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二、拓展性作业
8. 综合与实践
表3-6-2
发现、提出问题
利用相似三角形测高
周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动。如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙AB，同学们提出问题：围墙AB的高度是多少米？
分析问题
结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C射进房间地面F点时，测得OF＝5 m；②当阳光恰从围墙最高点A经窗户点D射进地面E点时，测得OE＝0.8 m。此外，还测得：窗高CD＝1.5 m、窗户距地面的高度OD＝1 m。
解决问题
请利用上述数据，求出围墙AB的高度。
8. 综合与实践
表3-6-2
发现、提出问题
利用相似三角形测高
周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动。如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙AB，同学们提出问题：围墙AB的高度是多少米？
分析问题
结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C射进房间地面F点时，测得OF＝5 m；②当阳光恰从围墙最高点A经窗户点D射进地面E点时，测得OE＝0.8 m。此外，还测得：窗高CD＝1.5 m、窗户距地面的高度OD＝1 m。
解决问题
请利用上述数据，求出围墙AB的高度。
答案
8. 解:如答图3-6-2,连接CD。
由题意得,AB⊥BF,DO⊥BF,
∴$∠ ABO=∠ DOE=90°$。
∵$∠ BEA=∠ OED$,
∴$△ ABE ∽ △ DOE$,
∴$\frac{AB}{DO}=\frac{BE}{OE}$,
即$\frac{AB}{1}=\frac{OB+0.8}{0.8}$,
∴$AB=\frac{5}{4}OB+1$。
∵$∠ CFO=∠ AFB$,
∴$△ ABF ∽ △ COF$,
∴$\frac{AB}{CO}=\frac{BF}{OF}$,即$\frac{AB}{1+1.5}=\frac{OB+5}{5}$,
∴$AB=\frac{1}{2}OB+\frac{5}{2}$,
∴$\frac{5}{4}OB+1=\frac{1}{2}OB+\frac{5}{2}$,
解得OB=2,
∴$AB=\frac{5}{4}OB+1=\frac{5}{4}×2+1=\frac{7}{2}$,
∴围墙AB的高度为$\frac{7}{2}\mathrm{m}$。
解析
【分析】
本题是利用相似三角形解决实际测高问题，解题思路如下：首先，根据垂直于地面的线段与地面夹角为直角，结合同一光线与地面的夹角相等的特点，可找到两组相似三角形：△ABE与△DOE相似，△ABF与△COF相似；其次，两组相似三角形的比例式中都包含待求的围墙高度AB，以及公共未知量OB（围墙底部B到O点的水平距离），因此可以通过相似三角形对应边成比例的性质，列出两个关于AB和OB的等式；最后联立两个等式解方程组，即可求出AB的高度。
【解析】
如答图3-6-2，连接CD。
由题意得：AB⊥BF，DO⊥BF，
∴∠ABO=∠DOE=90°。
∵∠BEA=∠OED（同一光线与地面的夹角相等，为公共角），
∴△ABE ∽ △DOE，
∴$\frac{AB}{DO}=\frac{BE}{OE}$。
代入已知OD=1 m，OE=0.8 m，BE=OB+OE=OB+0.8，得：
$\frac{AB}{1}=\frac{OB+0.8}{0.8}$，
整理得：$AB=\frac{5}{4}OB+1$ ①。
同理，∠CFO=∠AFB（同一光线与地面的夹角相等，为公共角），∠ABF=∠COF=90°，
∴△ABF ∽ △COF，
∴$\frac{AB}{CO}=\frac{BF}{OF}$。
代入已知CO=CD+OD=1.5+1=2.5 m，OF=5 m，BF=OB+OF=OB+5，得：
$\frac{AB}{2.5}=\frac{OB+5}{5}$，
整理得：$AB=\frac{1}{2}OB+\frac{5}{2}$ ②。
联立①②，得方程：$\frac{5}{4}OB+1=\frac{1}{2}OB+\frac{5}{2}$，
解得：OB=2。
将OB=2代入①，得：$AB=\frac{5}{4}×2+1=\frac{7}{2}$。
【答案】
围墙AB的高度为$\frac{7}{2}\mathrm{m}$。
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；相似三角形应用
【点评】
本题结合生活中的测高场景考查相似三角形的实际应用，解题关键是结合光线的特点找到两组相似三角形，通过设未知量建立方程求解，能有效提升学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题是利用相似三角形解决实际测高问题，解题思路如下：首先，根据垂直于地面的线段与地面夹角为直角，结合同一光线与地面的夹角相等的特点，可找到两组相似三角形：△ABE与△DOE相似，△ABF与△COF相似；其次，两组相似三角形的比例式中都包含待求的围墙高度AB，以及公共未知量OB（围墙底部B到O点的水平距离），因此可以通过相似三角形对应边成比例的性质，列出两个关于AB和OB的等式；最后联立两个等式解方程组，即可求出AB的高度。
【解析】
如答图3-6-2，连接CD。
由题意得：AB⊥BF，DO⊥BF，
∴∠ABO=∠DOE=90°。
∵∠BEA=∠OED（同一光线与地面的夹角相等，为公共角），
∴△ABE ∽ △DOE，
∴$\frac{AB}{DO}=\frac{BE}{OE}$。
代入已知OD=1 m，OE=0.8 m，BE=OB+OE=OB+0.8，得：
$\frac{AB}{1}=\frac{OB+0.8}{0.8}$，
整理得：$AB=\frac{5}{4}OB+1$ ①。
同理，∠CFO=∠AFB（同一光线与地面的夹角相等，为公共角），∠ABF=∠COF=90°，
∴△ABF ∽ △COF，
∴$\frac{AB}{CO}=\frac{BF}{OF}$。
代入已知CO=CD+OD=1.5+1=2.5 m，OF=5 m，BF=OB+OF=OB+5，得：
$\frac{AB}{2.5}=\frac{OB+5}{5}$，
整理得：$AB=\frac{1}{2}OB+\frac{5}{2}$ ②。
联立①②，得方程：$\frac{5}{4}OB+1=\frac{1}{2}OB+\frac{5}{2}$，
解得：OB=2。
将OB=2代入①，得：$AB=\frac{5}{4}×2+1=\frac{7}{2}$。
【答案】
围墙AB的高度为$\frac{7}{2}\mathrm{m}$。
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；相似三角形应用
【点评】
本题结合生活中的测高场景考查相似三角形的实际应用，解题关键是结合光线的特点找到两组相似三角形，通过设未知量建立方程求解，能有效提升学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
9. 一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱AB的高度，设计了以下三个方案：
方案一：如图3-6-6①，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1 m到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4 m（即$FC=4\ \mathrm{m}$）放在F处。从点F处向后后退1.8 m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度ED，GH均为1.5 m，已知点B，C，D，F，H在同一水平线上，且$GH⊥ FH$，$ED⊥ CD$，$AB⊥ BH$。（平面镜的大小忽略不计）
方案二：如图3-6-6②，利用标杆CD测量灯柱的高度。已知标杆CD高1.5 m，测得$DE=2\ \mathrm{m}$，$CE=2.5\ \mathrm{m}$。
方案三：如图3-6-6③，自制三角板的边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上。已知两条边$CE=0.4\ \mathrm{m}$，$EF=0.2\ \mathrm{m}$，测得$DC=0.3\ \mathrm{m}$。
三种方案中，方案
方案一：如图3-6-6①，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1 m到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4 m（即$FC=4\ \mathrm{m}$）放在F处。从点F处向后后退1.8 m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度ED，GH均为1.5 m，已知点B，C，D，F，H在同一水平线上，且$GH⊥ FH$，$ED⊥ CD$，$AB⊥ BH$。（平面镜的大小忽略不计）
方案二：如图3-6-6②，利用标杆CD测量灯柱的高度。已知标杆CD高1.5 m，测得$DE=2\ \mathrm{m}$，$CE=2.5\ \mathrm{m}$。
方案三：如图3-6-6③，自制三角板的边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上。已知两条边$CE=0.4\ \mathrm{m}$，$EF=0.2\ \mathrm{m}$，测得$DC=0.3\ \mathrm{m}$。
三种方案中，方案
二、三
不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度。答案
9. 解:二、三
∵$∠ ECD=∠ ACB$,$∠ EDC=∠ ABC$,
∴$△ ABC ∽ △ EDC$,
∴$\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DC}$,
∴$AB=\frac{BC· ED}{CD}=1.5BC$。
设$BC=x\ \mathrm{m}$,则$AB=1.5x\ \mathrm{m}$。
同理可得$△ ABF ∽ △ GHF$,
∴$\frac{AB}{GH}=\frac{BF}{HF}$。
∵$AB=1.5x\ \mathrm{m}$,$BF=BC+CF=(4+x)\mathrm{m}$,$GH=1.5\ \mathrm{m}$,$FH=1.8\ \mathrm{m}$,
∴$\frac{1.5x}{1.5}=\frac{4+x}{1.8}$,解得$x=5$,
∴$AB=1.5×5=7.5(\mathrm{m})$。
故灯柱的高度为7.5 m。
∵$∠ ECD=∠ ACB$,$∠ EDC=∠ ABC$,
∴$△ ABC ∽ △ EDC$,
∴$\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DC}$,
∴$AB=\frac{BC· ED}{CD}=1.5BC$。
设$BC=x\ \mathrm{m}$,则$AB=1.5x\ \mathrm{m}$。
同理可得$△ ABF ∽ △ GHF$,
∴$\frac{AB}{GH}=\frac{BF}{HF}$。
∵$AB=1.5x\ \mathrm{m}$,$BF=BC+CF=(4+x)\mathrm{m}$,$GH=1.5\ \mathrm{m}$,$FH=1.8\ \mathrm{m}$,
∴$\frac{1.5x}{1.5}=\frac{4+x}{1.8}$,解得$x=5$,
∴$AB=1.5×5=7.5(\mathrm{m})$。
故灯柱的高度为7.5 m。
解析
【分析】
首先逐一判断三个方案的可行性：方案二仅给出标杆所在小三角形的边长，未测得灯柱底部到标杆的水平距离，无法建立灯柱高度和已知量的关系，不可行；方案三仅给出三角板参数和DC高度，未测得水平方向的对应测量值，也无法求出灯柱高度，不可行，仅方案一可行。方案一利用平面镜反射入射角等于反射角的规律，可得到两组相等的角，结合垂直条件证明两对相似三角形，设BC长度为未知数，根据相似三角形对应边成比例列方程即可求解灯柱高度。
【解析】
方案二、三不可行，仅方案一可求出灯柱高度：
根据平面镜反射规律可得$∠ ACB=∠ ECD$，
$\because AB⊥ BH,ED⊥ BH$，$\therefore ∠ ABC=∠ EDC=90°$，
$\therefore △ ABC ∽ △ EDC$，
$\therefore \frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DC}$，
已知$ED=1.5\ \mathrm{m},DC=1\ \mathrm{m}$，代入得$\frac{AB}{1.5}=\frac{BC}{1}$，即$AB=1.5BC$。
设$BC=x\ \mathrm{m}$，则$AB=1.5x\ \mathrm{m}$。
同理，第二次反射可得$∠ AFB=∠ GFH$，$∠ ABF=∠ GHF=90°$，
$\therefore △ ABF ∽ △ GHF$，
$\therefore \frac{AB}{GH}=\frac{BF}{HF}$。
其中$BF=BC+CF=(x+4)\ \mathrm{m},GH=1.5\ \mathrm{m},FH=1.8\ \mathrm{m}$，代入得：
$\frac{1.5x}{1.5}=\frac{x+4}{1.8}$，
解得$x=5$，
$\therefore AB=1.5×5=7.5(\mathrm{m})$。
【答案】
二、三；灯柱的高度为$\boxed{7.5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的应用，光的反射定律，列方程解应用题
【点评】
本题结合实际测高场景，既考查了方案可行性的分析判断，又考查了相似三角形的判定和性质的实际应用，需要学生跨学科结合物理反射规律与数学相似知识解题，有利于提升知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
首先逐一判断三个方案的可行性：方案二仅给出标杆所在小三角形的边长，未测得灯柱底部到标杆的水平距离，无法建立灯柱高度和已知量的关系，不可行；方案三仅给出三角板参数和DC高度，未测得水平方向的对应测量值，也无法求出灯柱高度，不可行，仅方案一可行。方案一利用平面镜反射入射角等于反射角的规律，可得到两组相等的角，结合垂直条件证明两对相似三角形，设BC长度为未知数，根据相似三角形对应边成比例列方程即可求解灯柱高度。
【解析】
方案二、三不可行，仅方案一可求出灯柱高度：
根据平面镜反射规律可得$∠ ACB=∠ ECD$，
$\because AB⊥ BH,ED⊥ BH$，$\therefore ∠ ABC=∠ EDC=90°$，
$\therefore △ ABC ∽ △ EDC$，
$\therefore \frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DC}$，
已知$ED=1.5\ \mathrm{m},DC=1\ \mathrm{m}$，代入得$\frac{AB}{1.5}=\frac{BC}{1}$，即$AB=1.5BC$。
设$BC=x\ \mathrm{m}$，则$AB=1.5x\ \mathrm{m}$。
同理，第二次反射可得$∠ AFB=∠ GFH$，$∠ ABF=∠ GHF=90°$，
$\therefore △ ABF ∽ △ GHF$，
$\therefore \frac{AB}{GH}=\frac{BF}{HF}$。
其中$BF=BC+CF=(x+4)\ \mathrm{m},GH=1.5\ \mathrm{m},FH=1.8\ \mathrm{m}$，代入得：
$\frac{1.5x}{1.5}=\frac{x+4}{1.8}$，
解得$x=5$，
$\therefore AB=1.5×5=7.5(\mathrm{m})$。
【答案】
二、三；灯柱的高度为$\boxed{7.5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的应用，光的反射定律，列方程解应用题
【点评】
本题结合实际测高场景，既考查了方案可行性的分析判断，又考查了相似三角形的判定和性质的实际应用，需要学生跨学科结合物理反射规律与数学相似知识解题，有利于提升知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
