1. 如图，$△ ABC ≌ △ DCE$，点$B$，$C$，$E$在同一条直线上，$AC$与$BD$交于点$F$，求证：$F$是$AC$的中点。

证明:$\because △ ABC≌ △ DCE$,
$\therefore AB=CD,∠ABC=∠DCE,\therefore AB// CD$,
$\therefore ∠A=∠DCF,∠ABF=∠CDF$.
在$△ ABF$和$△ CDF$中,
$∠A=∠DCF,AB=CD,∠ABF=∠CDF$,
$\therefore △ ABF≌ △ CDF(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AF=CF,\therefore F$是$AC$的中点.

变式|新趋势·开放题 [2026杭州余杭区月考]已知:如图,在△ABC和△DEF中,B,E,C,F在同一条直线上.下面四个条件:①AB = DE;②AC = DF;③BE = CF;④∠ABC = ∠DEF.
(1)请选择其中的三个条件,使得△ABC≌△DEF;(写出一种情况即可)
(2)在(1)的条件下,求证:△ABC≌△DEF.
(3)在(1)的条件下,若BF = 12,EF = 9,求CE的长.

(1)解:选择条件①②③(或①③④).
(2)选择条件①②③.
证明:$\because BE=CF,\therefore BE+EC=CF+EC$,即$BC=EF$.
在$△ ABC$和$△ DEF$中,$AB=DE,BC=EF,AC=DF$,
$\therefore △ ABC≌ △ DEF(\mathrm{SSS})$.
选择条件①③④.
证明:$\because BE=CF,\therefore BE+EC=CF+EC$,即$BC=EF$.
在$△ ABC$和$△ DEF$中,$AB=DE,∠ABC=∠DEF,BC=EF$,
$\therefore △ ABC≌ △ DEF(\mathrm{SAS})$.
(3)解:$\because △ ABC≌ △ DEF,EF=9,\therefore BC=EF=9$.
$\because BF=12,\therefore BE=BF-EF=12-9=3$,
$\therefore CE=BC-BE=9-3=6$.

2. 一题多解 如图,在四边形ACBD中,点P在对角线AB上,连接PC,PD,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:(1)$△ BDP≌△ BCP$；(2)$AD=AC$.

(1)$\because ∠1=∠2,\therefore ∠DPB=∠CPB$.
在$△ BDP$和$△ BCP$中,$∠DPB=∠CPB,PB=PB,∠3=∠4$,
$\therefore △ BDP≌ △ BCP(\mathrm{ASA})$.
(2)通解1 由(1)知,$△ BDP≌ △ BCP,\therefore DP=CP$.
在$△ ADP$和$△ ACP$中,$AP=AP,∠1=∠2,DP=CP$,
$\therefore △ ADP≌ △ ACP(\mathrm{SAS}),\therefore AD=AC$.
通解2 由(1)知,$△ BDP≌ △ BCP,\therefore BD=BC$.
在$△ ADB$和$△ ACB$中,$BD=BC,∠3=∠4,AB=AB$,
$\therefore △ ADB≌ △ ACB(\mathrm{SAS}),\therefore AD=AC$.