1. ★★★ (1)一直角三角形周长为12,斜边长为5,求这个三角形的面积;
(2)已知直角三角形的面积为30,直角边的和为17,求斜边长.

(1)设三角形的直角边为a,b,斜边为c,面积 $S=\frac{1}{2}ab$,
$\because a+b+c=12,c=5,\therefore a+b=7.\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=c^2+4S$,即$49=25+4S,\therefore S=6$,即这个三角形的面积为6。
(2)设三角形的直角边为a,b,斜边为c,面积 $S=\frac{1}{2}ab,\because S=\frac{1}{2}ab=30,\therefore (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=c^2+4S$,即 $17^2=c^2+120$,解得$c=13$,即斜边长为13.

2. 如图是一棵勾股树,它是由正方形和直角三角形拼成的,若正方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是。

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3. （2026·青岛月考）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理。如图所示的长方形由两个这样的图形拼成，若$a=2$，$b=5$，则该长方形的面积为。

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4. （2026·上海期末）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图①所示。如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，如图②所示。若“生长”了309次后，形成的图形中所有的正方形的面积之和是。

310 解析:根据题意,边长为1的大正方形经过2次“生长”后,形成图形如,
“生长”1次,“生长”出两个正方形,三个正方形围成 Rt△ABC,三个正方形面积和为 $AC^2+BC^2+AB^2=AB^2+AB^2=2AB^2=2×1^2=2$;
“生长”2次,又“生长”出四个正方形,所有的正方形围成的直角三角形有 Rt△ABC,Rt△DEF,Rt△LMN,则这四个正方形面积和等于第一次“生长”出的两个正方形的面积,即 $DE^2+DF^2+EF^2=EF^2+EF^2=2EF^2=2AC^2$,$LM^2+MN^2+LN^2=LN^2+LN^2=2LN^2=2BC^2$,
∴ 所有正方形的面积之和为 $DE^2+DF^2+EF^2+LM^2+MN^2+LN^2+AB^2=2(AC^2+BC^2)+AB^2=3×1^2=3$;
“生长”3次,所有正方形的面积之和为 3+1=4……
∴ n 次“生长”后,形成的图形中所有正方形的面积和是 $n+1$,
∴ “生长”了 309 次后,形成的图形中所有正方形的面积之和为 309+1=310.故答案为 310.