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8. 去年国庆期间某广场旗杆附近搭建了一座花篮。图4-1-12为从该场景抽象出的数学模型，已知花篮高度$AB=5\ \mathrm{m}$，某一时刻花篮在阳光下的投影$BC=3\ \mathrm{m}$。
(1)请你在图4-1-12中作出此时旗杆DE在阳光下的投影EF；
(2)在测量AB的投影时，同时测出旗杆DE在阳光下的投影$EF=6\ \mathrm{m}$，请你计算旗杆DE的长。
(1)请你在图4-1-12中作出此时旗杆DE在阳光下的投影EF；
(2)在测量AB的投影时，同时测出旗杆DE在阳光下的投影$EF=6\ \mathrm{m}$，请你计算旗杆DE的长。
答案
8. 解:(1)如答图4-1-3,连接AC,过点D作$DF// AC$,交直线BC于点F,线段EF为所求。
(2)$\because AC// DF$,
$\therefore ∠ ACB=∠ DFE$。
$\because ∠ ABC=∠ DEF=90°$,
$\therefore △ ABC∽△ DEF$,
$\therefore \dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}$,
$\therefore \dfrac{5}{DE}=\dfrac{3}{6}$,
$\therefore DE=10$。
故旗杆DE的长为10 m。
解析
【分析】
(1) 平行投影的特点是同一时刻太阳光线互相平行，因此作旗杆DE的投影时，只需过点D作光线AC的平行线，与地面所在直线的交点即为投影端点F，线段EF就是所求投影。
(2) 要求DE的长，可通过证明△ABC和△DEF相似求解：两个三角形均为直角三角形，再结合光线平行得到的同位角相等，即可证明两三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数值就能计算出DE的长度。
【解析】
(1) 作图：连接AC，过点D作$DF// AC$，交直线BC于点F，线段EF即为旗杆DE在阳光下的投影。
(2) 由题意可得：
$\because AC// DF$，
$\therefore ∠ ACB=∠ DFE$（两直线平行，同位角相等），
又$\because AB⊥ BE,DE⊥ BE$，
$\therefore ∠ ABC=∠ DEF=90°$，
$\therefore △ ABC∽△ DEF$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore$ 相似三角形对应边成比例：$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}$，
将$AB=5\ \mathrm{m},BC=3\ \mathrm{m},EF=6\ \mathrm{m}$代入得：$\dfrac{5}{DE}=\dfrac{3}{6}$，
解得$DE=10\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 如答图4-1-3，连接AC，过点D作$DF// AC$，交直线BC于点F，线段EF为所求。
(2) 旗杆DE的长为10 m。
【知识点】
平行投影的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查平行投影规律和相似三角形的实际应用，解题核心是将实际测量问题转化为相似三角形模型，利用同一时刻物高与影长成正比的规律求解，贴合生活，能锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.8
(1) 平行投影的特点是同一时刻太阳光线互相平行，因此作旗杆DE的投影时，只需过点D作光线AC的平行线，与地面所在直线的交点即为投影端点F，线段EF就是所求投影。
(2) 要求DE的长，可通过证明△ABC和△DEF相似求解：两个三角形均为直角三角形，再结合光线平行得到的同位角相等，即可证明两三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数值就能计算出DE的长度。
【解析】
(1) 作图：连接AC，过点D作$DF// AC$，交直线BC于点F，线段EF即为旗杆DE在阳光下的投影。
(2) 由题意可得：
$\because AC// DF$，
$\therefore ∠ ACB=∠ DFE$（两直线平行，同位角相等），
又$\because AB⊥ BE,DE⊥ BE$，
$\therefore ∠ ABC=∠ DEF=90°$，
$\therefore △ ABC∽△ DEF$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore$ 相似三角形对应边成比例：$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}$，
将$AB=5\ \mathrm{m},BC=3\ \mathrm{m},EF=6\ \mathrm{m}$代入得：$\dfrac{5}{DE}=\dfrac{3}{6}$，
解得$DE=10\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 如答图4-1-3，连接AC，过点D作$DF// AC$，交直线BC于点F，线段EF为所求。
(2) 旗杆DE的长为10 m。
【知识点】
平行投影的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查平行投影规律和相似三角形的实际应用，解题核心是将实际测量问题转化为相似三角形模型，利用同一时刻物高与影长成正比的规律求解，贴合生活，能锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
9. 如图4-1-13，阳光通过窗口照到房间内，在地面上留下2.1 m宽的亮区DE。已知点E到窗下墙脚的距离CE=3.9 m，窗口底边离地面的距离BC=1.2 m，窗口的高度AB=
9. 如图4-1-13，阳光通过窗口照到房间内，在地面上留下2.1 m宽的亮区DE。已知点E到窗下墙脚的距离CE=3.9 m，窗口底边离地面的距离BC=1.2 m，窗口的高度AB=
1.4
m。答案
9.1.4
解析
【分析】
这是一道平行投影结合相似三角形的应用题，解题思路如下：1. 首先根据阳光是平行光线，可得BD//AE，进而推出△BCD和△ACE相似；2. 先计算出CD的长度：CD=CE-DE；3. 利用相似三角形对应边成比例的性质，列出关于AB的比例式，求解即可得到窗口高度AB。
【解析】
解：
∵阳光是平行光线，
∴BD//AE，
∴∠BDC=∠AEC，
又
∵∠C=∠C（公共角），
∴△BCD∽△ACE（两角分别相等的两个三角形相似）。
由题意得：CD=CE-DE=3.9-2.1=1.8（m），AC=AB+BC=AB+1.2。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{CE}$
代入数值得：
$\frac{1.2}{AB+1.2}=\frac{1.8}{3.9}$
交叉相乘得：$1.8(AB+1.2)=1.2×3.9$
化简得：$1.8AB + 2.16 = 4.68$
移项计算得：$1.8AB=2.52$，解得$AB=1.4$。
【答案】
1.4
【知识点】
相似三角形的应用，平行投影
【点评】
本题结合生活中的采光场景，考查相似三角形在实际问题中的应用，解题的关键是根据平行光线找到相似三角形，准确对应各边的比例关系，属于常考的基础应用题。
【难度系数】
0.7
这是一道平行投影结合相似三角形的应用题，解题思路如下：1. 首先根据阳光是平行光线，可得BD//AE，进而推出△BCD和△ACE相似；2. 先计算出CD的长度：CD=CE-DE；3. 利用相似三角形对应边成比例的性质，列出关于AB的比例式，求解即可得到窗口高度AB。
【解析】
解：
∵阳光是平行光线，
∴BD//AE，
∴∠BDC=∠AEC，
又
∵∠C=∠C（公共角），
∴△BCD∽△ACE（两角分别相等的两个三角形相似）。
由题意得：CD=CE-DE=3.9-2.1=1.8（m），AC=AB+BC=AB+1.2。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{CE}$
代入数值得：
$\frac{1.2}{AB+1.2}=\frac{1.8}{3.9}$
交叉相乘得：$1.8(AB+1.2)=1.2×3.9$
化简得：$1.8AB + 2.16 = 4.68$
移项计算得：$1.8AB=2.52$，解得$AB=1.4$。
【答案】
1.4
【知识点】
相似三角形的应用，平行投影
【点评】
本题结合生活中的采光场景，考查相似三角形在实际问题中的应用，解题的关键是根据平行光线找到相似三角形，准确对应各边的比例关系，属于常考的基础应用题。
【难度系数】
0.7
10. 图4-1-14是住宅区内的两幢楼，它们的高$AB=CD=30\ \mathrm{m}$，两楼间的距离$AC=30\ \mathrm{m}$，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况。
(1)当太阳光线与水平线的夹角为$30°$时，求甲楼的影子在乙楼上有多高；(精确到$0.1\ \mathrm{m}$，$\sqrt{3}\approx1.73$)
(2)若要甲楼的影子刚好不落在乙楼上，此时太阳光线与水平线的夹角为多少度？
(1)当太阳光线与水平线的夹角为$30°$时，求甲楼的影子在乙楼上有多高；(精确到$0.1\ \mathrm{m}$，$\sqrt{3}\approx1.73$)
(2)若要甲楼的影子刚好不落在乙楼上，此时太阳光线与水平线的夹角为多少度？
答案
10. 解:(1)如答图4-1-4,延长QB交DC于点E,作$EF\bot AB$,交AB于点F。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中,
$\because EF=AC=30\ \mathrm{m}$,
$∠ FEB=30°$,
$\therefore BE=2BF$。
设$BF=x$,则$BE=2x$。
根据勾股定理知$BE^2=BF^2+EF^2$。
$\therefore (2x)^2=x^2+30^2$,
$\therefore x\approx17.3$。
$EC\approx30-17.3=12.7(\mathrm{m})$。
故甲楼的影子在乙楼上的高度为12.7 m。
(2)当甲楼的影子刚好落在点C处时,$△ ABC$为等腰三角形,因此,当太阳光线与水平线的夹角为$45°$时,甲楼的影子刚好不落在乙楼上。
解析
【分析】
本题是解直角三角形在实际生活中的应用类问题，解题思路如下：
(1) 求甲楼影子在乙楼上的高度：首先通过作辅助线构造直角三角形，延长太阳光线QB交乙楼CD于E，过E作EF垂直AB于F，此时EF等于两楼间距AC=30m，$△ BEF$是含30°角的直角三角形。利用30°角所对直角边是斜边一半的性质，结合勾股定理求出BF的长度，BF是甲楼高于乙楼影子顶端的部分，用甲楼高度减去BF即可得到乙楼上影子的高度。
(2) 求甲楼影子刚好不落在乙楼上时的光线夹角：当影子刚好不落在乙楼上时，甲楼的影子顶端恰好落在乙楼底部C点，此时$△ ABC$是腰长为30m的等腰直角三角形，即可直接得到光线与水平线的夹角。
【解析】
(1) 如答图4-1-4，延长QB交DC于点E，作$EF\bot AB$，交AB于点F。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$EF=AC=30\ \mathrm{m}$，$∠ FEB=30°$，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$BE=2BF$。
设$BF=x$，则$BE=2x$，由勾股定理$BE^2=BF^2+EF^2$，代入数值可得：
$(2x)^2=x^2+30^2$
化简得$3x^2=900$，解得$x=10\sqrt{3}\approx17.3$。
因为四边形ACEF是矩形，所以$EC=AF=AB-BF$，代入得$EC\approx30-17.3=12.7(\mathrm{m})$。
(2) 当甲楼的影子刚好不落在乙楼上时，甲楼的影子顶端恰好落在点C处，连接BC，此时$△ ABC$中$AB=AC=30\ \mathrm{m}$，$∠ BAC=90°$，故$△ ABC$为等腰直角三角形，$∠ BCA=45°$，即此时太阳光线与水平线的夹角为$45°$。
【答案】
(1) 甲楼的影子在乙楼上的高度为12.7 m；
(2) 太阳光线与水平线的夹角为$45°$。
【知识点】
解直角三角形的应用；勾股定理；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题将生活中的采光问题转化为几何求解问题，解题的关键是合理构造直角三角形，结合直角三角形的相关性质求解，很好地体现了数学的实际应用价值。
【难度系数】
0.7
本题是解直角三角形在实际生活中的应用类问题，解题思路如下：
(1) 求甲楼影子在乙楼上的高度：首先通过作辅助线构造直角三角形，延长太阳光线QB交乙楼CD于E，过E作EF垂直AB于F，此时EF等于两楼间距AC=30m，$△ BEF$是含30°角的直角三角形。利用30°角所对直角边是斜边一半的性质，结合勾股定理求出BF的长度，BF是甲楼高于乙楼影子顶端的部分，用甲楼高度减去BF即可得到乙楼上影子的高度。
(2) 求甲楼影子刚好不落在乙楼上时的光线夹角：当影子刚好不落在乙楼上时，甲楼的影子顶端恰好落在乙楼底部C点，此时$△ ABC$是腰长为30m的等腰直角三角形，即可直接得到光线与水平线的夹角。
【解析】
(1) 如答图4-1-4，延长QB交DC于点E，作$EF\bot AB$，交AB于点F。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$EF=AC=30\ \mathrm{m}$，$∠ FEB=30°$，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$BE=2BF$。
设$BF=x$，则$BE=2x$，由勾股定理$BE^2=BF^2+EF^2$，代入数值可得：
$(2x)^2=x^2+30^2$
化简得$3x^2=900$，解得$x=10\sqrt{3}\approx17.3$。
因为四边形ACEF是矩形，所以$EC=AF=AB-BF$，代入得$EC\approx30-17.3=12.7(\mathrm{m})$。
(2) 当甲楼的影子刚好不落在乙楼上时，甲楼的影子顶端恰好落在点C处，连接BC，此时$△ ABC$中$AB=AC=30\ \mathrm{m}$，$∠ BAC=90°$，故$△ ABC$为等腰直角三角形，$∠ BCA=45°$，即此时太阳光线与水平线的夹角为$45°$。
【答案】
(1) 甲楼的影子在乙楼上的高度为12.7 m；
(2) 太阳光线与水平线的夹角为$45°$。
【知识点】
解直角三角形的应用；勾股定理；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题将生活中的采光问题转化为几何求解问题，解题的关键是合理构造直角三角形，结合直角三角形的相关性质求解，很好地体现了数学的实际应用价值。
【难度系数】
0.7
