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12.如图,抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点为A,与y轴的负半轴交于点B,且$OB=OA$.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点$C(-3,b)$在该抛物线上,求$b$的值;
(3)若点$D(x_1,y_1),E(x_2,y_2)$在此抛物线上,且$-1＜x_1＜x_2$,试比较$y_1$与$y_2$的大小.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点$C(-3,b)$在该抛物线上,求$b$的值;
(3)若点$D(x_1,y_1),E(x_2,y_2)$在此抛物线上,且$-1＜x_1＜x_2$,试比较$y_1$与$y_2$的大小.
答案
12.【解】(1)
∵抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点为$A$,
∴$A(-1,0)$.
∴$OA=1$.
∵$OA=OB$,
∴点$B(0,-1)$,代入$y=a(x+1)^2$中,
得$-1=a(0+1)^2$.解得$a=-1$.
∴抛物线的解析式为$y=-(x+1)^2$,即$y=-x^2-2x-1$.
(2)将$C(-3,b)$代入$y=-(x+1)^2$中,
得$b=-(-3+1)^2$.解得$b=-4$.
(3)
∵抛物线$y=-(x+1)^2$的对称轴为直线$x=-1$,且开口向下,
∴当$x＞-1$时,$y$随$x$的增大而减小.
∵点$D(x_1,y_1),E(x_2,y_2)$在此抛物线上,且$-1＜x_1＜x_2$,
∴$y_1＞y_2$.
∵抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点为$A$,
∴$A(-1,0)$.
∴$OA=1$.
∵$OA=OB$,
∴点$B(0,-1)$,代入$y=a(x+1)^2$中,
得$-1=a(0+1)^2$.解得$a=-1$.
∴抛物线的解析式为$y=-(x+1)^2$,即$y=-x^2-2x-1$.
(2)将$C(-3,b)$代入$y=-(x+1)^2$中,
得$b=-(-3+1)^2$.解得$b=-4$.
(3)
∵抛物线$y=-(x+1)^2$的对称轴为直线$x=-1$,且开口向下,
∴当$x＞-1$时,$y$随$x$的增大而减小.
∵点$D(x_1,y_1),E(x_2,y_2)$在此抛物线上,且$-1＜x_1＜x_2$,
∴$y_1＞y_2$.
解析
【分析】
(1) 先根据抛物线顶点式的特点直接得到顶点A的坐标，求出OA的长度，结合OB=OA确定y轴上点B的坐标，再将B点坐标代入抛物线解析式求出参数a，即可得到抛物线解析式；
(2) 点在抛物线上即满足抛物线解析式，将点C的横坐标代入解析式计算即可得到b的值；
(3) 先判断抛物线的开口方向和对称轴，结合二次函数的增减性规律，再根据x₁、x₂的取值范围，即可比较y₁和y₂的大小。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点为A，
∴$A(-1,0)$，可得$OA=1$。
∵$OA=OB$，且点B在y轴负半轴，
∴点B的坐标为$(0,-1)$，将其代入$y=a(x+1)^2$中，
得$-1=a(0+1)^2$，解得$a=-1$。
∴抛物线的解析式为$y=-(x+1)^2$，即$y=-x^2-2x-1$。
(2) 将$C(-3,b)$代入$y=-(x+1)^2$中，
得$b=-(-3+1)^2=-4$。
(3)
∵抛物线$y=-(x+1)^2$的对称轴为直线$x=-1$，且$a=-1＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x＞-1$时，y随x的增大而减小。
∵点$D(x_1,y_1),E(x_2,y_2)$在此抛物线上，且$-1＜x_1＜x_2$，
∴$y_1＞y_2$。
【答案】
(1) $y=-(x+1)^2$（或$y=-x^2-2x-1$）；
(2) $b=-4$；
(3) $y_1＞y_2$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题，考查了二次函数解析式求解、函数图象上点的坐标计算、增减性的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点式的特点和基本性质。
【难度系数】
0.8
(1) 先根据抛物线顶点式的特点直接得到顶点A的坐标，求出OA的长度，结合OB=OA确定y轴上点B的坐标，再将B点坐标代入抛物线解析式求出参数a，即可得到抛物线解析式；
(2) 点在抛物线上即满足抛物线解析式，将点C的横坐标代入解析式计算即可得到b的值；
(3) 先判断抛物线的开口方向和对称轴，结合二次函数的增减性规律，再根据x₁、x₂的取值范围，即可比较y₁和y₂的大小。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点为A，
∴$A(-1,0)$，可得$OA=1$。
∵$OA=OB$，且点B在y轴负半轴，
∴点B的坐标为$(0,-1)$，将其代入$y=a(x+1)^2$中，
得$-1=a(0+1)^2$，解得$a=-1$。
∴抛物线的解析式为$y=-(x+1)^2$，即$y=-x^2-2x-1$。
(2) 将$C(-3,b)$代入$y=-(x+1)^2$中，
得$b=-(-3+1)^2=-4$。
(3)
∵抛物线$y=-(x+1)^2$的对称轴为直线$x=-1$，且$a=-1＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x＞-1$时，y随x的增大而减小。
∵点$D(x_1,y_1),E(x_2,y_2)$在此抛物线上，且$-1＜x_1＜x_2$，
∴$y_1＞y_2$。
【答案】
(1) $y=-(x+1)^2$（或$y=-x^2-2x-1$）；
(2) $b=-4$；
(3) $y_1＞y_2$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题，考查了二次函数解析式求解、函数图象上点的坐标计算、增减性的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点式的特点和基本性质。
【难度系数】
0.8
1.如图,二次函数$y=(x+a)^2$与一次函数$y=ax-a$的图象可能是(
D
). 答案
1.D
解析
【分析】
本题是含相同参数的一次函数与二次函数图象判断问题，解题思路如下：首先分析一次函数解析式，变形后可发现其恒过定点(1,0)，即与x轴的交点在x轴正半轴，据此可先排除不符合该特征的选项；再对剩余选项，根据一次函数的斜率、截距判断参数a的正负，再验证对应a的取值下二次函数的图象特征是否匹配，排除矛盾选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 先分析一次函数$y=ax-a$：将解析式变形为$y=a(x-1)$，当$x=1$时，$y=0$，因此一次函数恒过点$(1,0)$，即与x轴交点在x轴正半轴。
观察选项A、B，其中一次函数与x轴交点均在x轴负半轴，不符合特征，直接排除A、B。
2. 分析剩余选项C、D：
对选项C：一次函数呈下降趋势，说明斜率$a＜0$；二次函数$y=(x+a)^2$的顶点坐标为$(-a,0)$，若$a＜0$，则$-a＞0$，即二次函数顶点应在x轴正半轴，但C中二次函数顶点在x轴负半轴，二者矛盾，排除C。
对选项D：一次函数呈上升趋势，说明斜率$a＞0$，一次函数与y轴交于负半轴，说明截距$-a＜0$，符合$a＞0$的结论；此时二次函数顶点横坐标为$-a＜0$，即顶点在x轴负半轴，与D中二次函数图象特征完全匹配。
综上，只有D选项图象符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，含参函数图象判断
【点评】
本题是函数部分的典型题型，核心考查相同参数下不同函数图象特征的对应关系，解题时要抓住参数的一致性，结合定点分析、分类讨论的方法快速排除错误选项，能有效考查对函数图象性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
本题是含相同参数的一次函数与二次函数图象判断问题，解题思路如下：首先分析一次函数解析式，变形后可发现其恒过定点(1,0)，即与x轴的交点在x轴正半轴，据此可先排除不符合该特征的选项；再对剩余选项，根据一次函数的斜率、截距判断参数a的正负，再验证对应a的取值下二次函数的图象特征是否匹配，排除矛盾选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 先分析一次函数$y=ax-a$：将解析式变形为$y=a(x-1)$，当$x=1$时，$y=0$，因此一次函数恒过点$(1,0)$，即与x轴交点在x轴正半轴。
观察选项A、B，其中一次函数与x轴交点均在x轴负半轴，不符合特征，直接排除A、B。
2. 分析剩余选项C、D：
对选项C：一次函数呈下降趋势，说明斜率$a＜0$；二次函数$y=(x+a)^2$的顶点坐标为$(-a,0)$，若$a＜0$，则$-a＞0$，即二次函数顶点应在x轴正半轴，但C中二次函数顶点在x轴负半轴，二者矛盾，排除C。
对选项D：一次函数呈上升趋势，说明斜率$a＞0$，一次函数与y轴交于负半轴，说明截距$-a＜0$，符合$a＞0$的结论；此时二次函数顶点横坐标为$-a＜0$，即顶点在x轴负半轴，与D中二次函数图象特征完全匹配。
综上，只有D选项图象符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，含参函数图象判断
【点评】
本题是函数部分的典型题型，核心考查相同参数下不同函数图象特征的对应关系，解题时要抓住参数的一致性，结合定点分析、分类讨论的方法快速排除错误选项，能有效考查对函数图象性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
2.已知点$(-3,y_1),(0,y_2)$和$(1,y_3)$都在抛物线$y=(x+2)^2$上，那么$y_1,y_2$和$y_3$的大小关系为(
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_1＞y_2＞y_3$
D.$y_1＞y_3＞y_2$
A
).A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_1＞y_2＞y_3$
D.$y_1＞y_3＞y_2$
答案
2.A
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，有两种常规解题思路：思路一，直接将三个点的横坐标代入抛物线解析式，分别计算出$y_1,y_2,y_3$的数值，再比较大小；思路二，先分析抛物线的开口方向和对称轴，根据“开口向上的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，对应函数值越大”的性质，通过比较距离判断y值大小，两种方法均符合九年级知识要求，简单易操作。
【解析】
方法一：代入计算法
将三个点的横坐标分别代入$y=(x+2)^2$：
① 当$x=-3$时，$y_1=(-3+2)^2=(-1)^2=1$；
② 当$x=0$时，$y_2=(0+2)^2=2^2=4$；
③ 当$x=1$时，$y_3=(1+2)^2=3^2=9$。
因为$1＜4＜9$，所以$y_1＜y_2＜y_3$。
方法二：性质判断法
抛物线$y=(x+2)^2$中，$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$。
开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越远，对应函数值越大：
点$(-3,y_1)$到对称轴的距离：$|-3-(-2)|=1$；
点$(0,y_2)$到对称轴的距离：$|0-(-2)|=2$；
点$(1,y_3)$到对称轴的距离：$|1-(-2)|=3$。
因为$1＜2＜3$，所以$y_1＜y_2＜y_3$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础考题，两种解题方法都容易掌握，代入法直接易懂，性质法更快捷，能很好地考查学生对二次函数基本性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
要比较三个点的函数值大小，有两种常规解题思路：思路一，直接将三个点的横坐标代入抛物线解析式，分别计算出$y_1,y_2,y_3$的数值，再比较大小；思路二，先分析抛物线的开口方向和对称轴，根据“开口向上的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，对应函数值越大”的性质，通过比较距离判断y值大小，两种方法均符合九年级知识要求，简单易操作。
【解析】
方法一：代入计算法
将三个点的横坐标分别代入$y=(x+2)^2$：
① 当$x=-3$时，$y_1=(-3+2)^2=(-1)^2=1$；
② 当$x=0$时，$y_2=(0+2)^2=2^2=4$；
③ 当$x=1$时，$y_3=(1+2)^2=3^2=9$。
因为$1＜4＜9$，所以$y_1＜y_2＜y_3$。
方法二：性质判断法
抛物线$y=(x+2)^2$中，$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$。
开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越远，对应函数值越大：
点$(-3,y_1)$到对称轴的距离：$|-3-(-2)|=1$；
点$(0,y_2)$到对称轴的距离：$|0-(-2)|=2$；
点$(1,y_3)$到对称轴的距离：$|1-(-2)|=3$。
因为$1＜2＜3$，所以$y_1＜y_2＜y_3$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础考题，两种解题方法都容易掌握，代入法直接易懂，性质法更快捷，能很好地考查学生对二次函数基本性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
3.在平面直角坐标系$xOy$中，若点$(-2,a)$和点$(3,b)$在二次函数$y=(x+1)^2$的图象上，则$a$
＜
$b$(填“＞”“＜”或“=”).答案
3.＜
解析
【分析】
解题可从两种思路入手：思路1：先明确二次函数的开口方向和对称轴，根据开口向上的二次函数“点离对称轴越远，函数值越大”的性质，计算两个点到对称轴的距离，比较距离大小即可判断a、b的大小；思路2：直接将两个点的横坐标代入解析式，分别求出a和b的数值，再比较大小即可，两种方法都符合九年级所学知识要求。
【解析】
方法一：利用二次函数性质求解
二次函数$y=(x+1)^2$的二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$。
点$(-2,a)$到对称轴的距离：$\vert -2 - (-1)\vert=1$
点$(3,b)$到对称轴的距离：$\vert 3 - (-1)\vert=4$
因为$4＞1$，开口向上的抛物线上，离对称轴越远的点对应的函数值越大，所以$a＜b$。
方法二：代入求值比较
将$x=-2$代入$y=(x+1)^2$，得$a=(-2+1)^2=1$
将$x=3$代入$y=(x+1)^2$，得$b=(3+1)^2=16$
因为$1＜16$，所以$a＜b$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数的性质；二次函数求值
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过代入计算直接比较函数值，也可以利用抛物线的对称性和增减性快速判断，熟练掌握二次函数的图象特征是解题的核心。
【难度系数】
0.9
解题可从两种思路入手：思路1：先明确二次函数的开口方向和对称轴，根据开口向上的二次函数“点离对称轴越远，函数值越大”的性质，计算两个点到对称轴的距离，比较距离大小即可判断a、b的大小；思路2：直接将两个点的横坐标代入解析式，分别求出a和b的数值，再比较大小即可，两种方法都符合九年级所学知识要求。
【解析】
方法一：利用二次函数性质求解
二次函数$y=(x+1)^2$的二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$。
点$(-2,a)$到对称轴的距离：$\vert -2 - (-1)\vert=1$
点$(3,b)$到对称轴的距离：$\vert 3 - (-1)\vert=4$
因为$4＞1$，开口向上的抛物线上，离对称轴越远的点对应的函数值越大，所以$a＜b$。
方法二：代入求值比较
将$x=-2$代入$y=(x+1)^2$，得$a=(-2+1)^2=1$
将$x=3$代入$y=(x+1)^2$，得$b=(3+1)^2=16$
因为$1＜16$，所以$a＜b$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数的性质；二次函数求值
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过代入计算直接比较函数值，也可以利用抛物线的对称性和增减性快速判断，熟练掌握二次函数的图象特征是解题的核心。
【难度系数】
0.9
4.已知二次函数$y=-2(x-a)^2$（$a$为常数），当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小，则$a$的取值范围是
$a≤3$
。答案
4.$a≤3$
解析
【分析】
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：二次项系数决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，开口向下时，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。本题中先确定函数的开口方向和对称轴，再结合“$x＞3$时$y$随$x$的增大而减小”的条件，判断对称轴$x=a$的位置，即可求出$a$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=-2(x-a)^2$：
1. 二次项系数为$-2＜0$，因此函数图象开口向下；
2. 函数的对称轴为直线$x=a$，开口向下时，当$x≥ a$时，$y$随$x$的增大而减小；
3. 已知当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小，说明$x＞3$的区间全部在函数的递减区间内，因此对称轴$x=a$需满足$a≤3$（若$a＞3$，则$3＜x＜a$时$y$随$x$增大而增大，不符合题意）。
【答案】
$a≤3$
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数增减性的基础应用题型，解题核心是明确开口方向、对称轴与函数增减区间的对应关系，容易出错的点是遗漏$a=3$的情况，判断时可代入验证$a=3$时是否符合题意。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：二次项系数决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，开口向下时，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。本题中先确定函数的开口方向和对称轴，再结合“$x＞3$时$y$随$x$的增大而减小”的条件，判断对称轴$x=a$的位置，即可求出$a$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=-2(x-a)^2$：
1. 二次项系数为$-2＜0$，因此函数图象开口向下；
2. 函数的对称轴为直线$x=a$，开口向下时，当$x≥ a$时，$y$随$x$的增大而减小；
3. 已知当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小，说明$x＞3$的区间全部在函数的递减区间内，因此对称轴$x=a$需满足$a≤3$（若$a＞3$，则$3＜x＜a$时$y$随$x$增大而增大，不符合题意）。
【答案】
$a≤3$
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数增减性的基础应用题型，解题核心是明确开口方向、对称轴与函数增减区间的对应关系，容易出错的点是遗漏$a=3$的情况，判断时可代入验证$a=3$时是否符合题意。
【难度系数】
0.7
5.如图,直线$y=-x-2$交$x$轴于点$A$,交$y$轴于点$B$,抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为$A$,且经过点$B$.
(1)求$a$的值;
(2)若点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在该抛物线上,求$m$的值;
(3)请在抛物线的对称轴上找一点$P$,使$PO+PB$的值最小,并求出点$P$的坐标.
(1)求$a$的值;
(2)若点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在该抛物线上,求$m$的值;
(3)请在抛物线的对称轴上找一点$P$,使$PO+PB$的值最小,并求出点$P$的坐标.
答案
5.【解】(1)对于$y=-x-2$,当$x=0$时,$y=-2$;
当$y=0$时,$x=-2$,
∴$B(0,-2)$,$A(-2,0)$.
∴抛物线的顶点为$A(-2,0)$.
∴$y=a(x+2)^2$.
又
∵抛物线经过点$B(0,-2)$,
∴$-2=4a$,解得$a=-\dfrac{1}{2}$.
(2)
∵点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$上,
∴$-\dfrac{1}{2}(m+2)^2=-\dfrac{9}{2}$,解得$m_1=1$,$m_2=-5$.
∴$m$的值为$1$或$-5$.
(3)如图,设点$B$关于对称轴的对称点为$B'$,
连接$OB'$,$OB'$与对称轴的交点即为点$P$.
∵点$B$的坐标为$(0,-2)$,对称轴是直线$x=-2$,
∴$B'(-4,-2)$,
则直线$OB'$的函数解析式为$y=\dfrac{1}{2}x$.
联立$\begin{cases} x=-2, \\ y=\dfrac{1}{2}x, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-2, \\ y=-1. \end{cases}$
∴点$P$的坐标为$(-2,-1)$.
解析
【分析】
(1) 先从直线解析式出发，分别令x=0、y=0求出点B、A的坐标；已知抛物线顶点为A，可直接写出抛物线的顶点式，再将B点坐标代入顶点式即可求出a的值。
(2) 抛物线上的点的坐标满足抛物线解析式，将点C的横、纵坐标代入抛物线解析式，解一元二次方程即可得到m的值。
(3) 本题属于最短路径问题，依据“两点之间线段最短”，先找到点B关于抛物线对称轴的对称点B'，则PB=PB'，PO+PB的最小值即为OB'的长度，OB'与对称轴的交点就是所求的点P；先求出B'的坐标，再求直线OB'的解析式，联立对称轴方程即可求出P点坐标。
【解析】
(1) 对于直线$y=-x-2$，当$x=0$时，$y=-2$；当$y=0$时，$x=-2$，
$\therefore B(0,-2)$，$A(-2,0)$。
$\because$抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为$A(-2,0)$，
$\therefore$抛物线解析式为$y=a(x+2)^2$。
又$\because$抛物线经过点$B(0,-2)$，
将$B(0,-2)$代入解析式得：$-2=4a$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$，
$\because$点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在该抛物线上，
$\therefore$将$C$点坐标代入解析式得：$-\dfrac{1}{2}(m+2)^2=-\dfrac{9}{2}$，
整理得$(m+2)^2=9$，
开方得$m+2=\pm3$，
解得$m_1=1$，$m_2=-5$。
(3) 作点$B$关于抛物线对称轴的对称点$B'$，连接$OB'$，$OB'$与对称轴的交点即为所求的点$P$，此时$PO+PB$的值最小。
$\because$抛物线对称轴为直线$x=-2$，点$B$坐标为$(0,-2)$，
$\therefore B$关于直线$x=-2$的对称点$B'$的坐标为$(-4,-2)$。
设直线$OB'$的解析式为$y=kx$（$k≠0$），将$B'(-4,-2)$代入得：
$-2=-4k$，解得$k=\dfrac{1}{2}$，
$\therefore$直线$OB'$的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x$。
联立$\begin{cases} x=-2 \\ y=\dfrac{1}{2}x \end{cases}$，解得$\begin{cases} x=-2 \\ y=-1 \end{cases}$。
【答案】
(1)$a=-\dfrac{1}{2}$；
(2)$m$的值为$1$或$-5$；
(3)点$P$的坐标为$(-2,-1)$，作图如下：
【知识点】
二次函数的顶点式，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称最短路径问题
【点评】
本题综合考查了一次函数、二次函数的基本性质，以及最短路径的常见模型，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及利用轴对称转化线段求最短路径的思路，既注重基础知识点的应用，也考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
(1) 先从直线解析式出发，分别令x=0、y=0求出点B、A的坐标；已知抛物线顶点为A，可直接写出抛物线的顶点式，再将B点坐标代入顶点式即可求出a的值。
(2) 抛物线上的点的坐标满足抛物线解析式，将点C的横、纵坐标代入抛物线解析式，解一元二次方程即可得到m的值。
(3) 本题属于最短路径问题，依据“两点之间线段最短”，先找到点B关于抛物线对称轴的对称点B'，则PB=PB'，PO+PB的最小值即为OB'的长度，OB'与对称轴的交点就是所求的点P；先求出B'的坐标，再求直线OB'的解析式，联立对称轴方程即可求出P点坐标。
【解析】
(1) 对于直线$y=-x-2$，当$x=0$时，$y=-2$；当$y=0$时，$x=-2$，
$\therefore B(0,-2)$，$A(-2,0)$。
$\because$抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为$A(-2,0)$，
$\therefore$抛物线解析式为$y=a(x+2)^2$。
又$\because$抛物线经过点$B(0,-2)$，
将$B(0,-2)$代入解析式得：$-2=4a$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$，
$\because$点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在该抛物线上，
$\therefore$将$C$点坐标代入解析式得：$-\dfrac{1}{2}(m+2)^2=-\dfrac{9}{2}$，
整理得$(m+2)^2=9$，
开方得$m+2=\pm3$，
解得$m_1=1$，$m_2=-5$。
(3) 作点$B$关于抛物线对称轴的对称点$B'$，连接$OB'$，$OB'$与对称轴的交点即为所求的点$P$，此时$PO+PB$的值最小。
$\because$抛物线对称轴为直线$x=-2$，点$B$坐标为$(0,-2)$，
$\therefore B$关于直线$x=-2$的对称点$B'$的坐标为$(-4,-2)$。
设直线$OB'$的解析式为$y=kx$（$k≠0$），将$B'(-4,-2)$代入得：
$-2=-4k$，解得$k=\dfrac{1}{2}$，
$\therefore$直线$OB'$的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x$。
联立$\begin{cases} x=-2 \\ y=\dfrac{1}{2}x \end{cases}$，解得$\begin{cases} x=-2 \\ y=-1 \end{cases}$。
【答案】
(1)$a=-\dfrac{1}{2}$；
(2)$m$的值为$1$或$-5$；
(3)点$P$的坐标为$(-2,-1)$，作图如下：
【知识点】
二次函数的顶点式，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称最短路径问题
【点评】
本题综合考查了一次函数、二次函数的基本性质，以及最短路径的常见模型，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及利用轴对称转化线段求最短路径的思路，既注重基础知识点的应用，也考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
