12.二次函数$y=ax^2+1$的图象与直线$y=2x-2$相交于点$P(1,m)$.
(1)求$a,m$的值；
(2)写出二次函数的解析式，并在平面直角坐标系内描点画出该二次函数的图象；
(3)求该抛物线的对称轴和顶点坐标；
(4)若该抛物线上两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$的横坐标满足$x_1＞x_2＞0$，则比较$y_1$与$y_2$的大小关系的结果是什么？

12.【解】(1)$\because$点 $P(1,m)$在直线 $y=2x-2$ 上，
将 $x=1$ 代入直线解析式，得 $m=2×1-2=0.$
又$\because$点 $P(1,0)$在二次函数 $y=ax^2+1$ 的图象上，
将 $x=1,y=0$ 代入，得 $0=a×1^2+1.$ 解得 $a=-1.$
$\therefore a=-1,m=0.$
(2)二次函数的解析式为 $y=-x^2+1$，图略.
(3)抛物线 $y=-x^2+1$ 的对称轴为 $y$ 轴(即直线 $x=0$).
当 $x=0$ 时，$y=-0^2+1=1.$
$\therefore$ 该抛物线的顶点坐标是$(0,1).$
(4)$\because$二次函数 $y=-x^2+1$ 的图象开口向下，对称轴是$y$轴，
在对称轴的右侧$(x＞0$时)，$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
又$\because x_1＞x_2＞0,\therefore y_1＜y_2.$

【分析】
(1) 点P是直线与二次函数的交点，坐标同时满足两个函数解析式：先将P的横坐标代入直线解析式求出m的值，再将得到的P点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值。
(2) 将(1)中求得的a代入二次函数原式即可得到解析式；画图象采用描点法，选取对称的x值计算对应y值，描点后用平滑曲线连接即可。
(3) 对于形如$y=ax^2+k$的二次函数，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$，也可代入$x=0$计算顶点纵坐标得到顶点坐标。
(4) 先根据a的符号判断抛物线开口方向，结合对称轴分析$x＞0$时函数的增减性，再根据$x_1、x_2$的大小关系比较$y_1、y_2$的大小。
【解析】
(1) $\because$点 $P(1,m)$在直线 $y=2x-2$ 上，
将 $x=1$ 代入直线解析式，得 $m=2×1-2=0$。
又$\because$点 $P(1,0)$在二次函数 $y=ax^2+1$ 的图象上，
将 $x=1,y=0$ 代入，得 $0=a×1^2+1$，解得 $a=-1$。
$\therefore a=-1,m=0$。
(2) 将$a=-1$代入二次函数原式，得二次函数的解析式为 $y=-x^2+1$，画图时可取$x=-2、-1、0、1、2$，对应y值为-3、0、1、0、-3，描点后用平滑曲线连接即可，图略。
(3) 抛物线 $y=-x^2+1$ 的对称轴为 $y$ 轴(即直线 $x=0$)。
当 $x=0$ 时，$y=-0^2+1=1$。
$\therefore$ 该抛物线的顶点坐标是$(0,1)$。
(4) $\because$二次函数 $y=-x^2+1$ 的图象开口向下，对称轴是$y$轴，
在对称轴的右侧($x＞0$时)，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。
又$\because x_1＞x_2＞0$，$\therefore y_1＜y_2$。
【答案】
(1) $a=-1$，$m=0$；
(2) 二次函数解析式为$y=-x^2+1$，图象略；
(3) 对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,1)$；
(4) $y_1＜y_2$
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 二次函数解析式求解
3. 二次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数基础题，围绕二次函数核心考点设置问题，既考查了函数交点的意义，又覆盖了二次函数解析式、对称轴、顶点坐标、增减性等知识点，是巩固二次函数基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8

1.对于抛物线$y=-2x^2+4$，有下列结论:(1)该抛物线开口向上;(2)对称轴是直线$x=0$;(3)当$x=0$时，取得最大值$y=4$;(4)顶点坐标是$(0,-4)$;(5)当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小;(6)当$-2＜x≤1$时，$y$的取值范围是$-4＜y≤2$;(7)当$0＜y＜2$时，$x$的取值范围是$-1＜x＜0$。其中，错误结论的个数为()。

A.3
B.4
C.5
D.6

1.B

【分析】
本题考查形如$y=ax^2+k$的二次函数的性质，解题思路如下：首先先确定二次函数的$a$值、对称轴、顶点坐标等基础属性，再根据开口方向判断增减性、最值，最后逐一验证每个结论的正误，统计错误结论的个数即可得到答案。
【解析】
先整理抛物线$y=-2x^2+4$的基础性质：
$\because a=-2＜0$，$\therefore$抛物线开口向下；
对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），顶点坐标为$(0,4)$，当$x=0$时，$y$取得最大值$4$；
开口向下，因此在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小，在对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而增大。
逐一判断7个结论：
(1) 抛物线开口向上：由$a=-2＜0$可知开口向下，结论错误；
(2) 对称轴是直线$x=0$：符合性质，结论正确；
(3) 当$x=0$时，取得最大值$y=4$：顶点为最高点，结论正确；
(4) 顶点坐标是$(0,-4)$：实际顶点为$(0,4)$，结论错误；
(5) 当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小：符合开口向下时对称轴右侧的增减性，结论正确；
(6) 当$-2＜x≤1$时，$y$的取值范围是$-4＜y≤2$：
计算边界值：$x=-2$时，$y=-2×(-2)^2+4=-4$；$x=0$时$y$取最大值$4$；$x=1$时$y=-2×1^2+4=2$，因此$y$的取值范围是$-4＜y≤4$，结论错误；
(7) 当$0＜y＜2$时，$x$的取值范围是$-1＜x＜0$：
解方程$-2x^2+4=2$得$x=\pm1$，解方程$-2x^2+4=0$得$x=\pm\sqrt{2}$；结合开口方向，$0＜y＜2$时$x$的取值范围是$-\sqrt{2}＜x＜-1$或$1＜x＜\sqrt{2}$，结论错误。
综上，错误的结论为(1)(4)(6)(7)，共4个。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2+k$的性质 2.二次函数的增减性 3.二次函数区间取值
【点评】
本题综合考查二次函数的基础性质，需要熟练掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等核心知识点，求解区间范围时要结合图象分析，避免遗漏对称区间的取值情况，属于二次函数性质的常规考查题型。
【难度系数】
0.6

2.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点A的坐标为$(2,0)$,C是y轴上的点,四边形OABC为矩形,$AB=1$.若抛物线$y=2x^2+c$与矩形OABC的边总有两个公共点,则实数c的取值范围是().

A.$c＞8$或$c＜-1$
B.$-1＜c＜8$
C.$c＞1$或$c＜-8$
D.$-8＜c＜1$

2.D

【分析】
首先先确定矩形各顶点的坐标，已知点A坐标为(2,0)，四边形OABC是矩形，AB=1且AB垂直于x轴，可推得B(2,1)、C(0,1)，矩形的边对应的x范围是0≤x≤2，y范围是0≤y≤1。抛物线y=2x²+c开口向上，对称轴为y轴，只需考虑x≥0的部分与矩形边的交点情况。接着找两个临界状态：①抛物线和矩形仅1个交点的上临界，即抛物线过C点时，代入可求得上临界c=1；②抛物线和矩形仅1个交点的下临界，即抛物线过A点时，代入可求得下临界c=-8。要使抛物线和矩形总有两个公共点，c的取值就在两个临界值之间。
【解析】
1. 求矩形顶点坐标
∵点A(2,0)，四边形OABC为矩形，AB=1，AB⊥x轴
∴B点坐标为(2,1)，C点坐标为(0,1)，矩形OABC的边对应取值范围：$0≤ x≤2$，$0≤ y≤1$。
2. 分析抛物线性质
抛物线$y=2x^2+c$开口向上，对称轴为y轴（$x=0$），顶点坐标为$(0,c)$。
3. 计算临界参数值
①上临界：当抛物线与矩形仅1个交点时，抛物线过C(0,1)，代入解析式：
$1=2×0^2+c$，解得$c=1$。
当$c≥1$时，$x≥0$时$y=2x^2+c≥1$，仅$c=1$时与矩形交于1个点，$c＞1$时无交点，不符合要求。
②下临界：当抛物线与矩形仅1个交点时，抛物线过A(2,0)，代入解析式：
$0=2×2^2+c$，解得$c=-8$。
当$c≤-8$时，$0≤ x≤2$时$y=2x^2+c≤0$，仅$c=-8$时与矩形交于1个点，$c＜-8$时无交点，不符合要求。
4. 确定取值范围
综上，当$-8＜c＜1$时，抛物线与矩形OABC的边总有两个公共点。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象性质，矩形的性质，函数交点计算
【点评】
本题是二次函数与几何结合的基础题，需要先明确几何图形的坐标范围，再通过代入临界交点求参数的取值范围，解题时要注意仅考虑矩形所在区域内的抛物线部分，不要被对称轴另一侧的图象干扰。
【难度系数】
0.6

3.二次函数$y=-2x^2 +3$在$-1≤ x≤4$内的最小值是.(第2题)

3.$-29$

【分析】
解题思路如下：首先明确二次函数的基本性质，先通过二次项系数判断开口方向，再确定对称轴；开口向下的二次函数，离对称轴越远的点函数值越小，接下来计算给定区间$[-1,4]$内各个端点到对称轴的距离，找到距离最远的$x$值，代入函数式计算即可得到最小值。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2 +3$：
1. 确定开口方向与对称轴：二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
2. 判断取最小值的位置：开口向下的抛物线，在自变量取值范围内，离对称轴越远的点对应的函数值越小。
计算区间端点到对称轴的距离：$|-1-0|=1$，$|4-0|=4$，$4＞1$，因此当$x=4$时，$y$取得最小值；
3. 代入计算最小值：把$x=4$代入函数得$y=-2×4^2 +3=-2×16+3=-32+3=-29$。
【答案】
$-29$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数区间最值
【点评】
本题属于二次函数最值的基础应用题，解题核心是结合开口方向、对称轴以及自变量的取值范围综合判断最值点，避免直接将顶点最值作为区间最值的误区。
【难度系数】
0.7

4.如图,抛物线$y=ax^2+c$与$x$轴交于$A,B$两点,与$y$轴交于点$C$.若$AB=6,OC=2,P(\dfrac{3}{2},b)$是抛物线上的一点,则$b$的值为.

4.$\dfrac{3}{2}$

【分析】
首先，抛物线$y=ax^2+c$的对称轴是y轴，因此与x轴的交点A、B关于原点对称。已知$AB=6$，可推出B点坐标为$(3,0)$；由$OC=2$且C在y轴正半轴，可得C点坐标为$(0,2)$。将B、C两点坐标代入抛物线解析式，即可求出$a$和$c$的值，得到完整的抛物线解析式后，把点$P$的横坐标$x=\frac{3}{2}$代入解析式，就能算出$b$的值。
【解析】
1. 确定点坐标：
抛物线$y=ax^2+c$的对称轴为y轴，A、B关于原点对称，$\because AB=6$，$\therefore OB=\frac{1}{2}AB=3$，即$B(3,0)$；
抛物线与y轴交于C，$OC=2$，$\therefore C(0,2)$。
2. 求抛物线解析式：
将$C(0,2)$代入$y=ax^2+c$，得$c=2$；
将$B(3,0)$、$c=2$代入$y=ax^2+c$，得$0=9a+2$，解得$a=-\frac{2}{9}$；
因此抛物线解析式为$y=-\frac{2}{9}x^2+2$。
3. 计算$b$的值：
$\because P(\frac{3}{2},b)$在抛物线上，将$x=\frac{3}{2}$代入解析式：
$b=-\frac{2}{9}×(\frac{3}{2})^2+2=-\frac{2}{9}×\frac{9}{4}+2=-\frac{1}{2}+2=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题，解题核心是利用二次函数的对称性快速确定交点坐标，再通过待定系数法求出解析式，最后代入计算即可，解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.7

5.已知抛物线$y=ax^2+c$过点$C(0,-3),B(\sqrt{3},0)$。
(1)求$a$的值；
(2)若点$A(1,n)$在抛物线上，求点$A$的坐标；
(3)若$y$轴上有点$P$，且$△ OAP$是等腰三角形，求点$P$的坐标。

5.【解】(1)$\because$抛物线 $y=ax^2+c$ 过点 $C(0,-3),B(\sqrt{3},0).$
$\therefore \begin{cases} c=-3, \\ 3a+c=0. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=1, \\ c=-3. \end{cases}$
$\therefore$抛物线的解析式为 $y=x^2-3$,顶点的坐标为$(0,-3).$
(2)$\because$点 $A(1,n)$ 在抛物线 $y=x^2-3$ 上，
$\therefore n=1^2-3=-2.$
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为$(1,-2).$
(3)设点 $P(0,t),$
则$OP^2=t^2,OA^2=1^2+2^2=5,AP^2=(1-0)^2+(-2-t)^2=t^2+4t+5.$
$\because △ OAP$ 是等腰三角形，
①当 $OP=OA$ 时，$OP^2=OA^2,$
$\therefore t^2=5.\therefore t_1=\sqrt{5},t_2=-\sqrt{5}.$
$\therefore$点 $P_1(0,\sqrt{5}),P_2(0,-\sqrt{5});$
②当 $PO=PA$ 时，$PO^2=PA^2,(-t)^2=(2+t)^2+1^2,$
$\therefore t^2=t^2+4t+5.\therefore t_3=-\dfrac{5}{4}.$
$\therefore$点 $P_3(0,-\dfrac{5}{4});$
③当 $AO=AP$ 时，$AO^2=AP^2,1^2+2^2=(-t-2)^2+1^2,$
$\therefore 5=t^2+4t+5.$
$\therefore t_4=-4,t_5=0$(不合题意，舍去).
$\therefore$点 $P_4(0,-4).$
综上，满足条件的点 $P$ 的坐标为 $P_1(0,\sqrt{5}),P_2(0,-\sqrt{5}),P_3(0,-\dfrac{5}{4}),P_4(0,-4).$

【分析】
(1) 求a的值可采用待定系数法，将已知的点C、B坐标代入抛物线解析式$y=ax^2+c$，得到关于a、c的二元一次方程组，解方程组即可求出a的值。
(2) 抛物线上的点坐标满足抛物线解析式，将点A的横坐标代入已求出的抛物线解析式，计算得到n的值，即可确定点A的坐标。
(3) 点P在y轴上，可设P的坐标为$(0,t)$，△OAP为等腰三角形需分三类讨论：①$OP=OA$；②$PO=PA$；③$AO=AP$。分别根据边长相等关系列方程求解，最后舍去无法构成三角形的无效解，即可得到所有符合条件的P点坐标。
【解析】
(1) $\because$抛物线 $y=ax^2+c$ 过点 $C(0,-3),B(\sqrt{3},0)$
$\therefore \begin{cases} c=-3 \\ 3a+c=0 \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=1 \\ c=-3 \end{cases}$
即抛物线的解析式为 $y=x^2-3$。
(2) $\because$点 $A(1,n)$ 在抛物线 $y=x^2-3$ 上
$\therefore n=1^2-3=-2$
$\therefore$点A的坐标为$(1,-2)$。
(3) 设y轴上点P的坐标为$(0,t)$，则：
$OP^2=t^2$，$OA^2=1^2+(-2)^2=5$，$AP^2=(1-0)^2+(-2-t)^2=t^2+4t+5$
$\because △ OAP$ 是等腰三角形，分三类讨论：
①当 $OP=OA$ 时，$OP^2=OA^2$，即$t^2=5$，解得$t_1=\sqrt{5},t_2=-\sqrt{5}$
对应点$P_1(0,\sqrt{5}),P_2(0,-\sqrt{5})$；
②当 $PO=PA$ 时，$PO^2=PA^2$，即$t^2=t^2+4t+5$，解得$t_3=-\dfrac{5}{4}$
对应点$P_3(0,-\dfrac{5}{4})$；
③当 $AO=AP$ 时，$AO^2=AP^2$，即$5=t^2+4t+5$，解得$t_4=-4,t_5=0$（$t=0$时P与原点重合，无法构成三角形，舍去）
对应点$P_4(0,-4)$。
【答案】
(1) $a=1$；
(2) $A(1,-2)$；
(3) 点P的坐标为$(0,\sqrt{5})、(0,-\sqrt{5})、(0,-\dfrac{5}{4})、(0,-4)$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数点坐标特征；等腰三角形分类讨论
【点评】
本题属于二次函数与几何的基础综合题，前两问考查待定系数法的基础应用，难度较低；第三问重点考查分类讨论思想，解题时需注意不要漏解，同时要舍去无法构成三角形的无效解，是等腰三角形存在性问题的典型考法。
【难度系数】
0.65