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8. 如图 3-7,在直角三角形 $ABC$ 中,$∠ C=90°$, $AC=4$,$BC=3$。请用尺规画一个正方形,使它的四个顶点都在直角三角形 $ABC$ 的边上。
(1)请画出一种符合题意的示意图,简述作图步骤；
(2)根据你画出的图形,计算正方形的边长。
图 3-7
(1)请画出一种符合题意的示意图,简述作图步骤；
(2)根据你画出的图形,计算正方形的边长。
图 3-7
答案
8. 解:(1)如
,作∠C 的平分线交 AB 边于点 M,作 CM 的垂直平分线分别交 AC,BC 边于点 N,P,连接 MN,MP,四边形 MNCP 为所求作的正方形。(答案不唯一)(2)
∵四边形 MNCP 为正方形，
∴MN//CP，
∴∠AMN=∠B。
又∠A=∠A,
∴△ANM∽△ACB,
∴$\frac{AN}{AC}=\frac{NM}{CB}$。
令正方形 MNCP 的边长为x，
∵AC=4,BC=3,
∴$\frac{AN}{4}=\frac{x}{3}$,
∴$AN=\frac{4}{3}x$。
∵$AN+NC=AC=4$,
∴$\frac{4}{3}x+x=4$,解得$x=\frac{12}{7}$，
∴正方形的边长为$\frac{12}{7}$。(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 作图思路：要构造四个顶点都在△ABC边上的正方形，我们选择以直角顶点C为正方形的一个顶点，让正方形的两条邻边分别落在AC、BC上，第四个顶点落在AB上。正方形的对角线平分内角，因此∠C的角平分线必定经过正方形在AB上的顶点，先作∠ACB的角平分线交AB于点M；再作CM的垂直平分线得到正方形在AC、BC上的另外两个顶点，即可得到符合要求的正方形。
(2) 计算思路：设正方形边长为x，根据正方形对边平行的性质可得MN//BC，即可证明△ANM和△ACB相似，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，再结合AN+NC=AC的等量关系求解x即可。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 作∠ACB的平分线，交AB边于点M；
② 作线段CM的垂直平分线，分别交AC、BC边于点N、P；
③ 连接MN、MP，四边形MNCP即为所求作的正方形。
(2) 计算过程：
设正方形MNCP的边长为x，
∵ 四边形MNCP为正方形，
∴ MN//BC，$NC=MN=x$，
∴ $∠AMN=∠B$，又$∠A=∠A$，
∴ $△ ANM ∽ △ ACB$，
∴ $\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$。
已知$AC=4$，$BC=3$，代入得$\frac{AN}{4}=\frac{x}{3}$，解得$AN=\frac{4}{3}x$。
又
∵ $AN+NC=AC=4$，
∴ $\frac{4}{3}x + x = 4$，
解得$x=\frac{12}{7}$。
【答案】
(1) 如，作∠C 的平分线交 AB 边于点 M，作 CM 的垂直平分线分别交 AC,BC 边于点 N,P，连接 MN,MP，四边形 MNCP 为所求作的正方形。(答案不唯一)
(2) 正方形的边长为$\frac{12}{7}$。(答案不唯一)
【知识点】
尺规作图，正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，既考查动手操作能力，也考查对正方形、相似三角形相关性质的综合应用能力，解题时要结合图形特征找到等量关系建立方程求解。
【难度系数】
0.6
(1) 作图思路：要构造四个顶点都在△ABC边上的正方形，我们选择以直角顶点C为正方形的一个顶点，让正方形的两条邻边分别落在AC、BC上，第四个顶点落在AB上。正方形的对角线平分内角，因此∠C的角平分线必定经过正方形在AB上的顶点，先作∠ACB的角平分线交AB于点M；再作CM的垂直平分线得到正方形在AC、BC上的另外两个顶点，即可得到符合要求的正方形。
(2) 计算思路：设正方形边长为x，根据正方形对边平行的性质可得MN//BC，即可证明△ANM和△ACB相似，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，再结合AN+NC=AC的等量关系求解x即可。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 作∠ACB的平分线，交AB边于点M；
② 作线段CM的垂直平分线，分别交AC、BC边于点N、P；
③ 连接MN、MP，四边形MNCP即为所求作的正方形。
(2) 计算过程：
设正方形MNCP的边长为x，
∵ 四边形MNCP为正方形，
∴ MN//BC，$NC=MN=x$，
∴ $∠AMN=∠B$，又$∠A=∠A$，
∴ $△ ANM ∽ △ ACB$，
∴ $\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$。
已知$AC=4$，$BC=3$，代入得$\frac{AN}{4}=\frac{x}{3}$，解得$AN=\frac{4}{3}x$。
又
∵ $AN+NC=AC=4$，
∴ $\frac{4}{3}x + x = 4$，
解得$x=\frac{12}{7}$。
【答案】
(1) 如
，作∠C 的平分线交 AB 边于点 M，作 CM 的垂直平分线分别交 AC,BC 边于点 N,P，连接 MN,MP，四边形 MNCP 为所求作的正方形。(答案不唯一)(2) 正方形的边长为$\frac{12}{7}$。(答案不唯一)
【知识点】
尺规作图，正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，既考查动手操作能力，也考查对正方形、相似三角形相关性质的综合应用能力，解题时要结合图形特征找到等量关系建立方程求解。
【难度系数】
0.6
二、拓展性作业
9. 如图 3-8，线段 AB，CD 的端点都在正方形网格的格点上。AB，CD 相交于点 M。若每个小正方形的边长都是 1，$\frac{MC}{MD}$的值为
9. 如图 3-8，线段 AB，CD 的端点都在正方形网格的格点上。AB，CD 相交于点 M。若每个小正方形的边长都是 1，$\frac{MC}{MD}$的值为
$\frac{12}{7}$
。答案
9.$\frac{12}{7}$
解析
【分析】
要求同一直线上线段MC与MD的比值，我们可以借助网格建立平面直角坐标系，利用待定系数法分别求出直线AB、CD的函数解析式，联立解析式求出交点M的坐标，再根据同一直线上线段的长度比等于对应横坐标（或纵坐标）的差之比，即可快速算出比值，避免复杂的长度计算。
【解析】
解：建立平面直角坐标系，以网格左下角格点为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每个小正方形边长为1，可得各点坐标：$D(1,0)$，$C(4,4)$，$A(0,2)$，$B(4,1)$。
1. 求直线$CD$的解析式：
设直线$CD$的解析式为$y=k_1x+b_1$，将$D(1,0)$、$C(4,4)$代入得：
$\begin{cases}k_1 + b_1 = 0 \\4k_1 + b_1 = 4 \end{cases}$
解得：$k_1=\frac{4}{3}$，$b_1=-\frac{4}{3}$，即$y=\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}$。
2. 求直线$AB$的解析式：
设直线$AB$的解析式为$y=k_2x+b_2$，将$A(0,2)$、$B(4,1)$代入得：
$\begin{cases}b_2=2 \\4k_2 + 2 = 1 \end{cases}$
解得：$k_2=-\frac{1}{4}$，$b_2=2$，即$y=-\frac{1}{4}x+2$。
3. 求交点$M$的横坐标：
联立两个解析式：$\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}=-\frac{1}{4}x+2$
两边同乘12消分母得：$16x-16=-3x+24$
解得$x=\frac{40}{19}$。
4. 计算$\frac{MC}{MD}$：
同一直线上线段长度比等于横坐标差的比：
$\frac{MC}{MD}=\frac{x_C - x_M}{x_M - x_D}=\frac{4-\frac{40}{19}}{\frac{40}{19}-1}=\frac{\frac{36}{19}}{\frac{21}{19}}=\frac{36}{21}=\frac{12}{7}$。
【答案】
$\frac{12}{7}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点求解，线段比例计算
【点评】
本题是网格类几何计算的典型题，既可通过坐标法求解，思路直观易操作，也可通过构造相似三角形解答，能很好地考查学生灵活运用不同方法解决几何计算问题的能力。
【难度系数】
0.6
要求同一直线上线段MC与MD的比值，我们可以借助网格建立平面直角坐标系，利用待定系数法分别求出直线AB、CD的函数解析式，联立解析式求出交点M的坐标，再根据同一直线上线段的长度比等于对应横坐标（或纵坐标）的差之比，即可快速算出比值，避免复杂的长度计算。
【解析】
解：建立平面直角坐标系，以网格左下角格点为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每个小正方形边长为1，可得各点坐标：$D(1,0)$，$C(4,4)$，$A(0,2)$，$B(4,1)$。
1. 求直线$CD$的解析式：
设直线$CD$的解析式为$y=k_1x+b_1$，将$D(1,0)$、$C(4,4)$代入得：
$\begin{cases}k_1 + b_1 = 0 \\4k_1 + b_1 = 4 \end{cases}$
解得：$k_1=\frac{4}{3}$，$b_1=-\frac{4}{3}$，即$y=\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}$。
2. 求直线$AB$的解析式：
设直线$AB$的解析式为$y=k_2x+b_2$，将$A(0,2)$、$B(4,1)$代入得：
$\begin{cases}b_2=2 \\4k_2 + 2 = 1 \end{cases}$
解得：$k_2=-\frac{1}{4}$，$b_2=2$，即$y=-\frac{1}{4}x+2$。
3. 求交点$M$的横坐标：
联立两个解析式：$\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}=-\frac{1}{4}x+2$
两边同乘12消分母得：$16x-16=-3x+24$
解得$x=\frac{40}{19}$。
4. 计算$\frac{MC}{MD}$：
同一直线上线段长度比等于横坐标差的比：
$\frac{MC}{MD}=\frac{x_C - x_M}{x_M - x_D}=\frac{4-\frac{40}{19}}{\frac{40}{19}-1}=\frac{\frac{36}{19}}{\frac{21}{19}}=\frac{36}{21}=\frac{12}{7}$。
【答案】
$\frac{12}{7}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点求解，线段比例计算
【点评】
本题是网格类几何计算的典型题，既可通过坐标法求解，思路直观易操作，也可通过构造相似三角形解答，能很好地考查学生灵活运用不同方法解决几何计算问题的能力。
【难度系数】
0.6
10. 在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：
已知:如图 3-9,在$△ ABC$中,点 D 是 BA 边延长线上一动点,点 F 在 BC 上,且$\frac{CF}{BF}=\frac{1}{2}$,连接 DF 交 AC 于点 E。当$\frac{DE}{EF}=a$($a＞0$)时,请求出$\frac{AD}{AB}$的值(用含 a 的代数式表示)。
思考片刻后,同学们纷纷表达自己的想法:
甲:过点 F 作$FG// AB$交 AC 于点 G,构造相似三角形解决问题;
乙:过点 E 作$EG// AB$交 CB 于点 G,构造相似三角形解决问题;
丙:过点 C 作$CG// AB$交 EF 延长线于点 G,构造相似三角形解决问题;
老师说:“这三位同学的想法都可以”。你还有其他解法吗?请写出解答过程。
图 3-9
已知:如图 3-9,在$△ ABC$中,点 D 是 BA 边延长线上一动点,点 F 在 BC 上,且$\frac{CF}{BF}=\frac{1}{2}$,连接 DF 交 AC 于点 E。当$\frac{DE}{EF}=a$($a＞0$)时,请求出$\frac{AD}{AB}$的值(用含 a 的代数式表示)。
思考片刻后,同学们纷纷表达自己的想法:
甲:过点 F 作$FG// AB$交 AC 于点 G,构造相似三角形解决问题;
乙:过点 E 作$EG// AB$交 CB 于点 G,构造相似三角形解决问题;
丙:过点 C 作$CG// AB$交 EF 延长线于点 G,构造相似三角形解决问题;
老师说:“这三位同学的想法都可以”。你还有其他解法吗?请写出解答过程。
图 3-9
答案
10. 解:如
,过点 D 作$DG// BC$交 CA 延长线于点 G。∴∠C=∠G,∠CFE=∠GDE,
∴△GDE∽△CFE。
∴$\frac{GD}{CF}=\frac{ED}{EF}$。
∵$\frac{DE}{EF}=a$,
∴$ED=aEF$。
∴$DG=aFC$。
∵$DG// BC$，
∴∠C=∠G,∠B=∠ADG
∴△ADG∽△ABC,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DG}{BC}$。
∵$\frac{CF}{BF}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{CF}{BC}=\frac{1}{3}$,即$BC=3CF$。
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DG}{BC}=\frac{aCF}{3CF}=\frac{a}{3}$。
(答案不唯一)
解析
【分析】
本题要求用含a的代数式表示$\frac{AD}{AB}$的值，可通过作平行线构造相似三角形，将已知的比例关系和所求的比例关系建立联系。首先过点D作$DG// BC$交CA延长线于点G，先证$△ GDE ∽ △ CFE$，利用已知的$\frac{DE}{EF}=a$得到DG和CF的数量关系；再证$△ ADG ∽ △ ABC$，将$\frac{AD}{AB}$转化为$\frac{DG}{BC}$，最后结合$\frac{CF}{BF}=\frac{1}{2}$得到CF和BC的关系，代入后约去公共量即可得到结果。
【解析】
过点D作$DG// BC$交CA的延长线于点G。
∵$DG// BC$，
∴$∠ C = ∠ G$，$∠ CFE = ∠ GDE$，
∴$△ GDE ∽ △ CFE$，
∴$\frac{GD}{CF}=\frac{ED}{EF}$。
∵$\frac{DE}{EF}=a$，
∴$GD=a· CF$。
又
∵$DG// BC$，
∴$∠ C = ∠ G$，$∠ B = ∠ ADG$，
∴$△ ADG ∽ △ ABC$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DG}{BC}$。
∵$\frac{CF}{BF}=\frac{1}{2}$，即$BF=2CF$，
∴$BC=CF+BF=3CF$。
将$DG=a· CF$、$BC=3CF$代入得：
$\frac{AD}{AB}=\frac{a· CF}{3CF}=\frac{a}{3}$。
【答案】
如,过点 D 作$DG// BC$交 CA 延长线于点 G。
∴∠C=∠G,∠CFE=∠GDE,
∴△GDE∽△CFE。
∴$\frac{GD}{CF}=\frac{ED}{EF}$。
∵$\frac{DE}{EF}=a$,
∴$ED=aEF$。
∴$DG=aFC$。
∵$DG// BC$，
∴∠C=∠G,∠B=∠ADG
∴△ADG∽△ABC,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DG}{BC}$。
∵$\frac{CF}{BF}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{CF}{BC}=\frac{1}{3}$,即$BC=3CF$。
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DG}{BC}=\frac{aCF}{3CF}=\frac{a}{3}$。
(答案不唯一)
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线的性质，比例的性质
【点评】
本题是利用相似三角形求解线段比值的典型习题，核心解题思路是通过作平行线构造相似三角形，将已知比例和所求比例进行转化关联，解法灵活多样，可选择不同的平行线构造方式求解，有助于锻炼辅助线构造和相似性质的应用能力。
【难度系数】
0.6
本题要求用含a的代数式表示$\frac{AD}{AB}$的值，可通过作平行线构造相似三角形，将已知的比例关系和所求的比例关系建立联系。首先过点D作$DG// BC$交CA延长线于点G，先证$△ GDE ∽ △ CFE$，利用已知的$\frac{DE}{EF}=a$得到DG和CF的数量关系；再证$△ ADG ∽ △ ABC$，将$\frac{AD}{AB}$转化为$\frac{DG}{BC}$，最后结合$\frac{CF}{BF}=\frac{1}{2}$得到CF和BC的关系，代入后约去公共量即可得到结果。
【解析】
过点D作$DG// BC$交CA的延长线于点G。
∵$DG// BC$，
∴$∠ C = ∠ G$，$∠ CFE = ∠ GDE$，
∴$△ GDE ∽ △ CFE$，
∴$\frac{GD}{CF}=\frac{ED}{EF}$。
∵$\frac{DE}{EF}=a$，
∴$GD=a· CF$。
又
∵$DG// BC$，
∴$∠ C = ∠ G$，$∠ B = ∠ ADG$，
∴$△ ADG ∽ △ ABC$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DG}{BC}$。
∵$\frac{CF}{BF}=\frac{1}{2}$，即$BF=2CF$，
∴$BC=CF+BF=3CF$。
将$DG=a· CF$、$BC=3CF$代入得：
$\frac{AD}{AB}=\frac{a· CF}{3CF}=\frac{a}{3}$。
【答案】
如
,过点 D 作$DG// BC$交 CA 延长线于点 G。∴∠C=∠G,∠CFE=∠GDE,
∴△GDE∽△CFE。
∴$\frac{GD}{CF}=\frac{ED}{EF}$。
∵$\frac{DE}{EF}=a$,
∴$ED=aEF$。
∴$DG=aFC$。
∵$DG// BC$，
∴∠C=∠G,∠B=∠ADG
∴△ADG∽△ABC,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DG}{BC}$。
∵$\frac{CF}{BF}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{CF}{BC}=\frac{1}{3}$,即$BC=3CF$。
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DG}{BC}=\frac{aCF}{3CF}=\frac{a}{3}$。
(答案不唯一)
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线的性质，比例的性质
【点评】
本题是利用相似三角形求解线段比值的典型习题，核心解题思路是通过作平行线构造相似三角形，将已知比例和所求比例进行转化关联，解法灵活多样，可选择不同的平行线构造方式求解，有助于锻炼辅助线构造和相似性质的应用能力。
【难度系数】
0.6
