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1.下列二次函数中,图象的对称轴是y轴的是(
A.$y=x^2+1$
B.$y=x(x+1)$
C.$y=(x+1)^2$
D.$y=x^2+x+1$
A
).A.$y=x^2+1$
B.$y=x(x+1)$
C.$y=(x+1)^2$
D.$y=x^2+x+1$
答案
1.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确二次函数图象对称轴为y轴的等价条件：即对称轴是直线x=0。我们可以用两种方法判断：一是将函数化为一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，若对称轴为x=0则需$b=0$；二是若函数为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，对称轴为$x=h$，若对称轴为x=0则需$h=0$。接下来逐个分析选项即可得到答案。
【解析】
二次函数图象的对称轴是y轴，即对称轴为直线$x=0$，对各选项逐一分析：
A. $y=x^2+1$是一般式，其中$a=1$，$b=0$，$c=1$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×1}=0$，即y轴，符合要求；
B. 先将$y=x(x+1)$展开得$y=x^2+x$，一般式中$a=1$，$b=1$，对称轴为$x=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}$，不是y轴，不符合；
C. $y=(x+1)^2$是顶点式，其中$h=-1$，对称轴为$x=-1$，不是y轴，不符合；
D. $y=x^2+x+1$是一般式，其中$a=1$，$b=1$，对称轴为$x=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}$，不是y轴，不符合。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数一般式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，核心考查对称轴的判断方法，只要熟练掌握一般式的对称轴公式或顶点式的对称轴特点，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确二次函数图象对称轴为y轴的等价条件：即对称轴是直线x=0。我们可以用两种方法判断：一是将函数化为一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，若对称轴为x=0则需$b=0$；二是若函数为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，对称轴为$x=h$，若对称轴为x=0则需$h=0$。接下来逐个分析选项即可得到答案。
【解析】
二次函数图象的对称轴是y轴，即对称轴为直线$x=0$，对各选项逐一分析：
A. $y=x^2+1$是一般式，其中$a=1$，$b=0$，$c=1$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×1}=0$，即y轴，符合要求；
B. 先将$y=x(x+1)$展开得$y=x^2+x$，一般式中$a=1$，$b=1$，对称轴为$x=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}$，不是y轴，不符合；
C. $y=(x+1)^2$是顶点式，其中$h=-1$，对称轴为$x=-1$，不是y轴，不符合；
D. $y=x^2+x+1$是一般式，其中$a=1$，$b=1$，对称轴为$x=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}$，不是y轴，不符合。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数一般式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，核心考查对称轴的判断方法，只要熟练掌握一般式的对称轴公式或顶点式的对称轴特点，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
2.下列函数中，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小的是(
A.$y=3x-2$
B.$y=-2(x+1)^2$
C.$y=-\dfrac{1}{x}$
D.$y=x^2-2$
B
).A.$y=3x-2$
B.$y=-2(x+1)^2$
C.$y=-\dfrac{1}{x}$
D.$y=x^2-2$
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查不同类型函数的增减性判断，解题时需先明确各选项对应的函数类型，再结合对应函数的性质，逐一判断x＞0时y随x的变化情况即可得出答案。思考步骤为：①回忆一次函数、二次函数、反比例函数的增减性规律；②逐个分析每个选项在x＞0区间内的增减性；③筛选出符合要求的选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. $y=3x-2$是一次函数，斜率$k=3＞0$，因此在全体实数范围内y随x的增大而增大，当$x＞0$时也满足递增，不符合要求，排除；
B. $y=-2(x+1)^2$是二次函数，二次项系数$a=-2＜0$，开口向下，对称轴为直线$x=-1$，在对称轴右侧（$x＞-1$）y随x的增大而减小，$x＞0$属于$x＞-1$的范围，因此该区间内y随x增大而减小，符合要求；
C. $y=-\dfrac{1}{x}$是反比例函数，比例系数$k=-1＜0$，在每个象限内y随x的增大而增大，$x＞0$时函数图象在第四象限，因此该区间内y随x增大而增大，不符合要求，排除；
D. $y=x^2-2$是二次函数，二次项系数$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=0$，在对称轴右侧（$x＞0$）y随x的增大而增大，不符合要求，排除。
综上，符合条件的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的性质；二次函数的性质；反比例函数的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查常见函数的增减性规律，解题时要注意：二次函数的增减性需结合开口方向和对称轴判断，反比例函数的增减性要限定在同一象限内，避免忽略自变量范围出错。
【难度系数】
0.8
本题考查不同类型函数的增减性判断，解题时需先明确各选项对应的函数类型，再结合对应函数的性质，逐一判断x＞0时y随x的变化情况即可得出答案。思考步骤为：①回忆一次函数、二次函数、反比例函数的增减性规律；②逐个分析每个选项在x＞0区间内的增减性；③筛选出符合要求的选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. $y=3x-2$是一次函数，斜率$k=3＞0$，因此在全体实数范围内y随x的增大而增大，当$x＞0$时也满足递增，不符合要求，排除；
B. $y=-2(x+1)^2$是二次函数，二次项系数$a=-2＜0$，开口向下，对称轴为直线$x=-1$，在对称轴右侧（$x＞-1$）y随x的增大而减小，$x＞0$属于$x＞-1$的范围，因此该区间内y随x增大而减小，符合要求；
C. $y=-\dfrac{1}{x}$是反比例函数，比例系数$k=-1＜0$，在每个象限内y随x的增大而增大，$x＞0$时函数图象在第四象限，因此该区间内y随x增大而增大，不符合要求，排除；
D. $y=x^2-2$是二次函数，二次项系数$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=0$，在对称轴右侧（$x＞0$）y随x的增大而增大，不符合要求，排除。
综上，符合条件的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的性质；二次函数的性质；反比例函数的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查常见函数的增减性规律，解题时要注意：二次函数的增减性需结合开口方向和对称轴判断，反比例函数的增减性要限定在同一象限内，避免忽略自变量范围出错。
【难度系数】
0.8
3.将抛物线$y=x^2$向右平移2个单位长度后，得到的函数解析式是(
A.$y=-x^2+2$
B.$y=x^2+2$
C.$y=(x-2)^2$
D.$y=(x+2)^2$
C
)。A.$y=-x^2+2$
B.$y=x^2+2$
C.$y=(x-2)^2$
D.$y=(x+2)^2$
答案
3.C
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆二次函数图象平移的基本规律：“左加右减，上加下减”，其中左右平移是对自变量x本身进行操作，上下平移是对函数整体进行操作。本题是抛物线向右平移2个单位，属于水平方向的平移，只需要对原解析式中的x做对应变换即可。
【解析】
对于二次函数图象的水平平移，遵循“左加右减”的规则：即图象向左平移m个单位时，将解析式中的x替换为(x+m)；图象向右平移m个单位时，将解析式中的x替换为(x-m)。
原抛物线解析式为$y=x^2$，向右平移2个单位长度，将x替换为$(x-2)$，代入得新的函数解析式为$y=(x-2)^2$。
逐一验证其他选项：A选项开口方向改变且存在常数项，不符合平移特征；B选项是原抛物线向上平移2个单位得到的解析式；D选项是原抛物线向左平移2个单位得到的解析式，均不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象的平移变换
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查对平移规律中“左加右减”原则的应用，需要注意左右平移是针对自变量x进行调整，不要混淆加减符号与平移方向的对应关系。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要回忆二次函数图象平移的基本规律：“左加右减，上加下减”，其中左右平移是对自变量x本身进行操作，上下平移是对函数整体进行操作。本题是抛物线向右平移2个单位，属于水平方向的平移，只需要对原解析式中的x做对应变换即可。
【解析】
对于二次函数图象的水平平移，遵循“左加右减”的规则：即图象向左平移m个单位时，将解析式中的x替换为(x+m)；图象向右平移m个单位时，将解析式中的x替换为(x-m)。
原抛物线解析式为$y=x^2$，向右平移2个单位长度，将x替换为$(x-2)$，代入得新的函数解析式为$y=(x-2)^2$。
逐一验证其他选项：A选项开口方向改变且存在常数项，不符合平移特征；B选项是原抛物线向上平移2个单位得到的解析式；D选项是原抛物线向左平移2个单位得到的解析式，均不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象的平移变换
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查对平移规律中“左加右减”原则的应用，需要注意左右平移是针对自变量x进行调整，不要混淆加减符号与平移方向的对应关系。
【难度系数】
0.8
4.抛物线 $ y = x^2 + 4x + 4 $ 的对称轴是(
A.直线 $ x=4 $
B.直线 $ x=-4 $
C.直线 $ x=2 $
D.直线 $ x=-2 $
D
)。A.直线 $ x=4 $
B.直线 $ x=-4 $
C.直线 $ x=2 $
D.直线 $ x=-2 $
答案
4.D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以用二次函数对称轴的两种常用求解方法：一是配方法，把二次函数一般式转化为顶点式，直接得到对称轴；二是公式法，利用二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算。我们先确定函数的对应系数，或把解析式配成顶点式，求出对称轴后对应选项选答案即可。
【解析】
方法1（公式法）：
二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
本题中抛物线解析式为$y=x^2+4x+4$，对应系数$a=1$，$b=4$，代入公式得：
$x=-\frac{4}{2×1}=-2$，即对称轴为直线$x=-2$。
方法2（配方法）：
对解析式配方可得：$y=x^2+4x+4=(x+2)^2$，这是二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其对称轴为直线$x=h$，此处$h=-2$，因此对称轴为直线$x=-2$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数对称轴、配方法、对称轴公式
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，解题关键是熟练掌握二次函数对称轴的两种求解方法，属于二次函数部分的高频基础考点。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们可以用二次函数对称轴的两种常用求解方法：一是配方法，把二次函数一般式转化为顶点式，直接得到对称轴；二是公式法，利用二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算。我们先确定函数的对应系数，或把解析式配成顶点式，求出对称轴后对应选项选答案即可。
【解析】
方法1（公式法）：
二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
本题中抛物线解析式为$y=x^2+4x+4$，对应系数$a=1$，$b=4$，代入公式得：
$x=-\frac{4}{2×1}=-2$，即对称轴为直线$x=-2$。
方法2（配方法）：
对解析式配方可得：$y=x^2+4x+4=(x+2)^2$，这是二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其对称轴为直线$x=h$，此处$h=-2$，因此对称轴为直线$x=-2$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数对称轴、配方法、对称轴公式
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，解题关键是熟练掌握二次函数对称轴的两种求解方法，属于二次函数部分的高频基础考点。
【难度系数】
0.9
5.二次函数$y=-(x-1)^2$的图象大致是(
B
).答案
5.B
解析
【分析】
要判断二次函数的图象，需结合二次函数顶点式的性质逐步筛选：首先根据二次项系数的符号判断抛物线开口方向，排除不符合的选项；再根据顶点式的参数确定抛物线的顶点坐标和对称轴，排除剩余不符合的选项，即可得到正确答案。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，性质如下：
1. 判断开口方向：本题中二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，直接排除开口向上的选项A、C；
2. 确定顶点与对称轴：该函数中$h=1$，$k=0$，因此抛物线顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$。剩余选项中，选项D的顶点为$(-1,0)$，对称轴为直线$x=-1$，不符合特征；选项B开口向下，顶点为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$，与函数性质完全符合。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质、抛物线开口判断、抛物线对称轴确定
【点评】
本题属于二次函数图象的基础考查题，熟练掌握顶点式中各参数对应的图象特征，即可快速筛选出正确选项。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数的图象，需结合二次函数顶点式的性质逐步筛选：首先根据二次项系数的符号判断抛物线开口方向，排除不符合的选项；再根据顶点式的参数确定抛物线的顶点坐标和对称轴，排除剩余不符合的选项，即可得到正确答案。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，性质如下：
1. 判断开口方向：本题中二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，直接排除开口向上的选项A、C；
2. 确定顶点与对称轴：该函数中$h=1$，$k=0$，因此抛物线顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$。剩余选项中，选项D的顶点为$(-1,0)$，对称轴为直线$x=-1$，不符合特征；选项B开口向下，顶点为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$，与函数性质完全符合。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质、抛物线开口判断、抛物线对称轴确定
【点评】
本题属于二次函数图象的基础考查题，熟练掌握顶点式中各参数对应的图象特征，即可快速筛选出正确选项。
【难度系数】
0.8
6.抛物线$y=-(x+1)^2$的开口
向下
，对称轴是直线$x=-1$
，顶点坐标是$(-1,0)$
，在对称轴左侧，y随x的增大而增大
。答案
6.向下，直线$x=-1$，$(-1,0)$，增大
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先识别所给解析式为二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，先确定参数$a、h、k$的取值；再根据$a$的符号判断开口方向，根据$h、k$确定对称轴和顶点坐标；最后结合开口方向判断对称轴两侧的增减性即可。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-(x+1)^2$，将其整理为顶点式标准形式为$y=-1×(x-(-1))^2+0$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$的参数：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 顶点式的对称轴为直线$x=h$，代入$h=-1$得对称轴是直线$x=-1$；
3. 顶点坐标为$(h,k)$，代入$h=-1、k=0$得顶点坐标是$(-1,0)$；
4. 开口向下的抛物线，在对称轴左侧，y随x的增大而增大。
【答案】
向下，直线$x=-1$，$(-1,0)$，增大
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数的对称性、二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数顶点式的基本性质，熟练掌握顶点式中各参数对应的几何意义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先识别所给解析式为二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，先确定参数$a、h、k$的取值；再根据$a$的符号判断开口方向，根据$h、k$确定对称轴和顶点坐标；最后结合开口方向判断对称轴两侧的增减性即可。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-(x+1)^2$，将其整理为顶点式标准形式为$y=-1×(x-(-1))^2+0$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$的参数：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 顶点式的对称轴为直线$x=h$，代入$h=-1$得对称轴是直线$x=-1$；
3. 顶点坐标为$(h,k)$，代入$h=-1、k=0$得顶点坐标是$(-1,0)$；
4. 开口向下的抛物线，在对称轴左侧，y随x的增大而增大。
【答案】
向下，直线$x=-1$，$(-1,0)$，增大
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数的对称性、二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数顶点式的基本性质，熟练掌握顶点式中各参数对应的几何意义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
7.若抛物线$y=x^2 -6x +c -4$的顶点在$x$轴上，则$c$的值为
13
。答案
7.13
解析
【分析】
解这道题的核心是抓住“抛物线顶点在x轴上”的性质：顶点在x轴上时，顶点的纵坐标为0，同时抛物线和x轴只有1个交点，对应判别式Δ=0。我们可以用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接得到顶点纵坐标的表达式，令其等于0就能求出c的值；也可以用判别式Δ=0列方程求解，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一（配方法）：
对二次函数$y=x^2 -6x +c -4$配方：
$\begin{aligned}y&=x^2-6x+9-9+c-4\\&=(x-3)^2+(c-13)\end{aligned}$
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，已知顶点在x轴上，因此顶点纵坐标$k=0$，即：
$c-13=0$
解得$c=13$。
方法二（判别式法）：
抛物线顶点在x轴上，说明抛物线与x轴只有一个交点，对应一元二次方程$x^2-6x+c-4=0$的判别式$\Delta=0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+C=0$（本题中$a=1,b=-6,C=c-4$），$\Delta=b^2-4aC$，代入得：
$\begin{aligned}(-6)^2-4×1×(c-4)&=0\\36-4c+16&=0\\52&=4c\\c&=13\end{aligned}$
【答案】
13
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象性质、判别式应用
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，只要掌握顶点在x轴上的两个等价结论就能顺利求解，计算时注意区分题目参数c和二次函数一般式的常数项即可。
【难度系数】
0.8
解这道题的核心是抓住“抛物线顶点在x轴上”的性质：顶点在x轴上时，顶点的纵坐标为0，同时抛物线和x轴只有1个交点，对应判别式Δ=0。我们可以用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接得到顶点纵坐标的表达式，令其等于0就能求出c的值；也可以用判别式Δ=0列方程求解，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一（配方法）：
对二次函数$y=x^2 -6x +c -4$配方：
$\begin{aligned}y&=x^2-6x+9-9+c-4\\&=(x-3)^2+(c-13)\end{aligned}$
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，已知顶点在x轴上，因此顶点纵坐标$k=0$，即：
$c-13=0$
解得$c=13$。
方法二（判别式法）：
抛物线顶点在x轴上，说明抛物线与x轴只有一个交点，对应一元二次方程$x^2-6x+c-4=0$的判别式$\Delta=0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+C=0$（本题中$a=1,b=-6,C=c-4$），$\Delta=b^2-4aC$，代入得：
$\begin{aligned}(-6)^2-4×1×(c-4)&=0\\36-4c+16&=0\\52&=4c\\c&=13\end{aligned}$
【答案】
13
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象性质、判别式应用
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，只要掌握顶点在x轴上的两个等价结论就能顺利求解，计算时注意区分题目参数c和二次函数一般式的常数项即可。
【难度系数】
0.8
8.抛物线 $y=-2(x-\dfrac{3}{2})^2$ 的顶点坐标是
$(\dfrac{3}{2},0)$
。答案
8.$(\dfrac{3}{2},0)$
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关应用，解题核心是明确二次函数顶点式的结构和顶点坐标的对应关系。首先回忆二次函数顶点式的标准形式：$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），该形式下直接可读取顶点坐标为$(h,k)$，解题时只需将题干给出的解析式和标准顶点式对照，找出对应的$h$、$k$值即可得到顶点坐标。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$a、h、k$均为常数），对应抛物线的顶点坐标为$(h,k)$。
将题干中的抛物线解析式$y=-2(x-\dfrac{3}{2})^2$与顶点式对比可得：$h=\dfrac{3}{2}$，$k=0$，因此该抛物线的顶点坐标为$(\dfrac{3}{2},0)$。
【答案】
$(\dfrac{3}{2},0)$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于基础类题型，主要考查对二次函数顶点式基本性质的掌握，只要牢记顶点式中各参数的几何意义，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的相关应用，解题核心是明确二次函数顶点式的结构和顶点坐标的对应关系。首先回忆二次函数顶点式的标准形式：$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），该形式下直接可读取顶点坐标为$(h,k)$，解题时只需将题干给出的解析式和标准顶点式对照，找出对应的$h$、$k$值即可得到顶点坐标。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$a、h、k$均为常数），对应抛物线的顶点坐标为$(h,k)$。
将题干中的抛物线解析式$y=-2(x-\dfrac{3}{2})^2$与顶点式对比可得：$h=\dfrac{3}{2}$，$k=0$，因此该抛物线的顶点坐标为$(\dfrac{3}{2},0)$。
【答案】
$(\dfrac{3}{2},0)$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于基础类题型，主要考查对二次函数顶点式基本性质的掌握，只要牢记顶点式中各参数的几何意义，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
9.已知点$A(-5,y_1)$，$B(-3,y_2)$都在二次函数$y=a(x-1)^2(a＜0)$的图象上，那么$y_1$
＜
$y_2$（填“＞”“＜”或“=”）。答案
9.＜
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式的相关性质：第一步，先从给定的解析式确定抛物线的开口方向和对称轴；第二步，判断两个点是否在对称轴的同侧，再结合开口方向对应的增减性，或者通过比较两点到对称轴的距离，就能得出两个函数值的大小关系。本题中a＜0说明抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，A、B两点横坐标都小于1，都在对称轴左侧，开口向下时对称轴左侧y随x增大而增大，比较两点横坐标大小即可得到y值的大小关系。
【解析】
解：
∵二次函数解析式为$y=a(x-1)^2$，且$a＜0$，
∴该抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大，
∵点$A(-5,y_1)$、$B(-3,y_2)$的横坐标$-5＜1$，$-3＜1$，两点均在对称轴左侧，
又
∵$-5＜-3$，
∴$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数增减性，二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是掌握抛物线开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，除了用增减性判断，也可直接代入坐标计算函数值比较大小，解题方法灵活。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数顶点式的相关性质：第一步，先从给定的解析式确定抛物线的开口方向和对称轴；第二步，判断两个点是否在对称轴的同侧，再结合开口方向对应的增减性，或者通过比较两点到对称轴的距离，就能得出两个函数值的大小关系。本题中a＜0说明抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，A、B两点横坐标都小于1，都在对称轴左侧，开口向下时对称轴左侧y随x增大而增大，比较两点横坐标大小即可得到y值的大小关系。
【解析】
解：
∵二次函数解析式为$y=a(x-1)^2$，且$a＜0$，
∴该抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大，
∵点$A(-5,y_1)$、$B(-3,y_2)$的横坐标$-5＜1$，$-3＜1$，两点均在对称轴左侧，
又
∵$-5＜-3$，
∴$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数增减性，二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是掌握抛物线开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，除了用增减性判断，也可直接代入坐标计算函数值比较大小，解题方法灵活。
【难度系数】
0.8
10.已知二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$，若$-1≤ x≤5$，则$y$的取值范围是
$0≤y≤8$
。答案
10.$0≤y≤8$
解析
【分析】
解题时首先根据二次函数的顶点式确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，判断顶点横坐标是否在给定的x取值范围内：本题中二次函数开口向上，顶点处取得最小值，若顶点在区间内，最小值为顶点纵坐标，再分别计算区间两个端点对应的函数值，较大的即为区间内的最大值，最终即可得到y的取值范围。
【解析】
已知二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$，
$\because a=\frac{1}{2}＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
$\because$ 给定x的取值范围为$-1≤ x≤5$，对称轴$x=1$在该区间内，
$\therefore$ 当$x=1$时，y取得最小值，$y_{\mathrm{最小}}=0$。
分别计算区间端点对应的函数值：
当$x=-1$时，$y=\frac{1}{2}×(-1-1)^2=\frac{1}{2}×4=2$；
当$x=5$时，$y=\frac{1}{2}×(5-1)^2=\frac{1}{2}×16=8$。
$\because 8＞2$，$\therefore$ 当$x=5$时，y取得最大值，$y_{\mathrm{最大}}=8$。
综上，y的取值范围是$0≤y≤8$。
【答案】
$0≤y≤8$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数最值；区间值域求解
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，解题核心是明确开口方向、对称轴与给定区间的位置关系，准确找到最值对应的自变量取值，再代入计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据二次函数的顶点式确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，判断顶点横坐标是否在给定的x取值范围内：本题中二次函数开口向上，顶点处取得最小值，若顶点在区间内，最小值为顶点纵坐标，再分别计算区间两个端点对应的函数值，较大的即为区间内的最大值，最终即可得到y的取值范围。
【解析】
已知二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$，
$\because a=\frac{1}{2}＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
$\because$ 给定x的取值范围为$-1≤ x≤5$，对称轴$x=1$在该区间内，
$\therefore$ 当$x=1$时，y取得最小值，$y_{\mathrm{最小}}=0$。
分别计算区间端点对应的函数值：
当$x=-1$时，$y=\frac{1}{2}×(-1-1)^2=\frac{1}{2}×4=2$；
当$x=5$时，$y=\frac{1}{2}×(5-1)^2=\frac{1}{2}×16=8$。
$\because 8＞2$，$\therefore$ 当$x=5$时，y取得最大值，$y_{\mathrm{最大}}=8$。
综上，y的取值范围是$0≤y≤8$。
【答案】
$0≤y≤8$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数最值；区间值域求解
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，解题核心是明确开口方向、对称轴与给定区间的位置关系，准确找到最值对应的自变量取值，再代入计算即可。
【难度系数】
0.7
11.若抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线$x=-1$，与y轴交于点$A(0,-3)$.求该抛物线的顶点坐标.
答案
11.【解】
∵抛物线的顶点在$x$轴上,对称轴是直线$x=-1$,
∴设抛物线的解析式为$y=a(x+1)^2$.
又
∵点$A(0,-3)$在该抛物线上,
∴$a=-3$,即抛物线的解析式为$y=-3(x+1)^2$.
∴该抛物线的顶点坐标为$(-1,0)$.
∵抛物线的顶点在$x$轴上,对称轴是直线$x=-1$,
∴设抛物线的解析式为$y=a(x+1)^2$.
又
∵点$A(0,-3)$在该抛物线上,
∴$a=-3$,即抛物线的解析式为$y=-3(x+1)^2$.
∴该抛物线的顶点坐标为$(-1,0)$.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件，结合二次函数的性质思考：首先，抛物线的顶点一定在对称轴上，已知对称轴是直线$x=-1$，说明顶点的横坐标为$-1$；又已知顶点在$x$轴上，说明顶点的纵坐标为$0$，也可通过设顶点式解析式验证结果。由于已知对称轴和顶点位置，优先选择顶点式设解析式，再代入已知交点坐标确认即可。
【解析】
∵抛物线的顶点在$x$轴上，对称轴是直线$x=-1$，
∴设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x+1)^2$（顶点式对应顶点坐标为$(-1,0)$）。
∵点$A(0,-3)$在该抛物线上，将$x=0$，$y=-3$代入解析式得：
$-3=a×(0+1)^2$，解得$a=-3$，
即抛物线的解析式为$y=-3(x+1)^2$，符合题设条件。
∴该抛物线的顶点坐标为$(-1,0)$。
【答案】
$(-1,0)$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数对称轴性质；二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于二次函数的基础应用题，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式与顶点坐标、对称轴的对应关系，根据已知条件选对解析式形式可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件，结合二次函数的性质思考：首先，抛物线的顶点一定在对称轴上，已知对称轴是直线$x=-1$，说明顶点的横坐标为$-1$；又已知顶点在$x$轴上，说明顶点的纵坐标为$0$，也可通过设顶点式解析式验证结果。由于已知对称轴和顶点位置，优先选择顶点式设解析式，再代入已知交点坐标确认即可。
【解析】
∵抛物线的顶点在$x$轴上，对称轴是直线$x=-1$，
∴设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x+1)^2$（顶点式对应顶点坐标为$(-1,0)$）。
∵点$A(0,-3)$在该抛物线上，将$x=0$，$y=-3$代入解析式得：
$-3=a×(0+1)^2$，解得$a=-3$，
即抛物线的解析式为$y=-3(x+1)^2$，符合题设条件。
∴该抛物线的顶点坐标为$(-1,0)$。
【答案】
$(-1,0)$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数对称轴性质；二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于二次函数的基础应用题，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式与顶点坐标、对称轴的对应关系，根据已知条件选对解析式形式可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
