4. ★★★ 如图,在$△ ABC$中,$BC=4$,$AC=13$,$AB=15$,求$S_{△ ABC}$.

4. 如图,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D. 由勾股定理得AD²=AB²-(BC+CD)²=AC²-CD²,即15²-(4+CD)²=13²-CD²,解得CD=5,
∴ AD=12,
∴ S△ABC=1/2×4×12=24.

5. 为加快新农村建设,提高人居环境,计划要在道路m上修建一个天然气站E,同时向D,C两个居民区提供优质天然气,供居民取暖,做饭.如图,已知D到道路m的距离$DA=2\ \mathrm{km}$,$C$到道路$m$的距离$CB=1\ \mathrm{km}$,$A,B$两地的距离$AB=5\ \mathrm{km}$.天然气站$E$应建在道路$m$的什么位置,使得$C,D$两居民区到天然气站$E$的距离相等?
(1)请你设计出天然气站$E$的位置(在图中用尺规作图作出符合条件的点$E$,不写作法,保留作图痕迹).
(2)求天然气站$E$到$A$处的距离.

5. (1)如图,点E即为所求.
(2)设AE=x km,BE=(5-x)km.
∵ DE²=2²+x²,CE²=(5-x)²+1²,又
∵ DE²=CE²,
∴ 2²+x²=(5-x)²+1²,解得x=2.2.即天然气站E到A处的距离EA=2.2 km.

6. 新情境（2026·常州期中）为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器.如图①所示，监控布设线$l$距离河流300 m，最大旋转角度$90°$；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5 000 m；任意两个监控器布设点之间的距离相等.小张设计了如图②所示的方案，AB为监控器$M_1$监测范围，BC为监控器$M_2$监测范围，$AM_1 ⊥ BM_1$，$BM_2 ⊥ CM_2$，此时$BM_1 = CM_2 = 375$ m.若按此方案进行布设，求该水利部门至少需要布设多少个监控器，才可以监控整个村落.

6. 如图,过点M₁作M₁N⊥AB于点N.根据题意,得M₁N=300 m,又
∵ BM₁=CM₂=375 m,
∴ BN=√(BM₁²-M₁N²)=225 m,设AB长度为x m,
∵ 三角形ABM₁与三角形ANM₁均为直角三角形,
∴ AM₁²=M₁N²+AN²=AB²-BM₁²,即300²+(x-225)²=x²-375²,解得AB=x=625,则为使得可以监控整个村落,最少应布置5 000÷625=8(个)监控器.