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1. 下图为拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线$y=-\frac{1}{400}(x-80)^2 +16$，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴。若OA=10 m，则桥面离水面的高度为().
A.$16\frac{9}{40}$ m
B.$16\frac{7}{40}$ m
C.$\frac{17}{4}$ m
D.$\frac{15}{4}$ m
A.$16\frac{9}{40}$ m
B.$16\frac{7}{40}$ m
C.$\frac{17}{4}$ m
D.$\frac{15}{4}$ m
答案
C
解析
【分析】
要求桥面离水面的高度，桥面位于x轴（y=0）处，水面位置对应点C的纵坐标，因此只需求出点C的纵坐标即可。已知AC⊥x轴、OA=10 m，可得点C的横坐标为-10，将x=-10代入抛物线解析式即可求出C点的纵坐标，纵坐标的绝对值就是桥面到水面的高度。
【解析】
解：
∵AC⊥x轴，OA=10 m，
∴点C的横坐标为$x=-10$。
将$x=-10$代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{400}(x-80)^2 +16$，得：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{400}×(-10-80)^2 +16\\&=-\frac{1}{400}×8100 +16\\&=-\frac{81}{4}+16\\&=-\frac{17}{4}\end{aligned}$
即点C的纵坐标为$-\frac{17}{4}$ m，
∵桥面在x轴（$y=0$）位置，
∴桥面离水面的高度为$\left|-\frac{17}{4}\right|=\frac{17}{4}$ m。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的简单应用，解题关键是根据已知条件确定所求点的横坐标，代入解析式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.7
要求桥面离水面的高度，桥面位于x轴（y=0）处，水面位置对应点C的纵坐标，因此只需求出点C的纵坐标即可。已知AC⊥x轴、OA=10 m，可得点C的横坐标为-10，将x=-10代入抛物线解析式即可求出C点的纵坐标，纵坐标的绝对值就是桥面到水面的高度。
【解析】
解：
∵AC⊥x轴，OA=10 m，
∴点C的横坐标为$x=-10$。
将$x=-10$代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{400}(x-80)^2 +16$，得：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{400}×(-10-80)^2 +16\\&=-\frac{1}{400}×8100 +16\\&=-\frac{81}{4}+16\\&=-\frac{17}{4}\end{aligned}$
即点C的纵坐标为$-\frac{17}{4}$ m，
∵桥面在x轴（$y=0$）位置，
∴桥面离水面的高度为$\left|-\frac{17}{4}\right|=\frac{17}{4}$ m。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的简单应用，解题关键是根据已知条件确定所求点的横坐标，代入解析式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.7
2. 一塑料玩具生产公司将每件成本为70元的玩具按每件100元批发出售，平均一天可售出100件.后来经过市场调查，发现这种玩具单价每降低1元，其日销量平均增加10件.为了减少塑料污染，规定该公司的最大生产限额为每天180件.若想获得最大利润，则批发价应降低().
A.15元
B.10元
C.8元
D.5元
A.15元
B.10元
C.8元
D.5元
答案
C
解析
【分析】
这是二次函数在利润问题中的应用题目，解题思路如下：首先明确利润问题的核心公式：总利润=单件利润×销售总量；其次设批发价降低x元，分别用含x的式子表示出降价后的单件利润和日销量，再结合生产限额的约束条件，求出自变量x的取值范围；最后列出总利润关于x的二次函数解析式，结合二次函数的增减性和x的取值范围，就能确定利润最大时对应的降价值。
【解析】
解：设批发价应降低x元，每天获得的总利润为y元。
1. 表示相关量：
降价后单件利润为：$(100-70-x)=(30-x)$元
降价后日销量为：$(100+10x)$件
2. 确定自变量取值范围：
根据生产限额要求日销量不超过180件，可得：
$100+10x≤180$，解得$x≤8$
结合实际意义，$x≥0$且$30-x＞0$，因此x的取值范围为$0≤ x≤8$
3. 列利润函数并求最值：
总利润$y=(30-x)(100+10x)$，展开得：
$y=-10x^2+200x+3000$
该二次函数开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{200}{2×(-10)}=10$
根据二次函数性质，开口向下时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，因此在$0≤ x≤8$范围内，x越大，y值越大，当$x=8$时，y取得最大值。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用，利润问题计算，二次函数增减性
【点评】
本题的易错点是容易忽略生产限额的约束条件，直接取二次函数顶点处的x=10作为答案，解题时一定要结合实际限制条件判断自变量的取值范围，再结合函数性质确定最值。
【难度系数】
0.6
这是二次函数在利润问题中的应用题目，解题思路如下：首先明确利润问题的核心公式：总利润=单件利润×销售总量；其次设批发价降低x元，分别用含x的式子表示出降价后的单件利润和日销量，再结合生产限额的约束条件，求出自变量x的取值范围；最后列出总利润关于x的二次函数解析式，结合二次函数的增减性和x的取值范围，就能确定利润最大时对应的降价值。
【解析】
解：设批发价应降低x元，每天获得的总利润为y元。
1. 表示相关量：
降价后单件利润为：$(100-70-x)=(30-x)$元
降价后日销量为：$(100+10x)$件
2. 确定自变量取值范围：
根据生产限额要求日销量不超过180件，可得：
$100+10x≤180$，解得$x≤8$
结合实际意义，$x≥0$且$30-x＞0$，因此x的取值范围为$0≤ x≤8$
3. 列利润函数并求最值：
总利润$y=(30-x)(100+10x)$，展开得：
$y=-10x^2+200x+3000$
该二次函数开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{200}{2×(-10)}=10$
根据二次函数性质，开口向下时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，因此在$0≤ x≤8$范围内，x越大，y值越大，当$x=8$时，y取得最大值。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用，利润问题计算，二次函数增减性
【点评】
本题的易错点是容易忽略生产限额的约束条件，直接取二次函数顶点处的x=10作为答案，解题时一定要结合实际限制条件判断自变量的取值范围，再结合函数性质确定最值。
【难度系数】
0.6
3. 如图,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=8,点D,E分别在边BC,AC上,DE//AB,则$S_{△ BDE}$的最大值是().
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
B
解析
【分析】
首先根据等腰直角三角形的性质求出AB、AC的长度，再由DE//AB可得△DEC为等腰直角三角形。要求△BDE的面积最大值，我们可以通过设参数表示出△BDE的底和高，将面积转化为关于参数的二次函数，最后利用二次函数求最值的方法计算最大值即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=8
∴$AB=AC=\frac{BC}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$，∠C=45°
∵DE//AB，
∴∠DEC=∠A=90°，即△DEC是等腰直角三角形
建立平面直角坐标系：令A为原点(0,0)，AB在x轴上，AC在y轴上，则$B(4\sqrt{2},0)$，$C(0,4\sqrt{2})$，直线BC的解析式为$x+y=4\sqrt{2}$。
设$E(0,m)$（$0＜m＜4\sqrt{2}$），
∵DE//AB（AB平行于x轴），
∴D点纵坐标为m，代入BC解析式得D点横坐标为$4\sqrt{2}-m$，即$D(4\sqrt{2}-m,m)$。
则DE的长度为$4\sqrt{2}-m$，点B到直线DE（直线$y=m$）的距离为m。
∴△BDE的面积$S=\frac{1}{2} × DE × m = \frac{1}{2}(4\sqrt{2}-m)m$
整理得：$S=-\frac{1}{2}m^2 + 2\sqrt{2}m$
该函数是开口向下的二次函数，当$m=-\frac{b}{2a}=-\frac{2\sqrt{2}}{2×(-\frac{1}{2})}=2\sqrt{2}$时，S取得最大值：
$S_{max}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{0-(2\sqrt{2})^2}{4×(-\frac{1}{2})}=4$
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形的性质，二次函数的最值，平行线的性质
【点评】
本题是几何与函数结合的典型题，解题核心是通过合理设参，将几何图形的面积转化为二次函数表达式，再利用二次函数性质求解最值，能有效考查数形结合的思想和运算能力。
【难度系数】
0.6
首先根据等腰直角三角形的性质求出AB、AC的长度，再由DE//AB可得△DEC为等腰直角三角形。要求△BDE的面积最大值，我们可以通过设参数表示出△BDE的底和高，将面积转化为关于参数的二次函数，最后利用二次函数求最值的方法计算最大值即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=8
∴$AB=AC=\frac{BC}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$，∠C=45°
∵DE//AB，
∴∠DEC=∠A=90°，即△DEC是等腰直角三角形
建立平面直角坐标系：令A为原点(0,0)，AB在x轴上，AC在y轴上，则$B(4\sqrt{2},0)$，$C(0,4\sqrt{2})$，直线BC的解析式为$x+y=4\sqrt{2}$。
设$E(0,m)$（$0＜m＜4\sqrt{2}$），
∵DE//AB（AB平行于x轴），
∴D点纵坐标为m，代入BC解析式得D点横坐标为$4\sqrt{2}-m$，即$D(4\sqrt{2}-m,m)$。
则DE的长度为$4\sqrt{2}-m$，点B到直线DE（直线$y=m$）的距离为m。
∴△BDE的面积$S=\frac{1}{2} × DE × m = \frac{1}{2}(4\sqrt{2}-m)m$
整理得：$S=-\frac{1}{2}m^2 + 2\sqrt{2}m$
该函数是开口向下的二次函数，当$m=-\frac{b}{2a}=-\frac{2\sqrt{2}}{2×(-\frac{1}{2})}=2\sqrt{2}$时，S取得最大值：
$S_{max}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{0-(2\sqrt{2})^2}{4×(-\frac{1}{2})}=4$
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形的性质，二次函数的最值，平行线的性质
【点评】
本题是几何与函数结合的典型题，解题核心是通过合理设参，将几何图形的面积转化为二次函数表达式，再利用二次函数性质求解最值，能有效考查数形结合的思想和运算能力。
【难度系数】
0.6
二、填空题
4. 从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度$h$与小球运动时间$t$之间的函数表达式是$h = 9.8t - 4.9t^2$. 那么小球运动中的最大高度为 m.
4. 从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度$h$与小球运动时间$t$之间的函数表达式是$h = 9.8t - 4.9t^2$. 那么小球运动中的最大高度为 m.
答案
$\boldsymbol{4.9}$
解析
【分析】
本题是二次函数在实际运动问题中的应用，要求小球的最大高度，本质是求给定二次函数的最大值。首先观察函数表达式，二次项系数为-4.9＜0，说明抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值对应抛物线顶点的纵坐标，可通过配方法或者顶点纵坐标公式求解。
【解析】
先将函数整理为二次函数的一般形式：$h=-4.9t^2+9.8t$，其中$a=-4.9$，$b=9.8$，$c=0$。
方法一：配方法
对函数进行配方变形：
$\begin{aligned}h&=-4.9(t^2-2t)\\&=-4.9(t^2-2t+1-1)\\&=-4.9(t-1)^2 + 4.9\end{aligned}$
因为$-4.9＜0$，所以当$t=1$时，$h$取得最大值，最大值为$4.9$m。
方法二：顶点纵坐标公式
对于二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，顶点的纵坐标（即函数的最值）为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入数值计算：
$\begin{aligned}h_{max}&=\frac{4×(-4.9)×0 - (9.8)^2}{4×(-4.9)}\\&=\frac{-96.04}{-19.6}\\&=4.9\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{4.9}$
【知识点】
二次函数的最值，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合实际运动场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际问题中的最大高度转化为二次函数的顶点纵坐标求解，解题时需先根据二次项系数的正负判断函数最值的类型，再选择合适的方法计算即可。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数在实际运动问题中的应用，要求小球的最大高度，本质是求给定二次函数的最大值。首先观察函数表达式，二次项系数为-4.9＜0，说明抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值对应抛物线顶点的纵坐标，可通过配方法或者顶点纵坐标公式求解。
【解析】
先将函数整理为二次函数的一般形式：$h=-4.9t^2+9.8t$，其中$a=-4.9$，$b=9.8$，$c=0$。
方法一：配方法
对函数进行配方变形：
$\begin{aligned}h&=-4.9(t^2-2t)\\&=-4.9(t^2-2t+1-1)\\&=-4.9(t-1)^2 + 4.9\end{aligned}$
因为$-4.9＜0$，所以当$t=1$时，$h$取得最大值，最大值为$4.9$m。
方法二：顶点纵坐标公式
对于二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，顶点的纵坐标（即函数的最值）为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入数值计算：
$\begin{aligned}h_{max}&=\frac{4×(-4.9)×0 - (9.8)^2}{4×(-4.9)}\\&=\frac{-96.04}{-19.6}\\&=4.9\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{4.9}$
【知识点】
二次函数的最值，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合实际运动场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际问题中的最大高度转化为二次函数的顶点纵坐标求解，解题时需先根据二次项系数的正负判断函数最值的类型，再选择合适的方法计算即可。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 cm,BC=24 cm,动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发,△PBQ的面积S随出发时间t变化的函数表达式为,时间t的取值范围为.
答案
解：
由题意得，出发t秒后，$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = 2t\ \mathrm{cm}$，
则$PB = AB - AP = (12 - t)\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ B = 90°$，
$\therefore S = \frac{1}{2} · PB · BQ = \frac{1}{2} × (12 - t) × 2t = -t^2 + 12t$。
结合动点移动的实际范围，需满足：
$\begin{cases}t ＞ 0 \\12 - t ＞ 0 \\2t ＜ 24\end{cases}$
解得$0 ＜ t ＜ 12$。
函数表达式为$\boldsymbol{S=-t^2+12t}$，时间$t$的取值范围为$\boldsymbol{0＜t＜12}$。
由题意得，出发t秒后，$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = 2t\ \mathrm{cm}$，
则$PB = AB - AP = (12 - t)\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ B = 90°$，
$\therefore S = \frac{1}{2} · PB · BQ = \frac{1}{2} × (12 - t) × 2t = -t^2 + 12t$。
结合动点移动的实际范围，需满足：
$\begin{cases}t ＞ 0 \\12 - t ＞ 0 \\2t ＜ 24\end{cases}$
解得$0 ＜ t ＜ 12$。
函数表达式为$\boldsymbol{S=-t^2+12t}$，时间$t$的取值范围为$\boldsymbol{0＜t＜12}$。
解析
【分析】
解决这道题首先要结合动点的运动速度和时间t，表示出△PBQ两条直角边的长度，再利用直角三角形面积公式推导面积S关于t的函数表达式，最后根据动点的运动边界（不能超出所在线段的范围）列不等式求解t的取值范围即可。
【解析】
解：设出发时间为t秒，
由题意可知：$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = 2t\ \mathrm{cm}$，
则$PB = AB - AP = (12 - t)\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ B = 90°$，$△ PBQ$为直角三角形，
$\therefore S = \frac{1}{2} · PB · BQ = \frac{1}{2} × (12 - t) × 2t = -t^2 + 12t$。
结合动点运动的实际范围，需满足：
$\begin{cases}t ＞ 0 \\12 - t ＞ 0 \\2t ＜ 24\end{cases}$
解得$0 ＜ t ＜ 12$。
【答案】
$\boldsymbol{S=-t^2+12t}$；$\boldsymbol{0＜t＜12}$
【知识点】
二次函数的实际应用，三角形面积计算，动点问题求解
【点评】
本题是二次函数应用的基础题型，解题核心是用含时间t的代数式表示出对应线段的长度，推导函数表达式时要注意结合实际运动情况确定自变量的取值范围，避免出现无意义的取值。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要结合动点的运动速度和时间t，表示出△PBQ两条直角边的长度，再利用直角三角形面积公式推导面积S关于t的函数表达式，最后根据动点的运动边界（不能超出所在线段的范围）列不等式求解t的取值范围即可。
【解析】
解：设出发时间为t秒，
由题意可知：$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = 2t\ \mathrm{cm}$，
则$PB = AB - AP = (12 - t)\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ B = 90°$，$△ PBQ$为直角三角形，
$\therefore S = \frac{1}{2} · PB · BQ = \frac{1}{2} × (12 - t) × 2t = -t^2 + 12t$。
结合动点运动的实际范围，需满足：
$\begin{cases}t ＞ 0 \\12 - t ＞ 0 \\2t ＜ 24\end{cases}$
解得$0 ＜ t ＜ 12$。
【答案】
$\boldsymbol{S=-t^2+12t}$；$\boldsymbol{0＜t＜12}$
【知识点】
二次函数的实际应用，三角形面积计算，动点问题求解
【点评】
本题是二次函数应用的基础题型，解题核心是用含时间t的代数式表示出对应线段的长度，推导函数表达式时要注意结合实际运动情况确定自变量的取值范围，避免出现无意义的取值。
【难度系数】
0.7
6. 某司机驾车行驶在公路上，突然发现正前方有一行人，他立即刹车.已知汽车刹车后行驶距离$S$与行驶时间$t$之间的函数表达式为$S=-5t^2 + 20t$，则司机刹车时距离行人至少大于m才不会撞到行人.
答案
解：将函数$S=-5t^2+20t$配方变形：
$S=-5(t^2-4t)=-5(t-2)^2+20$
$\because a=-5＜0$，
$\therefore$ 当$t=2$时，$S$取得最大值，最大值为20，即汽车刹车后滑行的最大距离为20m。
答：司机刹车时距离行人至少大于20m才不会撞到行人。
$S=-5(t^2-4t)=-5(t-2)^2+20$
$\because a=-5＜0$，
$\therefore$ 当$t=2$时，$S$取得最大值，最大值为20，即汽车刹车后滑行的最大距离为20m。
答：司机刹车时距离行人至少大于20m才不会撞到行人。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确“不会撞到行人的最小距离”本质是求汽车刹车后滑行的最大距离，也就是二次函数$S=-5t^2+20t$的最大值。已知该二次函数的二次项系数为负，图像开口向下，函数存在最大值，我们可以通过配方法将函数化为顶点式，即可直接求得最大值。
【解析】
对函数表达式进行配方变形：
$S=-5t^2+20t$
$=-5(t^2-4t)$
$=-5(t^2-4t+4-4)$
$=-5(t-2)^2+20$
$\because a=-5＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，当$t=2$时，$S$取得最大值，最大值为20，即汽车刹车后滑行的最大距离为20m。
【答案】
20
【知识点】
二次函数配方法，二次函数最值，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际行程问题中的应用，解题的核心是将求安全距离的实际问题转化为求二次函数最大值的数学问题，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确“不会撞到行人的最小距离”本质是求汽车刹车后滑行的最大距离，也就是二次函数$S=-5t^2+20t$的最大值。已知该二次函数的二次项系数为负，图像开口向下，函数存在最大值，我们可以通过配方法将函数化为顶点式，即可直接求得最大值。
【解析】
对函数表达式进行配方变形：
$S=-5t^2+20t$
$=-5(t^2-4t)$
$=-5(t^2-4t+4-4)$
$=-5(t-2)^2+20$
$\because a=-5＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，当$t=2$时，$S$取得最大值，最大值为20，即汽车刹车后滑行的最大距离为20m。
【答案】
20
【知识点】
二次函数配方法，二次函数最值，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际行程问题中的应用，解题的核心是将求安全距离的实际问题转化为求二次函数最大值的数学问题，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
