ∠ EMD = 90°$,
$∠ MDB=∠ NBD=∠ MNB=90°$,
∴四边形EFDM和四边形BDMN均为矩形。
∴MN=BD=227 m,EM=DF=3 m,BN=MD=EF=1.6 m,
∴CM=CD-MD=2.4-1.6=0.8(m)。
∵$∠ CEM=∠ AEN$,$∠ CME=∠ ANE$,
∴$△ ECM ∽ △ EAN$,
∴$\frac{CM}{AN}=\frac{EM}{EN}$,
∴$AN=\frac{0.8×(227+3)}{3}\approx61.33(\mathrm{m})$。
∴AB=AN+NB=61.33+1.6≈62.9(m)。
故南阳解放纪念碑AB的高度约为62.9 m。

【分析】
遇到这类多个竖直物体、共线观测的测高问题，可按以下思路推导：
① 构造辅助图形：由于AB、CD、EF都垂直于地面，过点E作EN⊥AB于点N，交CD于点M，即可得到矩形EFDM和矩形BDMN，利用矩形的性质可将已知的水平距离DF、BD和竖直高度EF转化为对应线段长度，同时将待求的AB拆分为AN和BN两段，其中BN与EF长度相等，仅需求出AN的长度即可。
② 判定相似三角形：因点C、A、E共线，△ECM和△EAN有公共角∠CEM，且两个三角形均为直角三角形，可判定两三角形相似。
③ 列式计算：根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知线段长度求出AN，再与BN相加即可得到AB的总高度。
【解析】
如答图3-6-1，过点E作EN⊥AB于点N，交CD于点M。
由题意可知：$∠ EFD = ∠ MDF = ∠ EMD = 90°$，$∠ MDB= ∠ NBD= ∠ MNB=90°$，
∴ 四边形EFDM和四边形BDMN均为矩形。
∴ $MN=BD=227\ \mathrm{m}$，$EM=DF=3\ \mathrm{m}$，$BN=MD=EF=1.6\ \mathrm{m}$，
∴ $CM=CD-MD=2.4-1.6=0.8\ \mathrm{m}$。
∵ $∠ CEM=∠ AEN$，$∠ CME=∠ ANE=90°$，
∴ $△ ECM ∽ △ EAN$，
∴ $\frac{CM}{AN}=\frac{EM}{EN}$，其中$EN=EM+MN=3+227=230\ \mathrm{m}$，
代入得 $AN=\frac{CM· EN}{EM}=\frac{0.8×230}{3}\approx61.33\ \mathrm{m}$。
∴ $AB=AN+NB=61.33+1.6\approx62.9\ \mathrm{m}$。
【答案】
如答图3-6-1，过点E作EN⊥AB于点N，交CD于点M。
由题意可知:$∠ EFD = ∠ MDF = ∠ EMD = 90°$,
$∠ MDB=∠ NBD=∠ MNB=90°$,
∴四边形EFDM和四边形BDMN均为矩形。
∴MN=BD=227 m,EM=DF=3 m,BN=MD=EF=1.6 m,
∴CM=CD-MD=2.4-1.6=0.8(m)。
∵$∠ CEM=∠ AEN$,$∠ CME=∠ ANE$,
∴$△ ECM ∽ △ EAN$,
∴$\frac{CM}{AN}=\frac{EM}{EN}$,
∴$AN=\frac{0.8×(227+3)}{3}\approx61.33(\mathrm{m})$。
∴AB=AN+NB=61.33+1.6≈62.9(m)。
故南阳解放纪念碑AB的高度约为62.9 m。
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 矩形的性质
3. 相似三角形的实际应用
【点评】
本题以测量纪念碑高度的实际活动为背景，考查了几何知识在实际问题中的应用，解题核心是通过作辅助线构造矩形和相似三角形，将实际测高问题转化为几何计算问题，有助于提升学生将数学知识应用于生活实践的能力。
【难度系数】
0.6