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1. 下列说法正确的是(
A.若$a:b=c:d$，则$ac=bd$
B.相似三角形的周长比等于相似比的平方
C.若点C是线段AB的黄金分割点，则$\frac{BC}{AB}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
D.经过位似多边形对应顶点的直线一定交于同一点
D
)。A.若$a:b=c:d$，则$ac=bd$
B.相似三角形的周长比等于相似比的平方
C.若点C是线段AB的黄金分割点，则$\frac{BC}{AB}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
D.经过位似多边形对应顶点的直线一定交于同一点
答案
1.D
解析
【分析】
本题是几何基础概念辨析题，解题时需逐一对应各选项涉及的知识点，逐个验证正误：首先回忆比例的基本性质判断选项A，再结合相似三角形的周长性质判断选项B，随后根据黄金分割的定义注意分类讨论判断选项C，最后依据位似图形的核心特征判断选项D，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据比例的基本性质，若$a:b=c:d$，则内项之积等于外项之积，即$ad=bc$，而非$ac=bd$，故A错误；
B选项：相似三角形的周长比等于相似比，面积比才等于相似比的平方，故B错误；
C选项：若点C是线段AB的黄金分割点，未说明BC是较长线段还是较短线段：若BC为较长线段，则$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；若BC为较短线段，才有$\frac{BC}{AB}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，结论不唯一，故C错误；
D选项：根据位似多边形的定义，位似多边形对应顶点的连线一定交于同一点（即位似中心），故D正确。
【答案】
D
【知识点】
比例的基本性质；相似三角形的性质；位似图形的定义
【点评】
本题侧重考查基础概念的细节掌握，容易混淆相似三角形周长比和面积比的对应关系，也容易忽略黄金分割的两种情况而错选，学习时要准确记清各类几何概念的完整内容，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.7
本题是几何基础概念辨析题，解题时需逐一对应各选项涉及的知识点，逐个验证正误：首先回忆比例的基本性质判断选项A，再结合相似三角形的周长性质判断选项B，随后根据黄金分割的定义注意分类讨论判断选项C，最后依据位似图形的核心特征判断选项D，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据比例的基本性质，若$a:b=c:d$，则内项之积等于外项之积，即$ad=bc$，而非$ac=bd$，故A错误；
B选项：相似三角形的周长比等于相似比，面积比才等于相似比的平方，故B错误；
C选项：若点C是线段AB的黄金分割点，未说明BC是较长线段还是较短线段：若BC为较长线段，则$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；若BC为较短线段，才有$\frac{BC}{AB}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，结论不唯一，故C错误；
D选项：根据位似多边形的定义，位似多边形对应顶点的连线一定交于同一点（即位似中心），故D正确。
【答案】
D
【知识点】
比例的基本性质；相似三角形的性质；位似图形的定义
【点评】
本题侧重考查基础概念的细节掌握，容易混淆相似三角形周长比和面积比的对应关系，也容易忽略黄金分割的两种情况而错选，学习时要准确记清各类几何概念的完整内容，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.7
2. 如图 3-1,E 是平行四边形 ABCD 的 BA 边的延长线上的一点,CE 交 AD 于点 F。下列各式错误的是(
A.$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{FC}$
B.$\frac{AE}{CD}=\frac{AF}{FD}$
C.$\frac{CF}{CE}=\frac{DF}{BC}$
D.$\frac{S_{△ EAF}}{S_{△ EBC}}=\frac{AF}{BC}$
图 3-1 图 3-2
D
)。A.$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{FC}$
B.$\frac{AE}{CD}=\frac{AF}{FD}$
C.$\frac{CF}{CE}=\frac{DF}{BC}$
D.$\frac{S_{△ EAF}}{S_{△ EBC}}=\frac{AF}{BC}$
图 3-1 图 3-2
答案
2.D
解析
【分析】
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，可得到图中的两对相似三角形：△EAF∽△EBC、△EAF∽△CDF，再结合相似三角形对应边成比例、面积比等于相似比平方的性质，逐一推导验证四个选项的正误即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC。
验证A选项：
由AD//BC可得△EAF∽△EBC，
∴$\frac{AE}{EB}=\frac{EF}{EC}$，代入EB=AE+AB、EC=EF+FC交叉化简，可得$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{FC}$，A正确。
验证B选项：
由BE//CD可得△EAF∽△CDF，
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AE}{CD}=\frac{AF}{FD}$，B正确。
验证C选项：
由△EAF∽△CDF得$\frac{EF}{FC}=\frac{AF}{FD}$，根据合比性质得$\frac{EF+FC}{FC}=\frac{AF+FD}{FD}$，即$\frac{CE}{CF}=\frac{AD}{DF}$，
又
∵AD=BC，交换比例内项可得$\frac{CF}{CE}=\frac{DF}{BC}$，C正确。
验证D选项：
由△EAF∽△EBC，相似比为$\frac{AF}{BC}$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$\frac{S_{△EAF}}{S_{△EBC}}=(\frac{AF}{BC})^2≠\frac{AF}{BC}$，D错误。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；相似三角形面积比规律
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的基础题，解题的关键是准确识别图中的相似三角形，结合比例的性质推导边的比例关系，要注意相似三角形的面积比是相似比的平方，不要和周长比的规律混淆。
【难度系数】
0.7
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，可得到图中的两对相似三角形：△EAF∽△EBC、△EAF∽△CDF，再结合相似三角形对应边成比例、面积比等于相似比平方的性质，逐一推导验证四个选项的正误即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC。
验证A选项：
由AD//BC可得△EAF∽△EBC，
∴$\frac{AE}{EB}=\frac{EF}{EC}$，代入EB=AE+AB、EC=EF+FC交叉化简，可得$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{FC}$，A正确。
验证B选项：
由BE//CD可得△EAF∽△CDF，
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AE}{CD}=\frac{AF}{FD}$，B正确。
验证C选项：
由△EAF∽△CDF得$\frac{EF}{FC}=\frac{AF}{FD}$，根据合比性质得$\frac{EF+FC}{FC}=\frac{AF+FD}{FD}$，即$\frac{CE}{CF}=\frac{AD}{DF}$，
又
∵AD=BC，交换比例内项可得$\frac{CF}{CE}=\frac{DF}{BC}$，C正确。
验证D选项：
由△EAF∽△EBC，相似比为$\frac{AF}{BC}$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$\frac{S_{△EAF}}{S_{△EBC}}=(\frac{AF}{BC})^2≠\frac{AF}{BC}$，D错误。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；相似三角形面积比规律
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的基础题，解题的关键是准确识别图中的相似三角形，结合比例的性质推导边的比例关系，要注意相似三角形的面积比是相似比的平方，不要和周长比的规律混淆。
【难度系数】
0.7
3. 如图3-2,在$△ ABC$中,$AM:MD=3,BD:DC=2:3$,则$AE:EC=$(
A.$8:5$
B.$5:4$
C.$6:5$
D.$7:4$
C
)。A.$8:5$
B.$5:4$
C.$6:5$
D.$7:4$
答案
3.C
解析
【分析】要求AE:EC的比值，可通过作平行线构造平行线分线段成比例的模型，将已知的线段比例关系转化到AC边上的线段比例。首先过D作DF//BE交AC于F，分别在△ADF和△BCE中利用平行线分线段成比例定理，得到AE与EF、EF与FC的比例关系，最后统一用同一个参数表示各线段长度，计算AE与EC的比值即可。
【解析】解：过点D作DF//BE，交AC于点F。
1. 在△ADF中，
∵DF//BE，根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{AE}{EF}=\frac{AM}{MD}$。
已知$AM:MD=3$，即$\frac{AM}{MD}=\frac{3}{1}$，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{3}{1}$，即$AE=3EF$。
2. 在△BCE中，
∵DF//BE，根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{BD}{DC}=\frac{EF}{FC}$。
已知$BD:DC=2:3$，即$\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{EF}{FC}=\frac{2}{3}$，即$FC=\frac{3}{2}EF$。
3. 计算$EC$的长度：$EC=EF+FC=EF+\frac{3}{2}EF=\frac{5}{2}EF$。
4. 求比值：$\frac{AE}{EC}=\frac{3EF}{\frac{5}{2}EF}=\frac{6}{5}$，即$AE:EC=6:5$。
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例，比例的性质
【点评】本题主要考查利用平行线分线段成比例求线段比值，解题关键是合理作出辅助线构造平行关系，将已知比例转化为所求线段的比例，属于线段比例问题的常考题型。
【难度系数】0.6
【解析】解：过点D作DF//BE，交AC于点F。
1. 在△ADF中，
∵DF//BE，根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{AE}{EF}=\frac{AM}{MD}$。
已知$AM:MD=3$，即$\frac{AM}{MD}=\frac{3}{1}$，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{3}{1}$，即$AE=3EF$。
2. 在△BCE中，
∵DF//BE，根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{BD}{DC}=\frac{EF}{FC}$。
已知$BD:DC=2:3$，即$\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{EF}{FC}=\frac{2}{3}$，即$FC=\frac{3}{2}EF$。
3. 计算$EC$的长度：$EC=EF+FC=EF+\frac{3}{2}EF=\frac{5}{2}EF$。
4. 求比值：$\frac{AE}{EC}=\frac{3EF}{\frac{5}{2}EF}=\frac{6}{5}$，即$AE:EC=6:5$。
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例，比例的性质
【点评】本题主要考查利用平行线分线段成比例求线段比值，解题关键是合理作出辅助线构造平行关系，将已知比例转化为所求线段的比例，属于线段比例问题的常考题型。
【难度系数】0.6
4. 如图3-3，在$△ ABC$中，D，E分别是边AB，AC上的点，且$AD=2$，$BD=1$，$DE// BC$，则下列说法不正确的是（
A.$AE:EC=2:1$
B.$△ ADE ∽ △ ABC$
C.$DE=\dfrac{2}{3}BC$
D.$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=2:3$
D
）。A.$AE:EC=2:1$
B.$△ ADE ∽ △ ABC$
C.$DE=\dfrac{2}{3}BC$
D.$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=2:3$
答案
4.D
解析
【分析】
看到三角形内有平行于一边的线段，首先想到“A”型相似模型，第一步先证明△ADE与△ABC相似，第二步根据已知线段长度计算两三角形的相似比，第三步结合相似三角形对应边成比例、面积比等于相似比的平方的性质，逐一验证四个选项，选出说法错误的选项即可。
【解析】
解：
∵DE//BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
又
∵∠A=∠A（公共角）
∴△ADE∽△ABC，故B选项说法正确，不符合题意。
由AD=2，BD=1，得AB=AD+BD=3，因此两三角形的相似比为$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$
∴AE:EC=2:(3-2)=2:1，故A选项说法正确，不符合题意；
$DE=\frac{2}{3}BC$，故C选项说法正确，不符合题意；
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ADE}:S_{△ABC}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}=4:9≠2:3$，故D选项说法错误，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，核心考查“A”型相似的判定与性质，解题时要注意区分相似三角形的边长比和面积比的关系，避免直接将相似比当作面积比导致判断错误。
【难度系数】
0.8
看到三角形内有平行于一边的线段，首先想到“A”型相似模型，第一步先证明△ADE与△ABC相似，第二步根据已知线段长度计算两三角形的相似比，第三步结合相似三角形对应边成比例、面积比等于相似比的平方的性质，逐一验证四个选项，选出说法错误的选项即可。
【解析】
解：
∵DE//BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
又
∵∠A=∠A（公共角）
∴△ADE∽△ABC，故B选项说法正确，不符合题意。
由AD=2，BD=1，得AB=AD+BD=3，因此两三角形的相似比为$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$
∴AE:EC=2:(3-2)=2:1，故A选项说法正确，不符合题意；
$DE=\frac{2}{3}BC$，故C选项说法正确，不符合题意；
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ADE}:S_{△ABC}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}=4:9≠2:3$，故D选项说法错误，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，核心考查“A”型相似的判定与性质，解题时要注意区分相似三角形的边长比和面积比的关系，避免直接将相似比当作面积比导致判断错误。
【难度系数】
0.8
5. 我们把常用的A4纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”。图3-4是一张规格为A4的矩形纸片AB-CD，将其长边对折(EF为折痕)，得到两个全等的A5矩形纸片，且A4，A5这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为。。
答案
5.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
要解决本题，我们可以利用相似多边形对应边成比例的性质逐步推导：①先设出A4矩形的短边、长边长度，明确“白银比”是短边与长边的比值；②分析对折后得到的A5矩形的长、宽，确定两个矩形的对应边；③根据相似多边形的性质列出比例式，化简计算即可得到白银比。
【解析】
设A4矩形ABCD的短边长为$a$，长边长为$b$，则“白银比”为$\frac{a}{b}$。
将A4矩形长边对折后得到的A5矩形，长等于原矩形的短边$a$，宽等于原矩形长边的一半$\frac{b}{2}$。
∵A4矩形与A5矩形相似，根据相似多边形对应边成比例的性质可得：
$\frac{b}{a}=\frac{a}{\frac{b}{2}}$
交叉相乘得：$a^2=\frac{b^2}{2}$，即$\frac{a^2}{b^2}=\frac{1}{2}$。
∵边长均为正数，
∴$\frac{a}{b}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
相似多边形的性质、比例运算、二次根式化简
【点评】
本题结合生活中常见的A4纸场景考查相似多边形的实际应用，解题的核心是找准对折后新矩形与原矩形的边的对应关系，再结合相似性质列等式求解，注重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
要解决本题，我们可以利用相似多边形对应边成比例的性质逐步推导：①先设出A4矩形的短边、长边长度，明确“白银比”是短边与长边的比值；②分析对折后得到的A5矩形的长、宽，确定两个矩形的对应边；③根据相似多边形的性质列出比例式，化简计算即可得到白银比。
【解析】
设A4矩形ABCD的短边长为$a$，长边长为$b$，则“白银比”为$\frac{a}{b}$。
将A4矩形长边对折后得到的A5矩形，长等于原矩形的短边$a$，宽等于原矩形长边的一半$\frac{b}{2}$。
∵A4矩形与A5矩形相似，根据相似多边形对应边成比例的性质可得：
$\frac{b}{a}=\frac{a}{\frac{b}{2}}$
交叉相乘得：$a^2=\frac{b^2}{2}$，即$\frac{a^2}{b^2}=\frac{1}{2}$。
∵边长均为正数，
∴$\frac{a}{b}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
相似多边形的性质、比例运算、二次根式化简
【点评】
本题结合生活中常见的A4纸场景考查相似多边形的实际应用，解题的核心是找准对折后新矩形与原矩形的边的对应关系，再结合相似性质列等式求解，注重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
6. 如图 3-5,在矩形 ABCD 中,E,F 分别在AD,BC 上,将该矩形沿 EF 折叠,使点 A 的对应点 P 落在 CD 上,点 B 的对应点为点 G,PG 交 BC 于点 H。
(1)求证:$△ EDP ∽ △ PCH$；
(2)若 P 为 CD 中点,且 $AB=2,BC=3$,求 GH 的长。
图 3-5
(1)求证:$△ EDP ∽ △ PCH$；
(2)若 P 为 CD 中点,且 $AB=2,BC=3$,求 GH 的长。
图 3-5
答案
6.(1)证明:
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠D=∠C=90°。
∵将该矩形沿 EF 折叠,点 A 的对应点 P 落在 CD 上，
∴∠EPG=∠A=90°，
∴∠DEP=90°−∠DPE=∠CPH，
∴△EDP∽△PCH。
(2)解:
∵CD=AB=2,AD=BC=3,P 为 CD 中点，
∴PD=PC=$\frac{1}{2}$CD=1,PE=AE=3−ED。
∵$PD^2+ED^2=PE^2$,
∴$1^2+ED^2=(3−ED)^2$，
∴解得$ED=\frac{4}{3}$,
∴$PE=3−\frac{4}{3}=\frac{5}{3}$。
∵△EDP∽△PCH，
∴$\frac{PE}{HP}=\frac{ED}{PC}=\frac{4}{3}$,
∴$HP=\frac{3}{4}PE=\frac{3}{4}×\frac{5}{3}=\frac{5}{4}$。
∵PG=AB=2,
∴$GH=PG−HP=2−\frac{5}{4}=\frac{3}{4}$，
∴GH 的长为$\frac{3}{4}$。
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠D=∠C=90°。
∵将该矩形沿 EF 折叠,点 A 的对应点 P 落在 CD 上，
∴∠EPG=∠A=90°，
∴∠DEP=90°−∠DPE=∠CPH，
∴△EDP∽△PCH。
(2)解:
∵CD=AB=2,AD=BC=3,P 为 CD 中点，
∴PD=PC=$\frac{1}{2}$CD=1,PE=AE=3−ED。
∵$PD^2+ED^2=PE^2$,
∴$1^2+ED^2=(3−ED)^2$，
∴解得$ED=\frac{4}{3}$,
∴$PE=3−\frac{4}{3}=\frac{5}{3}$。
∵△EDP∽△PCH，
∴$\frac{PE}{HP}=\frac{ED}{PC}=\frac{4}{3}$,
∴$HP=\frac{3}{4}PE=\frac{3}{4}×\frac{5}{3}=\frac{5}{4}$。
∵PG=AB=2,
∴$GH=PG−HP=2−\frac{5}{4}=\frac{3}{4}$，
∴GH 的长为$\frac{3}{4}$。
解析
【分析】
(1) 要证明△EDP∽△PCH，先明确两个三角形均为直角三角形，已有一组直角相等，只需再推导一组锐角相等即可。结合矩形和折叠的性质，利用同角的余角相等得到∠DEP=∠CPH，即可满足两角对应相等的相似判定条件。
(2) 求GH的长，首先利用折叠的性质得PE=AE，在Rt△EDP中通过勾股定理求出ED的长度，再借助第一问的相似三角形对应边成比例求出PH的长度，最后根据折叠性质得PG=AB，用PG减去PH即可得到GH的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠D=∠C=90°，
∵ 将矩形沿EF折叠，点A的对应点P落在CD上，
∴ ∠EPG=∠A=90°，
∴ ∠DPE + ∠CPH = 180° - ∠EPG = 90°，
又
∵ Rt△EDP中，∠DEP + ∠DPE = 90°，
∴ ∠DEP=∠CPH，
∴ △EDP∽△PCH。
(2) 解：
∵ 矩形ABCD中，AB=2，BC=3，
∴ CD=AB=2，AD=BC=3，
∵ P为CD中点，
∴ PD=PC=$\frac{1}{2}$CD=1，
由折叠性质得：PE=AE=3-ED，
在Rt△EDP中，由勾股定理得$PD^2+ED^2=PE^2$，
代入得：$1^2+ED^2=(3-ED)^2$，
解得$ED=\frac{4}{3}$，
∴ $PE=3-\frac{4}{3}=\frac{5}{3}$，
∵ △EDP∽△PCH，
∴ $\frac{ED}{PC}=\frac{PE}{HP}$，代入得$\frac{\frac{4}{3}}{1}=\frac{\frac{5}{3}}{HP}$，
解得$HP=\frac{5}{4}$，
由折叠性质得PG=AB=2，
∴ $GH=PG-HP=2-\frac{5}{4}=\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) GH的长为$\frac{3}{4}$
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质
【点评】
本题属于矩形折叠的常规综合题，解题关键是利用折叠的性质找到相等的边和角，结合勾股定理、相似三角形的性质计算边长，能有效考察几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△EDP∽△PCH，先明确两个三角形均为直角三角形，已有一组直角相等，只需再推导一组锐角相等即可。结合矩形和折叠的性质，利用同角的余角相等得到∠DEP=∠CPH，即可满足两角对应相等的相似判定条件。
(2) 求GH的长，首先利用折叠的性质得PE=AE，在Rt△EDP中通过勾股定理求出ED的长度，再借助第一问的相似三角形对应边成比例求出PH的长度，最后根据折叠性质得PG=AB，用PG减去PH即可得到GH的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠D=∠C=90°，
∵ 将矩形沿EF折叠，点A的对应点P落在CD上，
∴ ∠EPG=∠A=90°，
∴ ∠DPE + ∠CPH = 180° - ∠EPG = 90°，
又
∵ Rt△EDP中，∠DEP + ∠DPE = 90°，
∴ ∠DEP=∠CPH，
∴ △EDP∽△PCH。
(2) 解：
∵ 矩形ABCD中，AB=2，BC=3，
∴ CD=AB=2，AD=BC=3，
∵ P为CD中点，
∴ PD=PC=$\frac{1}{2}$CD=1，
由折叠性质得：PE=AE=3-ED，
在Rt△EDP中，由勾股定理得$PD^2+ED^2=PE^2$，
代入得：$1^2+ED^2=(3-ED)^2$，
解得$ED=\frac{4}{3}$，
∴ $PE=3-\frac{4}{3}=\frac{5}{3}$，
∵ △EDP∽△PCH，
∴ $\frac{ED}{PC}=\frac{PE}{HP}$，代入得$\frac{\frac{4}{3}}{1}=\frac{\frac{5}{3}}{HP}$，
解得$HP=\frac{5}{4}$，
由折叠性质得PG=AB=2，
∴ $GH=PG-HP=2-\frac{5}{4}=\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) GH的长为$\frac{3}{4}$
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质
【点评】
本题属于矩形折叠的常规综合题，解题关键是利用折叠的性质找到相等的边和角，结合勾股定理、相似三角形的性质计算边长，能有效考察几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
7. 我国非物质文化遗产“皮影戏”又称“影子戏”，射灯发出的光线沿直线传播照在不透明的皮影人上，在皮影人后面的屏幕上形成中心投影，通过操纵皮影人来完成各种场景的表演。如图3-6，已知皮影人在C处，屏幕在E处，皮影人与屏幕相距1 m，射灯A与皮影人相距2 m。若保持皮影人在C处位置不变，要使屏幕上的影子的高DE增大一倍至FE，求射灯A应向皮影人靠近至G处的距离AG。
答案
7. 解:由题意得,$BC// DE$,$AC=2\ \mathrm{m}$,$CE=1\ \mathrm{m}$,$EF=2DE$。
∴∠ABC=∠ADE,∠ACB=∠AED，
∴△ABC∽△ADE，
∴$\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{BC}{EF}=\frac{1}{3}$。
∵$BC// DE$,
∴∠GBC=∠F,∠GCB=∠E，
∴△BCG∽△FEG,
∴$\frac{CG}{EG}=\frac{BC}{FE}=\frac{1}{3}$，
∴$CG=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}\ \mathrm{m}$，
∴$AG=AC−CG=\frac{3}{2}\ \mathrm{m}$。
∴∠ABC=∠ADE,∠ACB=∠AED，
∴△ABC∽△ADE，
∴$\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{BC}{EF}=\frac{1}{3}$。
∵$BC// DE$,
∴∠GBC=∠F,∠GCB=∠E，
∴△BCG∽△FEG,
∴$\frac{CG}{EG}=\frac{BC}{FE}=\frac{1}{3}$，
∴$CG=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}\ \mathrm{m}$，
∴$AG=AC−CG=\frac{3}{2}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
本题是中心投影结合相似三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先由BC与DE平行，可判定△ABC与△ADE相似，结合已知的AC、CE长度，求出BC和DE的比值；再根据FE是DE的2倍，得到BC与FE的比值；当射灯移到G处后，BC仍与FE平行，可判定△GBC与△FEG相似，利用相似三角形对应边成比例求出CG的长度，最后用AC的长度减去CG的长度，即可得到AG的距离。
【解析】
由题意得，$BC// DE$，$AC=2\ \mathrm{m}$，$CE=1\ \mathrm{m}$，$EF=2DE$。
∵$BC// DE$，
∴$∠ ABC=∠ ADE$，$∠ ACB=∠ AED$，
∴$△ ABC∽△ ADE$，
∴$\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}=\frac{AC}{AC+CE}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$，
结合$EF=2DE$，可得$\frac{BC}{EF}=\frac{1}{3}$。
∵$BC// EF$，
∴$∠ GBC=∠ F$，$∠ GCB=∠ E$，
∴$△ BCG∽△ FEG$，
∴$\frac{CG}{EG}=\frac{BC}{FE}=\frac{1}{3}$，即$EG=3CG$，
又
∵$EG=CG+CE$，
∴$3CG=CG+1$，解得$CG=\frac{1}{2}\ \mathrm{m}$，
∴$AG=AC-CG=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{3}{2}\ \mathrm{m}$（或1.5 m）
【知识点】
相似三角形的判定与性质；中心投影；平行线的性质
【点评】
本题以传统非物质文化遗产皮影戏为命题背景，将数学知识与生活场景结合，考查相似三角形在中心投影问题中的应用，解题的关键是准确找到相似三角形，理清对应边的比例关系，避免比例对应错误。
【难度系数】
0.7
本题是中心投影结合相似三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先由BC与DE平行，可判定△ABC与△ADE相似，结合已知的AC、CE长度，求出BC和DE的比值；再根据FE是DE的2倍，得到BC与FE的比值；当射灯移到G处后，BC仍与FE平行，可判定△GBC与△FEG相似，利用相似三角形对应边成比例求出CG的长度，最后用AC的长度减去CG的长度，即可得到AG的距离。
【解析】
由题意得，$BC// DE$，$AC=2\ \mathrm{m}$，$CE=1\ \mathrm{m}$，$EF=2DE$。
∵$BC// DE$，
∴$∠ ABC=∠ ADE$，$∠ ACB=∠ AED$，
∴$△ ABC∽△ ADE$，
∴$\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}=\frac{AC}{AC+CE}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$，
结合$EF=2DE$，可得$\frac{BC}{EF}=\frac{1}{3}$。
∵$BC// EF$，
∴$∠ GBC=∠ F$，$∠ GCB=∠ E$，
∴$△ BCG∽△ FEG$，
∴$\frac{CG}{EG}=\frac{BC}{FE}=\frac{1}{3}$，即$EG=3CG$，
又
∵$EG=CG+CE$，
∴$3CG=CG+1$，解得$CG=\frac{1}{2}\ \mathrm{m}$，
∴$AG=AC-CG=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{3}{2}\ \mathrm{m}$（或1.5 m）
【知识点】
相似三角形的判定与性质；中心投影；平行线的性质
【点评】
本题以传统非物质文化遗产皮影戏为命题背景，将数学知识与生活场景结合，考查相似三角形在中心投影问题中的应用，解题的关键是准确找到相似三角形，理清对应边的比例关系，避免比例对应错误。
【难度系数】
0.7
