1. 如图,在平面直角坐标系中,直线$AB:y=\frac{1}{2}x+m$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B(0,2)$,直线$AC$经过$y$轴负半轴上的点$C$,且$∠ ACO=45°$.
(1)求直线$AC$的函数表达式;
(2)直线$AC$向上平移9个单位长度,平移后的直线与直线$AB$交于点$D$,连结$DC$,求$△ ACD$的面积.

(1)将点$B(0,2)$代入直线$AB:y=\frac{1}{2}x+m$得$m=2$,$\therefore$ 直线$AB$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$.$\because$ 直线$AB:y=\frac{1}{2}x+2$与$x$轴交于点$A$,$\therefore A(-4,0)$,$OA=4$.$\because OA=OC$,$\therefore C(0,-4)$,设直线$AC$的函数表达式为$y=kx+b$,则$\begin{cases}-4k+b=0,\\b=-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-4,\end{cases}$$\therefore$ 直线$AC$的函数表达式为$y=-x-4$.
(2)$\because$ 直线$AC$向上平移9个单位长度,直线$AC$的函数表达式为$y=-x-4$,$\therefore$ 直线$DE$的函数表达式为$y=-x-4+9=-x+5$.
$\because$ 直线$AB$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$,$\therefore$ 点$D$的坐标为$(2,3)$.
$\because B(0,2),C(0,-4)$,$\therefore BC=6$,$\therefore S_{△ ACD}=S_{△ ABC}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BC·|x_A|+\frac{1}{2}BC·|x_D|=\frac{1}{2}BC·|x_D-x_A|=\frac{1}{2}×6×6=18$.

2. 如图,在平面直角坐标系中,直线$y=-x+6$与x轴和y轴分别交于点B和点C,与直线OA相交于点$A(4,2)$,动点M在线段OA和射线AC上运动.
(1)求点B的坐标.
(2)求$△ OAC$的面积.
(3)是否存在点M,使$△ OMC$的面积是$△ OAC$面积的$\frac{1}{4}$? 若存在,求出此时点M的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)在$y=-x+6$中,令$y=0$,则$x=6$,故点$B$的坐标为$(6,0)$.
(2)$\because C(0,6),A(4,2)$,$\therefore S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×6×4=12$.
(3)存在点$M$使$S_{△ OMC}=\frac{1}{4}S_{△ OAC}$.理由如下:设点$M$的坐标为$(a,b)$,直线$OA$的函数表达式是$y=mx$.$\because A(4,2)$,$\therefore 4m=2$,解得$m=\frac{1}{2}$,$\therefore$ 直线$OA$的函数表达式是$y=\frac{1}{2}x$.$\because S_{△ OMC}=\frac{1}{4}S_{△ OAC}$,$\therefore \frac{1}{2}×6×|a|=\frac{1}{4}×12$,$\therefore a=\pm1$.当点$M$在线段$OA$上时,如图①,则$a=1$,此时$b=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$,$\therefore$ 点$M$的坐标是$(1,\frac{1}{2})$.当点$M$在射线$AC$上时,如图②,$a=1$时,$b=-a+6=5$,则点$M_1$的坐标是$(1,5)$;$a=-1$时,$b=-a+6=7$,则点$M_2$的坐标是$(-1,7)$.综上所述,点$M$的坐标是$(1,\frac{1}{2})$或$(1,5)$或$(-1,7)$.