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7. 如图4-1-4，王同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2 m，且影子顶端恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5 m到Q处，此时他在路灯A下的影子顶端恰好位于路灯B的正下方（已知王同学身高1.8 m，路灯B高9 m）。
(1)计算王同学站在Q处时在路灯A下的影长；
(2)计算路灯A的高度。
(1)计算王同学站在Q处时在路灯A下的影长；
(2)计算路灯A的高度。
答案
7. 解:(1)由题意得 $\mathrm{Rt}△ CEP∽\mathrm{Rt}△ CBD$,
$\therefore \frac{EP}{BD}=\frac{CP}{CD}$,
$\therefore \frac{1.8}{9}=\frac{2}{2+6.5+QD}$,解得 $QD=1.5$。
故王同学站在Q处时在路灯A下的影长为 1.5 m。
(2)由题意得 $\mathrm{Rt}△ DFQ∽\mathrm{Rt}△ DAC$,
$\therefore \frac{FQ}{AC}=\frac{QD}{CD}$,$\therefore \frac{1.8}{AC}=\frac{1.5}{1.5+6.5+2}$,
解得 $AC=12$。
故路灯 A 的高度为 12 m。
$\therefore \frac{EP}{BD}=\frac{CP}{CD}$,
$\therefore \frac{1.8}{9}=\frac{2}{2+6.5+QD}$,解得 $QD=1.5$。
故王同学站在Q处时在路灯A下的影长为 1.5 m。
(2)由题意得 $\mathrm{Rt}△ DFQ∽\mathrm{Rt}△ DAC$,
$\therefore \frac{FQ}{AC}=\frac{QD}{CD}$,$\therefore \frac{1.8}{AC}=\frac{1.5}{1.5+6.5+2}$,
解得 $AC=12$。
故路灯 A 的高度为 12 m。
解析
【分析】
本题属于中心投影背景下的相似三角形实际应用题，解题思路如下：
（1）求Q处影长QD时，首先观察到人的身高、路灯高度均与地面垂直，结合公共角可证得人与路灯形成的两个直角三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知量列方程即可求解。
（2）求路灯A的高度AC时，同理先证对应直角三角形相似，再结合第一问求出的影长，代入相似三角形的比例关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 由题意得 $EP⊥ CD$，$BD⊥ CD$，因此$∠ CPE=∠ CDB=90°$，
又$∠ C$为公共角，故$\mathrm{Rt}△ CEP∽\mathrm{Rt}△ CBD$，
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{EP}{BD}=\frac{CP}{CD}$，
设$QD=x\ \mathrm{m}$，代入$EP=1.8\ \mathrm{m}$，$BD=9\ \mathrm{m}$，$CP=2\ \mathrm{m}$，$PQ=6.5\ \mathrm{m}$，$CD=2+6.5+x$，
可得：$\frac{1.8}{9}=\frac{2}{2+6.5+x}$，
解得$x=1.5$，即$QD=1.5\ \mathrm{m}$。
(2) 由题意得 $FQ⊥ CD$，$AC⊥ CD$，因此$∠ DQF=∠ DCA=90°$，
又$∠ D$为公共角，故$\mathrm{Rt}△ DFQ∽\mathrm{Rt}△ DAC$，
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{FQ}{AC}=\frac{QD}{CD}$，
代入$FQ=1.8\ \mathrm{m}$，$QD=1.5\ \mathrm{m}$，$CD=2+6.5+1.5=10\ \mathrm{m}$，
可得：$\frac{1.8}{AC}=\frac{1.5}{10}$，
解得$AC=12\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $1.5\ \mathrm{m}$；
(2) $12\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；中心投影应用
【点评】
本题结合生活中的投影场景考查相似三角形的实际应用，解题核心是将实际问题转化为相似三角形的数学模型，找准对应边建立比例关系求解，解题时需注意线段长度的和差关系不要弄错。
【难度系数】
0.7
本题属于中心投影背景下的相似三角形实际应用题，解题思路如下：
（1）求Q处影长QD时，首先观察到人的身高、路灯高度均与地面垂直，结合公共角可证得人与路灯形成的两个直角三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知量列方程即可求解。
（2）求路灯A的高度AC时，同理先证对应直角三角形相似，再结合第一问求出的影长，代入相似三角形的比例关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 由题意得 $EP⊥ CD$，$BD⊥ CD$，因此$∠ CPE=∠ CDB=90°$，
又$∠ C$为公共角，故$\mathrm{Rt}△ CEP∽\mathrm{Rt}△ CBD$，
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{EP}{BD}=\frac{CP}{CD}$，
设$QD=x\ \mathrm{m}$，代入$EP=1.8\ \mathrm{m}$，$BD=9\ \mathrm{m}$，$CP=2\ \mathrm{m}$，$PQ=6.5\ \mathrm{m}$，$CD=2+6.5+x$，
可得：$\frac{1.8}{9}=\frac{2}{2+6.5+x}$，
解得$x=1.5$，即$QD=1.5\ \mathrm{m}$。
(2) 由题意得 $FQ⊥ CD$，$AC⊥ CD$，因此$∠ DQF=∠ DCA=90°$，
又$∠ D$为公共角，故$\mathrm{Rt}△ DFQ∽\mathrm{Rt}△ DAC$，
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{FQ}{AC}=\frac{QD}{CD}$，
代入$FQ=1.8\ \mathrm{m}$，$QD=1.5\ \mathrm{m}$，$CD=2+6.5+1.5=10\ \mathrm{m}$，
可得：$\frac{1.8}{AC}=\frac{1.5}{10}$，
解得$AC=12\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $1.5\ \mathrm{m}$；
(2) $12\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；中心投影应用
【点评】
本题结合生活中的投影场景考查相似三角形的实际应用，解题核心是将实际问题转化为相似三角形的数学模型，找准对应边建立比例关系求解，解题时需注意线段长度的和差关系不要弄错。
【难度系数】
0.7
8. 如图4-1-5，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的屏幕上，形成影子CD。已知AB=3 cm，胶片与屏幕的距离EF为定值。设点光源到胶片的距离OE为x(单位：cm)，CD的长为y(单位：cm)。当x=60时，y=23。
(1)求EF的长；
(2)求y关于x的关系式；
(3)要使CD为27 cm，点光源O应该放在什么位置？
图4-1-5
(1)求EF的长；
(2)求y关于x的关系式；
(3)要使CD为27 cm，点光源O应该放在什么位置？
图4-1-5
答案
8. 解:(1)$\because AB// CD$,
$\therefore △ OAB∽△ OCD$,$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{OE}{OF}$,
$\therefore \frac{3}{23}=\frac{60}{60+EF}$,解得 $EF=400$。
故 $EF$ 的长为 400 cm。
(2)由(1)得$\frac{AB}{CD}=\frac{OE}{OF}$,
$\therefore \frac{3}{y}=\frac{x}{x+400}$,$\therefore y=\frac{1200}{x}+3$。
(3)当 $y=27$ 时,$27=\frac{1200}{x}+3$,解得 $x=50$。
$\therefore$ 点光源 $O$ 应该放在胶片左侧距离为 50 cm 的位置。
$\therefore △ OAB∽△ OCD$,$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{OE}{OF}$,
$\therefore \frac{3}{23}=\frac{60}{60+EF}$,解得 $EF=400$。
故 $EF$ 的长为 400 cm。
(2)由(1)得$\frac{AB}{CD}=\frac{OE}{OF}$,
$\therefore \frac{3}{y}=\frac{x}{x+400}$,$\therefore y=\frac{1200}{x}+3$。
(3)当 $y=27$ 时,$27=\frac{1200}{x}+3$,解得 $x=50$。
$\therefore$ 点光源 $O$ 应该放在胶片左侧距离为 50 cm 的位置。
解析
【分析】
本题是中心投影背景下的几何应用问题，解题核心是利用胶片和屏幕平行的条件得到相似三角形。首先由AB//CD可判定△OAB∽△OCD，根据相似三角形对应高的比等于相似比建立比例关系。(1)将已知的x、y数值代入比例式，即可求解EF的长度；(2)把求得的EF代入比例式，整理后得到y关于x的函数关系式；(3)将y=27代入函数关系式，解方程求出x即可确定点光源的位置。
【解析】
(1) $\because AB// CD$，$\therefore △ OAB∽ △ OCD$，根据相似三角形性质，对应高的比等于相似比，可得$\frac{AB}{CD}=\frac{OE}{OF}$。
已知AB=3cm，OE=x=60cm，CD=y=23cm，$OF=OE+EF=60+EF$，代入得：
$\frac{3}{23}=\frac{60}{60+EF}$
交叉相乘得$3×(60+EF)=23×60$，解得$EF=400\ \mathrm{cm}$。
(2) 由(1)得EF=400cm，因此$OF=x+400$，代入相似比公式：
$\frac{3}{y}=\frac{x}{x+400}$
交叉相乘整理得$xy=3x+1200$，即$y=\frac{1200}{x}+3$（$x＞0$）。
(3) 当$y=27$时，代入$y=\frac{1200}{x}+3$得：
$27=\frac{1200}{x}+3$
移项得$\frac{1200}{x}=24$，解得$x=50\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\quantity{400}{cm}$；
(2) $y=\frac{1200}{x}+3$（$x＞0$）；
(3) 胶片左侧距离胶片$\quantity{50}{cm}$的位置。
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 函数关系式建立
3. 分式方程求解
【点评】
本题结合生活中的投影场景，考查几何与代数的综合应用，解题关键是通过平行关系找到相似三角形，利用相似比建立等量关系，是兼具基础性和实用性的常规题型。
【难度系数】
0.7
本题是中心投影背景下的几何应用问题，解题核心是利用胶片和屏幕平行的条件得到相似三角形。首先由AB//CD可判定△OAB∽△OCD，根据相似三角形对应高的比等于相似比建立比例关系。(1)将已知的x、y数值代入比例式，即可求解EF的长度；(2)把求得的EF代入比例式，整理后得到y关于x的函数关系式；(3)将y=27代入函数关系式，解方程求出x即可确定点光源的位置。
【解析】
(1) $\because AB// CD$，$\therefore △ OAB∽ △ OCD$，根据相似三角形性质，对应高的比等于相似比，可得$\frac{AB}{CD}=\frac{OE}{OF}$。
已知AB=3cm，OE=x=60cm，CD=y=23cm，$OF=OE+EF=60+EF$，代入得：
$\frac{3}{23}=\frac{60}{60+EF}$
交叉相乘得$3×(60+EF)=23×60$，解得$EF=400\ \mathrm{cm}$。
(2) 由(1)得EF=400cm，因此$OF=x+400$，代入相似比公式：
$\frac{3}{y}=\frac{x}{x+400}$
交叉相乘整理得$xy=3x+1200$，即$y=\frac{1200}{x}+3$（$x＞0$）。
(3) 当$y=27$时，代入$y=\frac{1200}{x}+3$得：
$27=\frac{1200}{x}+3$
移项得$\frac{1200}{x}=24$，解得$x=50\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\quantity{400}{cm}$；
(2) $y=\frac{1200}{x}+3$（$x＞0$）；
(3) 胶片左侧距离胶片$\quantity{50}{cm}$的位置。
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 函数关系式建立
3. 分式方程求解
【点评】
本题结合生活中的投影场景，考查几何与代数的综合应用，解题关键是通过平行关系找到相似三角形，利用相似比建立等量关系，是兼具基础性和实用性的常规题型。
【难度系数】
0.7
9. 一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图4-1-6所示，则亮着灯的窗户是
3
号窗户。答案
9.3
解析
【分析】
本题考查中心投影的实际应用，解题思路如下：中心投影的光线从点光源发出，所有物体的顶端和它对应影子的顶端的连线都会经过点光源（也就是亮灯的窗户）。因此只需要分别连接小树顶端和它影子的顶端、电线杆顶端和它影子的顶端，两条连线的交点就是点光源的位置，对应楼层的窗户就是亮灯的窗户。
【解析】
根据中心投影的性质：分别连接小树顶端与它影子的顶端、电线杆顶端与它影子的顶端，两条直线的交点就是点光源的位置。通过作图可发现，该交点恰好位于3号窗户所在的楼层，因此亮着灯的是3号窗户。
【答案】
3
【知识点】
中心投影，点光源定位
【点评】
本题结合生活场景考查中心投影的应用，解题的关键是掌握中心投影的光线均交于点光源这一核心性质，属于基础应用型题目，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查中心投影的实际应用，解题思路如下：中心投影的光线从点光源发出，所有物体的顶端和它对应影子的顶端的连线都会经过点光源（也就是亮灯的窗户）。因此只需要分别连接小树顶端和它影子的顶端、电线杆顶端和它影子的顶端，两条连线的交点就是点光源的位置，对应楼层的窗户就是亮灯的窗户。
【解析】
根据中心投影的性质：分别连接小树顶端与它影子的顶端、电线杆顶端与它影子的顶端，两条直线的交点就是点光源的位置。通过作图可发现，该交点恰好位于3号窗户所在的楼层，因此亮着灯的是3号窗户。
【答案】
3
【知识点】
中心投影，点光源定位
【点评】
本题结合生活场景考查中心投影的应用，解题的关键是掌握中心投影的光线均交于点光源这一核心性质，属于基础应用型题目，难度较低。
【难度系数】
0.8
10. 学习投影后，小刚、小雯利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度。如图4-1-7，在同一时间，身高为1.6 m的小刚(AB)的影子(BC)的长是3 m，而小雯(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6 m。
(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；
(2)求路灯灯泡的垂直高度GH；
(3)如果小刚沿线段BH向小雯(点H)走去，当小刚走到BH中点B₁处时，画出其影子B₁C₁，并求B₁C₁的长。
图4-1-7
(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；
(2)求路灯灯泡的垂直高度GH；
(3)如果小刚沿线段BH向小雯(点H)走去，当小刚走到BH中点B₁处时，画出其影子B₁C₁，并求B₁C₁的长。
图4-1-7
答案
10. 解:(1)形成影子的光线、路灯灯泡所在的位置 G,如
所示。(2)由题意得,$△ ABC∽△ GHC$,
$\therefore \frac{AB}{GH}=\frac{BC}{HC}$,
$\therefore \frac{1.6}{GH}=\frac{3}{6+3}$,
解得 $GH=4.8$,
故路灯灯泡的垂直高度 $GH$ 是 4.8 m。
(3)影子 $B_1C_1$ 如
所示。由题意得,$△ A_1B_1C_1∽△ GHC_1$,$\therefore \frac{A_1B_1}{GH}=\frac{B_1C_1}{HC_1}$。
设 $B_1C_1$ 的长为 $x$ m,则$\frac{1.6}{4.8}=\frac{x}{x+3}$,
解得 $x=\frac{3}{2}$。
故 $B_1C_1$ 的长是 $\frac{3}{2}$ m。
解析
【分析】
(1) 路灯光线是点光源发出的，小刚影子顶端C、头顶A与灯泡G三点共线，且灯泡在小雯所在的EH竖直线上，因此延长CA与HE延长线的交点就是灯泡G，对应光线即可确定。
(2) 求GH高度时，AB和GH都垂直于地面，因此AB平行GH，可证△ABC与△GHC相似，利用相似三角形对应边成比例，代入已知数值即可求解GH。
(3) 小刚走到B₁处时，同理连接GA₁延长交地面于C₁，B₁C₁就是影子；此时A₁B₁仍垂直地面，与GH平行，可证△A₁B₁C₁与△GHC₁相似，设B₁C₁长为x，结合已知边长列比例式即可求解。
【解析】
(1) 延长CA，交HE的延长线于点G，点G即为路灯灯泡所在位置，GC为形成影子BC的光线，图形如所示。
(2) 由题意得：$AB⊥ HC$，$GH⊥ HC$，
$\therefore AB// GH$，
$\therefore △ ABC∽△ GHC$，
根据相似三角形性质得$\frac{AB}{GH}=\frac{BC}{HC}$，
已知$AB=1.6\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，$HC=HB+BC=6+3=9\ \mathrm{m}$，代入得：
$\frac{1.6}{GH}=\frac{3}{9}$，
解得$GH=4.8\ \mathrm{m}$。
(3) 连接$GA_1$并延长交HC于点$C_1$，$B_1C_1$即为小刚此时的影子，图形如所示。
由题意得：$A_1B_1⊥ HC$，$GH⊥ HC$，
$\therefore A_1B_1// GH$，
$\therefore △ A_1B_1C_1∽△ GHC_1$，
设$B_1C_1$的长为$x\ \mathrm{m}$，
$\because B_1$是BH中点，$\therefore HB_1=\frac{1}{2}BH=3\ \mathrm{m}$，$HC_1=HB_1+B_1C_1=(x+3)\ \mathrm{m}$，
根据相似三角形性质得$\frac{A_1B_1}{GH}=\frac{B_1C_1}{HC_1}$，
代入$A_1B_1=1.6\ \mathrm{m}$，$GH=4.8\ \mathrm{m}$得：
$\frac{1.6}{4.8}=\frac{x}{x+3}$，
解得$x=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 形成影子的光线、路灯灯泡位置G如所示；
(2) 路灯灯泡的垂直高度GH为$\boxed{4.8\ \mathrm{m}}$；
(3) 影子$B_1C_1$如所示，$B_1C_1$的长为$\boxed{\frac{3}{2}\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
中心投影，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的灯光投影场景，考查相似三角形在实际测量中的应用，解题关键是利用垂直关系得到平行线，进而找到相似三角形，通过对应边成比例建立等式求解，能锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 路灯光线是点光源发出的，小刚影子顶端C、头顶A与灯泡G三点共线，且灯泡在小雯所在的EH竖直线上，因此延长CA与HE延长线的交点就是灯泡G，对应光线即可确定。
(2) 求GH高度时，AB和GH都垂直于地面，因此AB平行GH，可证△ABC与△GHC相似，利用相似三角形对应边成比例，代入已知数值即可求解GH。
(3) 小刚走到B₁处时，同理连接GA₁延长交地面于C₁，B₁C₁就是影子；此时A₁B₁仍垂直地面，与GH平行，可证△A₁B₁C₁与△GHC₁相似，设B₁C₁长为x，结合已知边长列比例式即可求解。
【解析】
(1) 延长CA，交HE的延长线于点G，点G即为路灯灯泡所在位置，GC为形成影子BC的光线，图形如
所示。(2) 由题意得：$AB⊥ HC$，$GH⊥ HC$，
$\therefore AB// GH$，
$\therefore △ ABC∽△ GHC$，
根据相似三角形性质得$\frac{AB}{GH}=\frac{BC}{HC}$，
已知$AB=1.6\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，$HC=HB+BC=6+3=9\ \mathrm{m}$，代入得：
$\frac{1.6}{GH}=\frac{3}{9}$，
解得$GH=4.8\ \mathrm{m}$。
(3) 连接$GA_1$并延长交HC于点$C_1$，$B_1C_1$即为小刚此时的影子，图形如
所示。由题意得：$A_1B_1⊥ HC$，$GH⊥ HC$，
$\therefore A_1B_1// GH$，
$\therefore △ A_1B_1C_1∽△ GHC_1$，
设$B_1C_1$的长为$x\ \mathrm{m}$，
$\because B_1$是BH中点，$\therefore HB_1=\frac{1}{2}BH=3\ \mathrm{m}$，$HC_1=HB_1+B_1C_1=(x+3)\ \mathrm{m}$，
根据相似三角形性质得$\frac{A_1B_1}{GH}=\frac{B_1C_1}{HC_1}$，
代入$A_1B_1=1.6\ \mathrm{m}$，$GH=4.8\ \mathrm{m}$得：
$\frac{1.6}{4.8}=\frac{x}{x+3}$，
解得$x=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 形成影子的光线、路灯灯泡位置G如
所示；(2) 路灯灯泡的垂直高度GH为$\boxed{4.8\ \mathrm{m}}$；
(3) 影子$B_1C_1$如
所示，$B_1C_1$的长为$\boxed{\frac{3}{2}\ \mathrm{m}}$。【知识点】
中心投影，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的灯光投影场景，考查相似三角形在实际测量中的应用，解题关键是利用垂直关系得到平行线，进而找到相似三角形，通过对应边成比例建立等式求解，能锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
