3. 如图,点A的坐标为$(-1,0)$,直线$y=2x-4$交$x$轴于点$C$,交$y$轴于点$D$,点$B$在直线$y=2x-4$上运动.
(1)当线段$AB$最短时,求点$B$的坐标.
(2)在直线$CD$上找一点$P$,使$△ APC$是以$AP$为腰的等腰三角形,求点$P$的坐标.

3.(1)AB最短时有AB⊥CD,设此时直线AB的函数表达式为y=-$\frac{1}{2}$x+n,将A(-1,0)代入,得0=-$\frac{1}{2}$×(-1)+n,解得n=-$\frac{1}{2}$,即直线AB的函数表达式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$,由$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2},\\y=2x-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\dfrac{7}{5},\\y=-\dfrac{6}{5},\end{cases}$
∴ 点B的坐标为$(\frac{7}{5},-\frac{6}{5})$.
(2)设P(a,2a-4).由y=2x-4易得C(2,0).
①当AP=PC时,点P是线段AC的中垂线与线段CD的交点,
∵ A(-1,0),C(2,0),
∴ 线段AC中点的横坐标为$\frac{1}{2}$,当a=$\frac{1}{2}$时,2a-4=-3,即$P(\frac{1}{2},-3)$.
②当AC=AP=3时,点A在线段CP的中垂线上,由(1)可知,线段CP的中点为B$(\frac{7}{5},-\frac{6}{5})$,
∴ $\frac{a+2}{2}=\frac{7}{5}$,$\frac{2a-4}{2}=-\frac{6}{5}$,解得a=$\frac{4}{5}$,此时2a-4=-$\frac{12}{5}$,即$P(\frac{4}{5},-\frac{12}{5})$.综上,点P的坐标为$(\frac{1}{2},-3)$或$(\frac{4}{5},-\frac{12}{5})$.

4. (2026·绍兴期末)如图,在平面直角坐标系中,直线$l_1:y=x+4$交$y$轴于点$A$,直线$l_2:y=-x$与$l_1$交于点$B$.
(1)求点$B$的坐标.
(2)在$y$轴左侧,有一条平行于$y$轴的动直线,分别与$l_1,l_2$交于点$M,N$,且点$M$在点$N$的上方.
①当$MN=2$时,求点$N$的坐标;
②点$Q$为$y$轴上一动点,若$△ MNQ$是以$∠ MNQ$为$90°$的直角三角形,且两直角边长之比为$3:4$.求出满足条件的所有点$Q$的坐标.

4.(1)
∵ 直线$l_2:y=-x$与$l_1$交于点B,
∴ 联立方程组可得$\begin{cases}y=x+4,\\y=-x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-2,\\y=2,\end{cases}$
∴ 点B的坐标为(-2,2).
(2)①如图①,设平行于y轴的动直线为直线x=m,过点B作BC⊥y轴于点C,交直线x=m于点D,
∴ 点M的坐标为(m,m+4),点N的坐标为(m,-m),
∴ MN=m+4-(-m)=2,解得m=-1,
∴ N(-1,1).
②如图②,(i)在Rt△MNQ中,当∠MNQ=90°且MN:QN=3:4时,设MN=3a,QN=4a,
∴ 点N的坐标为(-4a,4a),点M的坐标为(-4a,-4a+4),点Q的坐标为(0,4a),
∴ MN=-4a+4-4a=3a,解得a=$\frac{4}{11}$,
∴ 点Q的坐标为$(0,\frac{16}{11})$.
(ii)在Rt△MNQ中,当∠MNQ=90°且QN:MN=3:4时,设MN=4a,QN=3a,
∴ 点N的坐标为(-3a,3a),点M的坐标为(-3a,-3a+4),点Q的坐标为(0,3a),
∴ MN=-3a+4-3a=4a,解得a=$\frac{2}{5}$,
∴ 点Q的坐标为$(0,\frac{6}{5})$.综上,点Q的坐标为$(0,\frac{16}{11})$或$(0,\frac{6}{5})$.