变式 如图，AC 与 DB 交于点 P，AC = DB，AB = DC，求证：BP = CP.
下面是两名同学的对话：
小莲说:根据条件,找不到全等三角形.
小聪说:添加辅助线,就可以找到全等三角形.
请根据提示完成本题的求证.

证明:如图,连接$AD$.
在$△ ACD$和$△ DBA$中,$AC=DB,DC=AB,AD=DA$,
$\therefore △ ACD≌ △ DBA(\mathrm{SSS}),\therefore ∠B=∠C$.
在$△ ABP$和$△ DCP$中,
$∠APB=∠DPC,∠B=∠C,AB=DC$,
$\therefore △ ABP≌ △ DCP(\mathrm{AAS}),\therefore BP=CP$.

3. 教材P114复习题T4变式 [2026南宁武鸣区期中]如图，点A,B,C,D在同一条直线上，点E,F分别在直线AB的两侧，且$AE = BF$，$∠ AEC = ∠ BFD$，$AE // BF$。
(1)求证:$CE = DF$.
(2)若$CD = 7$,$AB = 13$,求$AC$的长.

(1)证明:$\because AE// BF,\therefore ∠A=∠B$.
在$△ ACE$和$△ BDF$中,$∠A=∠B,AE=BF,∠AEC=∠BFD$,
$\therefore △ ACE≌ △ BDF(\mathrm{ASA}),\therefore CE=DF$.
(2)解:由(1)知$△ ACE≌ △ BDF,\therefore AC=BD$.
$\because AB=13,CD=7,\therefore AC=BD=\frac{1}{2}(AB-CD)=\frac{1}{2}×(13-7)=3$.

变式[2026合肥期末]如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$于点$D$,$CE ⊥ AB$于点$E$,$CE$交$AD$于点$F$,且$AB = CF$.
(1)求证:$△ ABD ≌ △ CFD$.
(2)若$BC = 8$,$AD = 5$,求$AF$的长.

(1)证明:$\because AD⊥ BC$于点$D$,$CE⊥ AB$于点$E$,
$\therefore ∠ADB=∠ADC=∠CEB=90°$,
$\therefore ∠BAD+∠B=∠B+∠BCE=90°,\therefore ∠BAD=∠BCE$.
在$△ ABD$和$△ CFD$中,
$∠BAD=∠FCD,∠ADB=∠CDF,AB=CF$,
$\therefore △ ABD≌ △ CFD(\mathrm{AAS})$.
(2)解:$\because △ ABD≌ △ CFD,\therefore CD=AD=5,DF=BD$.
$\because BC=8,\therefore DF=BD=BC-CD=3,\therefore AF=AD-DF=5-3=2$.