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三、解答题
7. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长是12 m，宽是4 m.按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用$y=-\frac{1}{6}x^2 + bx + c$表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为$\frac{17}{2}$ m.
（1）求该抛物线对应的函数表达式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）如果隧道内设双向行车道，一辆货车运载一个长方体集装箱后高6 m，宽4 m，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
7. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长是12 m，宽是4 m.按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用$y=-\frac{1}{6}x^2 + bx + c$表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为$\frac{17}{2}$ m.
（1）求该抛物线对应的函数表达式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）如果隧道内设双向行车道，一辆货车运载一个长方体集装箱后高6 m，宽4 m，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
答案
解：
(1) 由题意得，点B的坐标为$(0,4)$，点C的坐标为$(3,\dfrac{17}{2})$。
将$B(0,4)$代入$y=-\dfrac{1}{6}x^2 +bx +c$，得$c=4$。
将$C(3,\dfrac{17}{2})$和$c=4$代入解析式：
$-\dfrac{1}{6} × 3^2 + 3b + 4 = \dfrac{17}{2}$
解得$b=2$。
∴抛物线对应的函数表达式为$\boldsymbol{y = -\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4}$。
将解析式配方得：$y = -\dfrac{1}{6}(x-6)^2 + 10$，
∴拱顶D的坐标为$(6,10)$，即拱顶D到地面OA的距离为$10\ \mathrm{m}$。
(2) 当$y=6$时，代入解析式得：
$-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4 = 6$
整理得$x^2 -12x +12 = 0$，
解得$x_1=6-2\sqrt{6}$，$x_2=6+2\sqrt{6}$。
此时隧道内高度不小于$6\ \mathrm{m}$的区间总宽度为$x_2 - x_1 = 4\sqrt{6}\approx9.8\ \mathrm{m}$。
隧道为双向行车道，单侧可通行宽度约为$9.8÷2=4.9\ \mathrm{m} ＞ 4\ \mathrm{m}$，
∴这辆货车能安全通过。
(3) 由题意，灯离地面高度不超过$8\ \mathrm{m}$，令$y=8$，代入解析式：
$-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4 = 8$
整理得$x^2 -12x +24 = 0$，
解得$x_1=6-2\sqrt{3}$，$x_2=6+2\sqrt{3}$。
两排灯的水平距离为$x_2 - x_1 = 4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∵抛物线开口向下，在$y≤8$的范围内，$y$越大，对应两个对称点的水平距离越小，
∴当$y=8$时，两排灯的水平距离最小。
答：(1) 抛物线函数表达式为$y=-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4$，拱顶D到地面OA的距离为$10\ \mathrm{m}$；(2) 这辆货车能安全通过；(3) 两排灯的水平距离最小是$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
(1) 由题意得，点B的坐标为$(0,4)$，点C的坐标为$(3,\dfrac{17}{2})$。
将$B(0,4)$代入$y=-\dfrac{1}{6}x^2 +bx +c$，得$c=4$。
将$C(3,\dfrac{17}{2})$和$c=4$代入解析式：
$-\dfrac{1}{6} × 3^2 + 3b + 4 = \dfrac{17}{2}$
解得$b=2$。
∴抛物线对应的函数表达式为$\boldsymbol{y = -\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4}$。
将解析式配方得：$y = -\dfrac{1}{6}(x-6)^2 + 10$，
∴拱顶D的坐标为$(6,10)$，即拱顶D到地面OA的距离为$10\ \mathrm{m}$。
(2) 当$y=6$时，代入解析式得：
$-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4 = 6$
整理得$x^2 -12x +12 = 0$，
解得$x_1=6-2\sqrt{6}$，$x_2=6+2\sqrt{6}$。
此时隧道内高度不小于$6\ \mathrm{m}$的区间总宽度为$x_2 - x_1 = 4\sqrt{6}\approx9.8\ \mathrm{m}$。
隧道为双向行车道，单侧可通行宽度约为$9.8÷2=4.9\ \mathrm{m} ＞ 4\ \mathrm{m}$，
∴这辆货车能安全通过。
(3) 由题意，灯离地面高度不超过$8\ \mathrm{m}$，令$y=8$，代入解析式：
$-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4 = 8$
整理得$x^2 -12x +24 = 0$，
解得$x_1=6-2\sqrt{3}$，$x_2=6+2\sqrt{3}$。
两排灯的水平距离为$x_2 - x_1 = 4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∵抛物线开口向下，在$y≤8$的范围内，$y$越大，对应两个对称点的水平距离越小，
∴当$y=8$时，两排灯的水平距离最小。
答：(1) 抛物线函数表达式为$y=-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4$，拱顶D到地面OA的距离为$10\ \mathrm{m}$；(2) 这辆货车能安全通过；(3) 两排灯的水平距离最小是$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
（1）首先根据题意确定抛物线上的已知点B(0,4)和C(3,$\frac{17}{2}$)，用待定系数法将两点坐标代入抛物线表达式，依次求出参数c和b，得到函数解析式；再通过配方求抛物线顶点的纵坐标，即为拱顶D到地面OA的距离。
（2）货车高度为6m，即求y=6时对应的x的两个解，计算两解的差得到高度≥6m的总宽度，由于是双向行车道，将总宽度除以2得到单侧通行宽度，和货车宽度4m比较即可判断能否通行。
（3）灯离地面高度不超过8m，根据抛物线开口向下的性质，同一高度对应的两个点的水平距离随y值增大而减小，因此取y=8时对应的两个x的差，即为两排灯的最小水平距离。
【解析】
(1) 由题意得，点B的坐标为$(0,4)$，点C的坐标为$(3,\dfrac{17}{2})$。
将$B(0,4)$代入$y=-\dfrac{1}{6}x^2 +bx +c$，得$c=4$。
将$C(3,\dfrac{17}{2})$和$c=4$代入解析式：
$-\dfrac{1}{6} × 3^2 + 3b + 4 = \dfrac{17}{2}$
解得$b=2$。
∴抛物线对应的函数表达式为$y = -\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4$。
将解析式配方得：$y = -\dfrac{1}{6}(x-6)^2 + 10$，
∴拱顶D的坐标为$(6,10)$，即拱顶D到地面OA的距离为$10\ \mathrm{m}$。
(2) 当$y=6$时，代入解析式得：
$-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4 = 6$
整理得$x^2 -12x +12 = 0$，
解得$x_1=6-2\sqrt{6}$，$x_2=6+2\sqrt{6}$。
此时隧道内高度不小于$6\ \mathrm{m}$的区间总宽度为$x_2 - x_1 = 4\sqrt{6}\approx9.8\ \mathrm{m}$。
隧道为双向行车道，单侧可通行宽度约为$9.8÷2=4.9\ \mathrm{m} ＞ 4\ \mathrm{m}$，
∴这辆货车能安全通过。
(3) 由题意，灯离地面高度不超过$8\ \mathrm{m}$，由于抛物线开口向下，在$y≤8$的范围内，$y$越大，对应两个对称点的水平距离越小，因此当$y=8$时，两排灯的水平距离最小。
令$y=8$，代入解析式：
$-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4 = 8$
整理得$x^2 -12x +24 = 0$，
解得$x_1=6-2\sqrt{3}$，$x_2=6+2\sqrt{3}$。
两排灯的水平距离为$x_2 - x_1 = 4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 抛物线函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4}$，拱顶D到地面OA的距离为$\boldsymbol{10\ \mathrm{m}}$；
(2) 这辆货车$\boldsymbol{能}$安全通过；
(3) 两排灯的水平距离最小是$\boldsymbol{4\sqrt{3}\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数的实际应用类典型题，结合了待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、二次函数图像性质等知识点，解题核心是将实际问题中的高度、宽度条件转化为二次函数中y与x的对应关系，考查学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
（1）首先根据题意确定抛物线上的已知点B(0,4)和C(3,$\frac{17}{2}$)，用待定系数法将两点坐标代入抛物线表达式，依次求出参数c和b，得到函数解析式；再通过配方求抛物线顶点的纵坐标，即为拱顶D到地面OA的距离。
（2）货车高度为6m，即求y=6时对应的x的两个解，计算两解的差得到高度≥6m的总宽度，由于是双向行车道，将总宽度除以2得到单侧通行宽度，和货车宽度4m比较即可判断能否通行。
（3）灯离地面高度不超过8m，根据抛物线开口向下的性质，同一高度对应的两个点的水平距离随y值增大而减小，因此取y=8时对应的两个x的差，即为两排灯的最小水平距离。
【解析】
(1) 由题意得，点B的坐标为$(0,4)$，点C的坐标为$(3,\dfrac{17}{2})$。
将$B(0,4)$代入$y=-\dfrac{1}{6}x^2 +bx +c$，得$c=4$。
将$C(3,\dfrac{17}{2})$和$c=4$代入解析式：
$-\dfrac{1}{6} × 3^2 + 3b + 4 = \dfrac{17}{2}$
解得$b=2$。
∴抛物线对应的函数表达式为$y = -\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4$。
将解析式配方得：$y = -\dfrac{1}{6}(x-6)^2 + 10$，
∴拱顶D的坐标为$(6,10)$，即拱顶D到地面OA的距离为$10\ \mathrm{m}$。
(2) 当$y=6$时，代入解析式得：
$-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4 = 6$
整理得$x^2 -12x +12 = 0$，
解得$x_1=6-2\sqrt{6}$，$x_2=6+2\sqrt{6}$。
此时隧道内高度不小于$6\ \mathrm{m}$的区间总宽度为$x_2 - x_1 = 4\sqrt{6}\approx9.8\ \mathrm{m}$。
隧道为双向行车道，单侧可通行宽度约为$9.8÷2=4.9\ \mathrm{m} ＞ 4\ \mathrm{m}$，
∴这辆货车能安全通过。
(3) 由题意，灯离地面高度不超过$8\ \mathrm{m}$，由于抛物线开口向下，在$y≤8$的范围内，$y$越大，对应两个对称点的水平距离越小，因此当$y=8$时，两排灯的水平距离最小。
令$y=8$，代入解析式：
$-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4 = 8$
整理得$x^2 -12x +24 = 0$，
解得$x_1=6-2\sqrt{3}$，$x_2=6+2\sqrt{3}$。
两排灯的水平距离为$x_2 - x_1 = 4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 抛物线函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4}$，拱顶D到地面OA的距离为$\boldsymbol{10\ \mathrm{m}}$；
(2) 这辆货车$\boldsymbol{能}$安全通过；
(3) 两排灯的水平距离最小是$\boldsymbol{4\sqrt{3}\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数的实际应用类典型题，结合了待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、二次函数图像性质等知识点，解题核心是将实际问题中的高度、宽度条件转化为二次函数中y与x的对应关系，考查学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
8. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2 m的点A处发出.把球看成点，其运行的高度y与运行的水平距离x满足表达式$y=a(x-6)^2 + h$.已知球网与点O的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距点O的水平距离为18 m.
（1）当$h=2.6$时，求y关于x的函数表达式；（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当$h=2.6$时，球能否越过球网？球会不会出边界？说明理由；
（3）若球能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.
（1）当$h=2.6$时，求y关于x的函数表达式；（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当$h=2.6$时，球能否越过球网？球会不会出边界？说明理由；
（3）若球能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.
答案
解：
(1) 将点$A(0,2)$代入$y=a(x-6)^2+2.6$，得：
$2 = a·(0-6)^2 + 2.6$
解得$a=-\frac{1}{60}$，
∴ $y$关于$x$的函数表达式为 $\boldsymbol{y=-\frac{1}{60}(x-6)^2 + 2.6}$。
(2) 球能越过球网，球会出边界，理由如下：
当$x=9$时，代入函数得：
$y=-\frac{1}{60}×(9-6)^2 + 2.6 = 2.45$
∵ $2.45＞2.43$，
∴ 球能越过球网。
当$x=18$时，代入函数得：
$y=-\frac{1}{60}×(18-6)^2 + 2.6 = 0.2$
∵ $x=18$时$y=0.2＞0$，说明球运行到水平距离18m处时高度仍大于0，
∴ 球会出边界。
(3) 将点$A(0,2)$代入$y=a(x-6)^2+h$，得：
$2=36a + h \implies a=\frac{2-h}{36}$
即函数表达式为 $y=\frac{2-h}{36}(x-6)^2 + h$。
① 球能越过球网，即$x=9$时$y＞2.43$：
代入得：
$\frac{2-h}{36}×(9-6)^2 + h ＞ 2.43$
化简得$\frac{2+3h}{4}＞2.43$，解得$h＞\frac{193}{75}$。
② 球不出边界，即$x=18$时$y≤0$：
代入得：
$\frac{2-h}{36}×(18-6)^2 + h ≤ 0$
化简得$8-3h≤0$，解得$h≥\frac{8}{3}$。
∵ $\frac{8}{3}＞\frac{193}{75}$，
∴ $h$的取值范围是 $\boldsymbol{h≥\frac{8}{3}}$。
(1) 将点$A(0,2)$代入$y=a(x-6)^2+2.6$，得：
$2 = a·(0-6)^2 + 2.6$
解得$a=-\frac{1}{60}$，
∴ $y$关于$x$的函数表达式为 $\boldsymbol{y=-\frac{1}{60}(x-6)^2 + 2.6}$。
(2) 球能越过球网，球会出边界，理由如下：
当$x=9$时，代入函数得：
$y=-\frac{1}{60}×(9-6)^2 + 2.6 = 2.45$
∵ $2.45＞2.43$，
∴ 球能越过球网。
当$x=18$时，代入函数得：
$y=-\frac{1}{60}×(18-6)^2 + 2.6 = 0.2$
∵ $x=18$时$y=0.2＞0$，说明球运行到水平距离18m处时高度仍大于0，
∴ 球会出边界。
(3) 将点$A(0,2)$代入$y=a(x-6)^2+h$，得：
$2=36a + h \implies a=\frac{2-h}{36}$
即函数表达式为 $y=\frac{2-h}{36}(x-6)^2 + h$。
① 球能越过球网，即$x=9$时$y＞2.43$：
代入得：
$\frac{2-h}{36}×(9-6)^2 + h ＞ 2.43$
化简得$\frac{2+3h}{4}＞2.43$，解得$h＞\frac{193}{75}$。
② 球不出边界，即$x=18$时$y≤0$：
代入得：
$\frac{2-h}{36}×(18-6)^2 + h ≤ 0$
化简得$8-3h≤0$，解得$h≥\frac{8}{3}$。
∵ $\frac{8}{3}＞\frac{193}{75}$，
∴ $h$的取值范围是 $\boldsymbol{h≥\frac{8}{3}}$。
解析
【分析】
这是一道二次函数的实际应用问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：已知函数顶点式的h值，且函数过点A(0,2)，将点坐标代入表达式即可求出a的值，进而得到函数解析式。
2. 第(2)问：判断球能否过球网，只需将球网对应的水平距离x=9代入解析式，计算得到的y值和球网高度2.43m比较，若y＞2.43则能过网；判断是否出边界，将边界对应的水平距离x=18代入解析式，若得到的y值＞0，说明球到达边界位置时还未落地，就会出界。
3. 第(3)问：先将点A(0,2)代入含h的顶点式，用h表示出a，得到含参数h的函数解析式；再分别根据“过球网（x=9时y＞2.43）”“不出边界（x=18时y≤0）”列两个不等式，求解后取两个解集的公共部分，即可得到h的取值范围。
【解析】
(1) 已知h=2.6，函数表达式为$y=a(x-6)^2+2.6$，球从A(0,2)发出，将A(0,2)代入表达式：
$2 = a×(0-6)^2 + 2.6$
$36a = 2 - 2.6 = -0.6$
解得$a=-\frac{1}{60}$，
因此y关于x的函数表达式为$y=-\frac{1}{60}(x-6)^2 + 2.6$。
(2) 分别代入x=9和x=18计算函数值判断：
① 当x=9时，$y=-\frac{1}{60}×(9-6)^2 + 2.6 = -\frac{9}{60} + 2.6 = 2.45$，
因为$2.45＞2.43$，所以球能越过球网。
② 当x=18时，$y=-\frac{1}{60}×(18-6)^2 + 2.6 = -\frac{144}{60} + 2.6 = -2.4 + 2.6 = 0.2$，
因为$0.2＞0$，说明球运动到水平距离18m的边界处时高度仍大于0，还未落地，因此球会出边界。
(3) 先将A(0,2)代入$y=a(x-6)^2 + h$，得：
$2 = a×(0-6)^2 + h$，即$36a + h = 2$，整理得$a=\frac{2-h}{36}$，
因此函数表达式为$y=\frac{2-h}{36}(x-6)^2 + h$。
① 球能越过球网，即x=9时，y＞2.43：
代入得$\frac{2-h}{36}×(9-6)^2 + h ＞ 2.43$，
化简得$\frac{9(2-h)}{36} + h ＞2.43$，即$\frac{2-h}{4} + h ＞2.43$，
通分整理得$\frac{2+3h}{4}＞2.43$，解得$h＞\frac{193}{75}$。
② 球不出边界，即x=18时，y≤0：
代入得$\frac{2-h}{36}×(18-6)^2 + h ≤0$，
化简得$\frac{144(2-h)}{36} + h ≤0$，即$4(2-h)+h ≤0$，
整理得$8-3h ≤0$，解得$h≥\frac{8}{3}$。
因为$\frac{8}{3}＞\frac{193}{75}$，所以两个解集的公共部分为$h≥\frac{8}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\frac{1}{60}(x-6)^2 + 2.6}$
(2) 球能越过球网，球会出边界；
(3) $\boldsymbol{h≥\frac{8}{3}}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；一元一次不等式求解
【点评】
本题结合排球发球的生活场景考察二次函数的应用，需要将实际问题转化为二次函数的数值计算、参数求解问题，解题时要注意实际意义对函数值的约束，求解参数范围时要注意取多个不等式解集的公共部分，计算时需细心避免运算错误。
【难度系数】
0.6
这是一道二次函数的实际应用问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：已知函数顶点式的h值，且函数过点A(0,2)，将点坐标代入表达式即可求出a的值，进而得到函数解析式。
2. 第(2)问：判断球能否过球网，只需将球网对应的水平距离x=9代入解析式，计算得到的y值和球网高度2.43m比较，若y＞2.43则能过网；判断是否出边界，将边界对应的水平距离x=18代入解析式，若得到的y值＞0，说明球到达边界位置时还未落地，就会出界。
3. 第(3)问：先将点A(0,2)代入含h的顶点式，用h表示出a，得到含参数h的函数解析式；再分别根据“过球网（x=9时y＞2.43）”“不出边界（x=18时y≤0）”列两个不等式，求解后取两个解集的公共部分，即可得到h的取值范围。
【解析】
(1) 已知h=2.6，函数表达式为$y=a(x-6)^2+2.6$，球从A(0,2)发出，将A(0,2)代入表达式：
$2 = a×(0-6)^2 + 2.6$
$36a = 2 - 2.6 = -0.6$
解得$a=-\frac{1}{60}$，
因此y关于x的函数表达式为$y=-\frac{1}{60}(x-6)^2 + 2.6$。
(2) 分别代入x=9和x=18计算函数值判断：
① 当x=9时，$y=-\frac{1}{60}×(9-6)^2 + 2.6 = -\frac{9}{60} + 2.6 = 2.45$，
因为$2.45＞2.43$，所以球能越过球网。
② 当x=18时，$y=-\frac{1}{60}×(18-6)^2 + 2.6 = -\frac{144}{60} + 2.6 = -2.4 + 2.6 = 0.2$，
因为$0.2＞0$，说明球运动到水平距离18m的边界处时高度仍大于0，还未落地，因此球会出边界。
(3) 先将A(0,2)代入$y=a(x-6)^2 + h$，得：
$2 = a×(0-6)^2 + h$，即$36a + h = 2$，整理得$a=\frac{2-h}{36}$，
因此函数表达式为$y=\frac{2-h}{36}(x-6)^2 + h$。
① 球能越过球网，即x=9时，y＞2.43：
代入得$\frac{2-h}{36}×(9-6)^2 + h ＞ 2.43$，
化简得$\frac{9(2-h)}{36} + h ＞2.43$，即$\frac{2-h}{4} + h ＞2.43$，
通分整理得$\frac{2+3h}{4}＞2.43$，解得$h＞\frac{193}{75}$。
② 球不出边界，即x=18时，y≤0：
代入得$\frac{2-h}{36}×(18-6)^2 + h ≤0$，
化简得$\frac{144(2-h)}{36} + h ≤0$，即$4(2-h)+h ≤0$，
整理得$8-3h ≤0$，解得$h≥\frac{8}{3}$。
因为$\frac{8}{3}＞\frac{193}{75}$，所以两个解集的公共部分为$h≥\frac{8}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\frac{1}{60}(x-6)^2 + 2.6}$
(2) 球能越过球网，球会出边界；
(3) $\boldsymbol{h≥\frac{8}{3}}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；一元一次不等式求解
【点评】
本题结合排球发球的生活场景考察二次函数的应用，需要将实际问题转化为二次函数的数值计算、参数求解问题，解题时要注意实际意义对函数值的约束，求解参数范围时要注意取多个不等式解集的公共部分，计算时需细心避免运算错误。
【难度系数】
0.6
