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1. 下列四幅图能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的是(
C
)。答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先明确本题考查平行投影的规律，太阳光下的影子属于平行投影，思考时可分两步判断：第一步，平行光线照射下，同一时刻所有物体的影子朝向一定相同，因此先排除影子朝向相反的选项；第二步，同一时刻平行投影中，物体的高度和影长成正比，即越高的物体影子越长，据此判断剩余选项是否符合规律即可。
【解析】
太阳光属于平行光线，同一时刻的平行投影满足两个规律：
1. 所有物体的影子朝向相同，据此观察选项，A、B中两棵树的影子朝向相反，不符合规律，排除A、B；
2. 物体的高度与影长成正比，即越高的物体影长越长。观察剩余C、D选项：
C选项中，较高的树影长大于较矮的树的影长，符合规律；
D选项中，较高的树影长小于较矮的树的影长，不符合规律，排除D。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
平行投影特点，物高与影长关系
【点评】
本题是平行投影相关的基础题，结合生活常识也可辅助判断，核心是掌握平行投影的两个基本规律，即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确本题考查平行投影的规律，太阳光下的影子属于平行投影，思考时可分两步判断：第一步，平行光线照射下，同一时刻所有物体的影子朝向一定相同，因此先排除影子朝向相反的选项；第二步，同一时刻平行投影中，物体的高度和影长成正比，即越高的物体影子越长，据此判断剩余选项是否符合规律即可。
【解析】
太阳光属于平行光线，同一时刻的平行投影满足两个规律：
1. 所有物体的影子朝向相同，据此观察选项，A、B中两棵树的影子朝向相反，不符合规律，排除A、B；
2. 物体的高度与影长成正比，即越高的物体影长越长。观察剩余C、D选项：
C选项中，较高的树影长大于较矮的树的影长，符合规律；
D选项中，较高的树影长小于较矮的树的影长，不符合规律，排除D。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
平行投影特点，物高与影长关系
【点评】
本题是平行投影相关的基础题，结合生活常识也可辅助判断，核心是掌握平行投影的两个基本规律，即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
2. 小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影不可能是（
B
）。答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先明确太阳光属于平行光线，等边三角形木框的投影为平行投影。接下来我们可以通过分类讨论木框的不同摆放位置，逐一判断各选项是否可能是其投影：①考虑木框与光线平行的摆放情况；②考虑木框与地面平行、倾斜放置的情况；最后判断是否存在摆放位置能让投影为单个点，即可得出结论。
【解析】
太阳光属于平行光线，等边三角形木框在地面上的投影是平行投影：
1. 当等边三角形木框所在平面与太阳光线方向平行时，木框各边的投影会重合为一条线段，对应选项A，该情况可能存在；
2. 当等边三角形木框所在平面与地面平行时，投影为与原木框全等的等边三角形；若木框倾斜摆放，投影可以是等腰三角形（对应选项C）或者任意三角形（对应选项D），因此C、D的情况均可能存在；
3. 等边三角形是具有一定边长的平面图形，无论如何调整摆放角度，平行投影都不可能仅为一个点，因此B不可能是其投影。
【答案】
B
【知识点】
平行投影的性质，平面图形投影判断
【点评】
本题考查平行投影的实际应用，解题时需结合平面图形的摆放角度分类讨论投影的可能形状，掌握平行投影的基本特征是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确太阳光属于平行光线，等边三角形木框的投影为平行投影。接下来我们可以通过分类讨论木框的不同摆放位置，逐一判断各选项是否可能是其投影：①考虑木框与光线平行的摆放情况；②考虑木框与地面平行、倾斜放置的情况；最后判断是否存在摆放位置能让投影为单个点，即可得出结论。
【解析】
太阳光属于平行光线，等边三角形木框在地面上的投影是平行投影：
1. 当等边三角形木框所在平面与太阳光线方向平行时，木框各边的投影会重合为一条线段，对应选项A，该情况可能存在；
2. 当等边三角形木框所在平面与地面平行时，投影为与原木框全等的等边三角形；若木框倾斜摆放，投影可以是等腰三角形（对应选项C）或者任意三角形（对应选项D），因此C、D的情况均可能存在；
3. 等边三角形是具有一定边长的平面图形，无论如何调整摆放角度，平行投影都不可能仅为一个点，因此B不可能是其投影。
【答案】
B
【知识点】
平行投影的性质，平面图形投影判断
【点评】
本题考查平行投影的实际应用，解题时需结合平面图形的摆放角度分类讨论投影的可能形状，掌握平行投影的基本特征是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 下列投影一定不会改变$△ ABC$ 的形状和大小的是(
A.中心投影
B.平行投影
C.正投影
D.当$△ ABC$所在平面平行于投影面时的正投影
D
)。A.中心投影
B.平行投影
C.正投影
D.当$△ ABC$所在平面平行于投影面时的正投影
答案
3.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确核心要求：投影完全不改变△ABC的形状和大小，即投影与原三角形全等。接下来我们可以结合各类投影的定义和性质逐一排查选项：先回忆中心投影、平行投影、正投影的特征，重点注意正投影保形的前提条件，即可推出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 中心投影是点光源发出的光线形成的投影，投影的大小会随物体与光源、投影面的距离变化而缩放，形状也可能发生改变，不符合要求，故A错误；
B. 平行投影是平行光线形成的投影，若光线倾斜于投影面（斜投影），或△ABC所在平面不平行于投影面，投影的形状和大小都会发生改变，不符合要求，故B错误；
C. 正投影是光线垂直于投影面的平行投影，但若△ABC所在平面倾斜或垂直于投影面，投影会变为缩小的三角形甚至线段，形状大小均改变，该选项没有限定平面位置，不符合要求，故C错误；
D. 当△ABC所在平面平行于投影面时，正投影下三角形的各边、各角都与原三角形完全相等，投影与原三角形全等，不会改变形状和大小，符合要求，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
投影的分类；正投影的性质
【点评】
本题主要考查不同类型投影的特征，易错点是容易忽略正投影保持原图形形状大小的前提条件，误选C选项，学习时要注意区分各类投影的适用条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确核心要求：投影完全不改变△ABC的形状和大小，即投影与原三角形全等。接下来我们可以结合各类投影的定义和性质逐一排查选项：先回忆中心投影、平行投影、正投影的特征，重点注意正投影保形的前提条件，即可推出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 中心投影是点光源发出的光线形成的投影，投影的大小会随物体与光源、投影面的距离变化而缩放，形状也可能发生改变，不符合要求，故A错误；
B. 平行投影是平行光线形成的投影，若光线倾斜于投影面（斜投影），或△ABC所在平面不平行于投影面，投影的形状和大小都会发生改变，不符合要求，故B错误；
C. 正投影是光线垂直于投影面的平行投影，但若△ABC所在平面倾斜或垂直于投影面，投影会变为缩小的三角形甚至线段，形状大小均改变，该选项没有限定平面位置，不符合要求，故C错误；
D. 当△ABC所在平面平行于投影面时，正投影下三角形的各边、各角都与原三角形完全相等，投影与原三角形全等，不会改变形状和大小，符合要求，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
投影的分类；正投影的性质
【点评】
本题主要考查不同类型投影的特征，易错点是容易忽略正投影保持原图形形状大小的前提条件，误选C选项，学习时要注意区分各类投影的适用条件。
【难度系数】
0.7
4. 如图4-1-8,小明在A时测得某树的影长为2 m,B时又测得该树的影长为8 m。若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为
4
m。答案
4.4
解析
【分析】我们可以将实际投影问题转化为几何问题求解：设树高为$h$，树底部为点$C$、顶部为点$D$，A时影子端点为$E$，B时影子端点为$F$。已知两次日照光线互相垂直，即$DE⊥ DF$，同时树垂直地面可得$DC⊥ EF$，可通过证明两个直角三角形相似，利用相似三角形的性质建立关于$h$的方程求解。
【解析】设树的高度为$ h \, \mathrm{m} $，记树底部为$ C $，树顶部为$ D $，A时影长对应端点为$ E $，B时影长对应端点为$ F $。
由题意可知：$ DC ⊥ EF $，$ DE ⊥ DF $，$ CE=2 \, \mathrm{m} $，$ CF=8 \, \mathrm{m} $。
因为$ ∠ DCE = ∠ FCD = 90° $，
且$ ∠ EDC + ∠ FDC = 90° $，$ ∠ F + ∠ FDC = 90° $，
所以$ ∠ EDC = ∠ F $，因此$ △ DCE ∽ △ FCD $（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例可得：$ \frac{DC}{FC} = \frac{EC}{DC} $，即$ DC^2 = EC · FC $。
代入数值得：$ h^2 = 2 × 8 = 16 $，
因为树高为正数，所以$ h = 4 $。
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定与性质,直角三角形的性质
【点评】本题是投影与相似三角形结合的应用类题目，解题核心是通过光线垂直、树垂直地面的条件找到相似三角形，利用边长关系建立等式求解，能够锻炼学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】0.7
【解析】设树的高度为$ h \, \mathrm{m} $，记树底部为$ C $，树顶部为$ D $，A时影长对应端点为$ E $，B时影长对应端点为$ F $。
由题意可知：$ DC ⊥ EF $，$ DE ⊥ DF $，$ CE=2 \, \mathrm{m} $，$ CF=8 \, \mathrm{m} $。
因为$ ∠ DCE = ∠ FCD = 90° $，
且$ ∠ EDC + ∠ FDC = 90° $，$ ∠ F + ∠ FDC = 90° $，
所以$ ∠ EDC = ∠ F $，因此$ △ DCE ∽ △ FCD $（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例可得：$ \frac{DC}{FC} = \frac{EC}{DC} $，即$ DC^2 = EC · FC $。
代入数值得：$ h^2 = 2 × 8 = 16 $，
因为树高为正数，所以$ h = 4 $。
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定与性质,直角三角形的性质
【点评】本题是投影与相似三角形结合的应用类题目，解题核心是通过光线垂直、树垂直地面的条件找到相似三角形，利用边长关系建立等式求解，能够锻炼学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】0.7
5. 小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠(即点E，C，A在一直线上)。如图4-1-9，量得$ED=2\ \mathrm{m}$，$DB=4\ \mathrm{m}$，$CD=1.5\ \mathrm{m}$，则电线杆AB的高度为
图4-1-9
4.5
m。图4-1-9
答案
5.4.5
解析
【分析】
要测量无法直接测量的电线杆高度，可利用相似三角形对应边成比例的性质求解。首先观察图形：标杆CD、电线杆AB都垂直于地面，可得∠CDE=∠ABE=90°，又因为太阳光线为平行光线，点E、C、A共线，∠E是两个三角形的公共角，可判定△ECD∽△EAB。接下来先算出电线杆影子总长度EB，再代入相似三角形的比例式即可求出AB的高度。
【解析】
解：
∵ CD⊥EB，AB⊥EB，
∴ ∠CDE = ∠ABE = 90°，
又
∵ ∠E = ∠E（公共角），
∴ △ECD ∽ △EAB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{ED}{EB} = \frac{CD}{AB}$。
由题意得EB = ED + DB = 2 + 4 = 6（m），将ED=2m，CD=1.5m代入比例式：
$\frac{2}{6} = \frac{1.5}{AB}$，
解得$AB = \frac{6×1.5}{2} = 4.5$（m）。
【答案】
4.5
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；平行投影应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的基础题型，解题核心是根据竖直物体和地面的垂直关系、太阳光线的共线特征构造相似三角形，代入数据时注意找准对应边即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要测量无法直接测量的电线杆高度，可利用相似三角形对应边成比例的性质求解。首先观察图形：标杆CD、电线杆AB都垂直于地面，可得∠CDE=∠ABE=90°，又因为太阳光线为平行光线，点E、C、A共线，∠E是两个三角形的公共角，可判定△ECD∽△EAB。接下来先算出电线杆影子总长度EB，再代入相似三角形的比例式即可求出AB的高度。
【解析】
解：
∵ CD⊥EB，AB⊥EB，
∴ ∠CDE = ∠ABE = 90°，
又
∵ ∠E = ∠E（公共角），
∴ △ECD ∽ △EAB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{ED}{EB} = \frac{CD}{AB}$。
由题意得EB = ED + DB = 2 + 4 = 6（m），将ED=2m，CD=1.5m代入比例式：
$\frac{2}{6} = \frac{1.5}{AB}$，
解得$AB = \frac{6×1.5}{2} = 4.5$（m）。
【答案】
4.5
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；平行投影应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的基础题型，解题核心是根据竖直物体和地面的垂直关系、太阳光线的共线特征构造相似三角形，代入数据时注意找准对应边即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 一天下午,小红先参加了校运动会女子 200 m比赛,然后又参加了女子 400 m 比赛。摄影师在同一位置拍摄了她参加这两场比赛的照片,如图 4-1-10 所示,则小红参加 200 m 比赛的照片是
②
。(填“①”或“②”)答案
6.②
解析
【分析】
这道题考查平行投影的实际应用，解题思路如下：首先明确时间是下午，根据太阳光平行投影的规律，下午太阳高度角逐渐减小，同一物体的影子会随时间推移逐渐变长；其次明确两场比赛的先后顺序：先进行200m比赛，后进行400m比赛，说明200m比赛的时间更早，对应的影子更短；最后对比两张图的影子长度，影子更短的即为200m比赛的照片。
【解析】
解：下午时段，太阳光下同一物体的影子随时间推移逐渐变长。
小红先参加200m比赛，后参加400m比赛，因此200m比赛的时间更早，对应的影子长度更短。
观察题图可知，图①的影子更长，图②的影子更短，因此小红参加200m比赛的照片是②。
【答案】
②
【知识点】
平行投影的规律
【点评】
本题结合生活运动场景考查投影的实际应用，需要结合生活常识判断影子长度和时间的对应关系，贴近学生生活，容易作答。
【难度系数】
0.8
这道题考查平行投影的实际应用，解题思路如下：首先明确时间是下午，根据太阳光平行投影的规律，下午太阳高度角逐渐减小，同一物体的影子会随时间推移逐渐变长；其次明确两场比赛的先后顺序：先进行200m比赛，后进行400m比赛，说明200m比赛的时间更早，对应的影子更短；最后对比两张图的影子长度，影子更短的即为200m比赛的照片。
【解析】
解：下午时段，太阳光下同一物体的影子随时间推移逐渐变长。
小红先参加200m比赛，后参加400m比赛，因此200m比赛的时间更早，对应的影子长度更短。
观察题图可知，图①的影子更长，图②的影子更短，因此小红参加200m比赛的照片是②。
【答案】
②
【知识点】
平行投影的规律
【点评】
本题结合生活运动场景考查投影的实际应用，需要结合生活常识判断影子长度和时间的对应关系，贴近学生生活，容易作答。
【难度系数】
0.8
7. 课间,小明和小聪在操场上突然争论起来,他们都说自己比对方长得高。这时数学老师走过来,笑着对他们说:“你们不要争了,其实你们一样高,瞧瞧地上,你俩的影子一样长!”数学老师仅从他们的影长相等就断定他们的身高相等。我们可以运用全等三角形的有关知识说明其中的道理(假定太阳光线是平行的),现对老师说法的正确性进行证明,如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出“证明”过程。
已知:如图 4-1-11,$AB ⊥ a$ 于点 $B$,$CD ⊥ a$ 于点 $D$,$AM // CN$,
求证:
证明:
已知:如图 4-1-11,$AB ⊥ a$ 于点 $B$,$CD ⊥ a$ 于点 $D$,$AM // CN$,
BM=DN
。求证:
AB=CD
。证明:
答案
7. 解:$BM=DN\ \ \ AB=CD$
证明:$\because AM// CN,\therefore ∠ AMB=∠ CND$。
$\because AB\bot a,CD\bot a$,
$\therefore ∠ ABM=∠ CDN=90°$。
在$△ ABM$和$△ CDN$中,
$\begin{cases}∠ AMB=∠ CND,\\BM=DN,\\∠ ABM=∠ CDN,\end{cases}$
$\therefore △ ABM≌△ CDN(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AB=CD$。
证明:$\because AM// CN,\therefore ∠ AMB=∠ CND$。
$\because AB\bot a,CD\bot a$,
$\therefore ∠ ABM=∠ CDN=90°$。
在$△ ABM$和$△ CDN$中,
$\begin{cases}∠ AMB=∠ CND,\\BM=DN,\\∠ ABM=∠ CDN,\end{cases}$
$\therefore △ ABM≌△ CDN(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AB=CD$。
解析
【分析】
首先我们要将实际问题转化为几何模型：身高对应垂直于地面的线段AB、CD，影长对应地面上的线段BM、DN，平行的太阳光线对应$AM// CN$。题目表明两人影长相等，因此已知缺少的条件为$BM=DN$，我们需要证明的结论是两人身高相等，即$AB=CD$。解题思路为：先利用平行线的性质得到一组对应角相等，再由垂直的定义得到两个直角相等，结合影长相等的边，用ASA判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到身高相等的结论。
【解析】
补全已知：$BM=DN$
补全求证：$AB=CD$
证明：
$\because AM// CN$，
$\therefore ∠ AMB=∠ CND$（两直线平行，同位角相等）。
$\because AB⊥ a,CD⊥ a$，
$\therefore ∠ ABM=∠ CDN=90°$（垂直的定义）。
在$△ ABM$和$△ CDN$中：
$\begin{cases}∠ AMB=∠ CND,\\BM=DN,\\∠ ABM=∠ CDN\end{cases}$
$\therefore △ ABM≌△ CDN(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AB=CD$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
已知补充：$\boldsymbol{BM=DN}$；求证：$\boldsymbol{AB=CD}$
证明过程如下：
$\because AM// CN,\therefore ∠ AMB=∠ CND$。
$\because AB\bot a,CD\bot a$,
$\therefore ∠ ABM=∠ CDN=90°$。
在$△ ABM$和$△ CDN$中,
$\begin{cases}∠ AMB=∠ CND,\\BM=DN,\\∠ ABM=∠ CDN,\end{cases}$
$\therefore △ ABM≌△ CDN(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AB=CD$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识，锻炼了将实际问题抽象为几何模型的能力，解题核心是找准全等三角形的对应角、对应边，正确选用全等判定定理。
【难度系数】
0.8
首先我们要将实际问题转化为几何模型：身高对应垂直于地面的线段AB、CD，影长对应地面上的线段BM、DN，平行的太阳光线对应$AM// CN$。题目表明两人影长相等，因此已知缺少的条件为$BM=DN$，我们需要证明的结论是两人身高相等，即$AB=CD$。解题思路为：先利用平行线的性质得到一组对应角相等，再由垂直的定义得到两个直角相等，结合影长相等的边，用ASA判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到身高相等的结论。
【解析】
补全已知：$BM=DN$
补全求证：$AB=CD$
证明：
$\because AM// CN$，
$\therefore ∠ AMB=∠ CND$（两直线平行，同位角相等）。
$\because AB⊥ a,CD⊥ a$，
$\therefore ∠ ABM=∠ CDN=90°$（垂直的定义）。
在$△ ABM$和$△ CDN$中：
$\begin{cases}∠ AMB=∠ CND,\\BM=DN,\\∠ ABM=∠ CDN\end{cases}$
$\therefore △ ABM≌△ CDN(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AB=CD$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
已知补充：$\boldsymbol{BM=DN}$；求证：$\boldsymbol{AB=CD}$
证明过程如下：
$\because AM// CN,\therefore ∠ AMB=∠ CND$。
$\because AB\bot a,CD\bot a$,
$\therefore ∠ ABM=∠ CDN=90°$。
在$△ ABM$和$△ CDN$中,
$\begin{cases}∠ AMB=∠ CND,\\BM=DN,\\∠ ABM=∠ CDN,\end{cases}$
$\therefore △ ABM≌△ CDN(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AB=CD$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识，锻炼了将实际问题抽象为几何模型的能力，解题核心是找准全等三角形的对应角、对应边，正确选用全等判定定理。
【难度系数】
0.8
