登录
一、选择题
1. 下列函数关系中是反比例函数的为().
A.等边三角形面积S与边长a的关系
B.直角三角形两锐角A与B的关系
C.矩形面积一定时，长y与宽x的关系
D.等腰三角形顶角A与底角B的关系
1. 下列函数关系中是反比例函数的为().
A.等边三角形面积S与边长a的关系
B.直角三角形两锐角A与B的关系
C.矩形面积一定时，长y与宽x的关系
D.等腰三角形顶角A与底角B的关系
答案
C
解析
【分析】要判断选项中的函数是否为反比例函数，首先需明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$，$x≠0$）的函数叫做反比例函数。解题时先根据各选项对应的几何性质，推导两个变量的函数关系式，再对照反比例函数的定义逐一排查，即可选出正确答案。
【解析】先明确反比例函数的核心特征：函数关系式可变形为$y=\frac{k}{x}$（$k$为非零常数，自变量$x$的次数为$-1$，且$x≠0$）。对各选项逐一分析：
选项A：等边三角形面积$S$与边长$a$的关系为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，$S$是$a$的二次函数，不符合反比例函数特征，排除；
选项B：直角三角形两锐角和为$90°$，可得$A=90°-B$，$A$是$B$的一次函数，不符合反比例函数特征，排除；
选项C：设矩形固定面积为$k$（$k＞0$，为常数），由矩形面积公式得$xy=k$，变形为$y=\frac{k}{x}$，符合反比例函数的定义，当选；
选项D：等腰三角形内角和为$180°$，可得$A=180°-2B$，$A$是$B$的一次函数，不符合反比例函数特征，排除。
【答案】C
【知识点】反比例函数的定义；列函数关系式；几何图形基本性质
【点评】本题属于基础概念考查题，重点考查反比例函数的识别，解题的关键是先结合几何性质写出变量间的函数关系式，再对照反比例函数的定义判断即可，只要熟练掌握相关概念就能轻松得分。
【难度系数】0.85
【解析】先明确反比例函数的核心特征：函数关系式可变形为$y=\frac{k}{x}$（$k$为非零常数，自变量$x$的次数为$-1$，且$x≠0$）。对各选项逐一分析：
选项A：等边三角形面积$S$与边长$a$的关系为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，$S$是$a$的二次函数，不符合反比例函数特征，排除；
选项B：直角三角形两锐角和为$90°$，可得$A=90°-B$，$A$是$B$的一次函数，不符合反比例函数特征，排除；
选项C：设矩形固定面积为$k$（$k＞0$，为常数），由矩形面积公式得$xy=k$，变形为$y=\frac{k}{x}$，符合反比例函数的定义，当选；
选项D：等腰三角形内角和为$180°$，可得$A=180°-2B$，$A$是$B$的一次函数，不符合反比例函数特征，排除。
【答案】C
【知识点】反比例函数的定义；列函数关系式；几何图形基本性质
【点评】本题属于基础概念考查题，重点考查反比例函数的识别，解题的关键是先结合几何性质写出变量间的函数关系式，再对照反比例函数的定义判断即可，只要熟练掌握相关概念就能轻松得分。
【难度系数】0.85
2. 下列各点中,在反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$图象上的是().
A.$(3,1)$
B.$(1,3)$
C.$(-3,-1)$
D.$(-\dfrac{3}{2},2)$
A.$(3,1)$
B.$(1,3)$
C.$(-3,-1)$
D.$(-\dfrac{3}{2},2)$
答案
D
解析
【分析】
要判断点是否在反比例函数图象上，核心依据是：反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标的乘积等于函数的比例系数$k$。本题中反比例函数为$y=-\dfrac{3}{x}$，变形可得$xy=-3$，只需逐一计算各选项中点的横、纵坐标的乘积，判断结果是否等于$-3$即可选出正确答案。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，将解析式变形可得$xy=-3$，即该函数图象上所有点的横、纵坐标乘积均为$-3$，逐一验证选项：
A选项：$3×1=3≠-3$，该点不在函数图象上；
B选项：$1×3=3≠-3$，该点不在函数图象上；
C选项：$(-3)×(-1)=3≠-3$，该点不在函数图象上；
D选项：$(-\dfrac{3}{2})×2=-3$，满足$xy=-3$，该点在函数图象上。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征
2.反比例函数的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，考查对反比例函数图象上点的坐标规律的掌握，熟练运用$xy=k$的变形可以快速解题，减少计算量。
【难度系数】
0.8
要判断点是否在反比例函数图象上，核心依据是：反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标的乘积等于函数的比例系数$k$。本题中反比例函数为$y=-\dfrac{3}{x}$，变形可得$xy=-3$，只需逐一计算各选项中点的横、纵坐标的乘积，判断结果是否等于$-3$即可选出正确答案。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，将解析式变形可得$xy=-3$，即该函数图象上所有点的横、纵坐标乘积均为$-3$，逐一验证选项：
A选项：$3×1=3≠-3$，该点不在函数图象上；
B选项：$1×3=3≠-3$，该点不在函数图象上；
C选项：$(-3)×(-1)=3≠-3$，该点不在函数图象上；
D选项：$(-\dfrac{3}{2})×2=-3$，满足$xy=-3$，该点在函数图象上。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征
2.反比例函数的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，考查对反比例函数图象上点的坐标规律的掌握，熟练运用$xy=k$的变形可以快速解题，减少计算量。
【难度系数】
0.8
3. 某闭合电路中，电源的电压为定值.电流$ I $与电阻$ R $成反比例.下图是该电路中电流$ I $与电阻$ R $之间函数关系的图象,则用电阻$ R $表示电流$ I $的函数表达式为().
A.$ I=\frac{2}{R} $
B.$ I=\frac{3}{R} $
C.$ I=\frac{5}{R} $
D.$ I=\frac{6}{R} $
A.$ I=\frac{2}{R} $
B.$ I=\frac{3}{R} $
C.$ I=\frac{5}{R} $
D.$ I=\frac{6}{R} $
答案
D
解析
【分析】
题目明确电流I与电阻R成反比例，首先我们可以根据反比例函数的定义设出函数的一般形式，再结合图象给出的已知点的坐标，将坐标代入解析式求出待定系数，即可得到I关于R的函数表达式。
【解析】
因为电流I与电阻R成反比例，所以设I关于R的函数表达式为$I=\frac{k}{R}$（k为常数，且$k≠0$）。
由图象可知，函数图象过点$B(3,2)$，即当$R=3Ω$时，$I=2A$，将其代入解析式得：
$2=\frac{k}{3}$
解得$k=2×3=6$，
因此用电阻R表示电流I的函数表达式为$I=\frac{6}{R}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数在物理实际问题中的应用，解题核心是掌握待定系数法求反比例函数解析式的步骤，结合图象上已知点的坐标即可快速求出未知参数，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
题目明确电流I与电阻R成反比例，首先我们可以根据反比例函数的定义设出函数的一般形式，再结合图象给出的已知点的坐标，将坐标代入解析式求出待定系数，即可得到I关于R的函数表达式。
【解析】
因为电流I与电阻R成反比例，所以设I关于R的函数表达式为$I=\frac{k}{R}$（k为常数，且$k≠0$）。
由图象可知，函数图象过点$B(3,2)$，即当$R=3Ω$时，$I=2A$，将其代入解析式得：
$2=\frac{k}{3}$
解得$k=2×3=6$，
因此用电阻R表示电流I的函数表达式为$I=\frac{6}{R}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数在物理实际问题中的应用，解题核心是掌握待定系数法求反比例函数解析式的步骤，结合图象上已知点的坐标即可快速求出未知参数，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
二、填空题
4. 当a为________时，函数$y=(a+1)x^{a^2+3a+1}$是反比例函数。
4. 当a为________时，函数$y=(a+1)x^{a^2+3a+1}$是反比例函数。
答案
$\boldsymbol{-2}$
解析
【分析】要判断给定函数是反比例函数，需结合反比例函数的定义推导：反比例函数的标准形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数且$k≠0$），因此需要同时满足两个条件：①自变量$x$的指数等于$-1$；②$x$的系数不为0。我们先根据指数条件列方程求解$a$的可能值，再代入系数条件排除不符合的取值即可得到结果。
【解析】根据反比例函数的定义，可得：
1. 指数满足：$a^2+3a+1=-1$
移项整理得：$a^2+3a+2=0$
因式分解得：$(a+1)(a+2)=0$
解得：$a=-1$或$a=-2$
2. 系数满足：$a+1≠0$，即$a≠-1$
综上，排除$a=-1$，得$a=-2$
【答案】$\boldsymbol{-2}$
【知识点】反比例函数定义；一元二次方程求解；不等式求解
【点评】本题是反比例函数定义的基础应用题，解题时需注意同时满足“指数为-1”和“系数不为0”两个条件，避免因忽略系数限制出现多解错误。
【难度系数】0.7
【解析】根据反比例函数的定义，可得：
1. 指数满足：$a^2+3a+1=-1$
移项整理得：$a^2+3a+2=0$
因式分解得：$(a+1)(a+2)=0$
解得：$a=-1$或$a=-2$
2. 系数满足：$a+1≠0$，即$a≠-1$
综上，排除$a=-1$，得$a=-2$
【答案】$\boldsymbol{-2}$
【知识点】反比例函数定义；一元二次方程求解；不等式求解
【点评】本题是反比例函数定义的基础应用题，解题时需注意同时满足“指数为-1”和“系数不为0”两个条件，避免因忽略系数限制出现多解错误。
【难度系数】0.7
5.近视眼镜的度数y与镜片焦距x成反比例.已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m,则y与x之间的函数表达式为.
答案
解：
∵近视眼镜的度数$y$与镜片焦距$x$成反比例，
∴设$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将$x=0.25$，$y=400$代入表达式，得：
$400=\frac{k}{0.25}$
解得$k=100$。
∴$y$与$x$之间的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{100}{x}(x＞0)}$。
∵近视眼镜的度数$y$与镜片焦距$x$成反比例，
∴设$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将$x=0.25$，$y=400$代入表达式，得：
$400=\frac{k}{0.25}$
解得$k=100$。
∴$y$与$x$之间的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{100}{x}(x＞0)}$。
解析
【分析】
首先根据题目给出的y与x成反比例的关系，回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，接下来只需要求出比例系数k即可得到函数表达式。题目给出了一组x、y的对应值：x=0.25时y=400，将这组值代入所设的表达式就能解出k的值，最后结合实际意义，镜片焦距x肯定为正数，要标注自变量的取值范围。
【解析】
∵近视眼镜的度数$y$与镜片焦距$x$成反比例，
∴设$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将$x=0.25$，$y=400$代入表达式，得：
$400=\frac{k}{0.25}$
解得$k=100$。
结合实际意义，镜片焦距$x$为正数，
∴$y$与$x$之间的函数表达式为$y=\frac{100}{x}(x＞0)$。
【答案】
$y=\frac{100}{x}(x＞0)$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，解题关键是先根据反比例关系设出函数通式，代入已知对应值求出比例系数，最后注意结合实际场景确定自变量的取值范围，不要遗漏定义域。
【难度系数】
0.8
首先根据题目给出的y与x成反比例的关系，回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，接下来只需要求出比例系数k即可得到函数表达式。题目给出了一组x、y的对应值：x=0.25时y=400，将这组值代入所设的表达式就能解出k的值，最后结合实际意义，镜片焦距x肯定为正数，要标注自变量的取值范围。
【解析】
∵近视眼镜的度数$y$与镜片焦距$x$成反比例，
∴设$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将$x=0.25$，$y=400$代入表达式，得：
$400=\frac{k}{0.25}$
解得$k=100$。
结合实际意义，镜片焦距$x$为正数，
∴$y$与$x$之间的函数表达式为$y=\frac{100}{x}(x＞0)$。
【答案】
$y=\frac{100}{x}(x＞0)$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，解题关键是先根据反比例关系设出函数通式，代入已知对应值求出比例系数，最后注意结合实际场景确定自变量的取值范围，不要遗漏定义域。
【难度系数】
0.8
6. 某工厂现有原材料100 t，平均每天用去x t，这批原材料能用y天，则y与x之间的函数表达式为。
答案
解：
由题意可得等量关系：平均每天用料量×使用天数 = 原材料总质量，
即 $ xy = 100 $，
整理得 $ y = \frac{100}{x} \ (x＞0) $。
由题意可得等量关系：平均每天用料量×使用天数 = 原材料总质量，
即 $ xy = 100 $，
整理得 $ y = \frac{100}{x} \ (x＞0) $。
解析
【分析】
解题时首先梳理题目中的三个核心量：原材料总质量、每日用料量、使用天数，三者符合“总质量=每日用料量×使用天数”的基本数量关系。已知总质量为固定值100t，将对应量代入等量关系后，变形为用x表示y的形式，最后结合x的实际意义（每日用料量不能为0或负数）确定自变量的取值范围即可得到函数表达式。
【解析】
由题意可得等量关系：平均每天用料量×使用天数 = 原材料总质量，
代入对应量得 $ xy = 100 $，
将式子变形整理得 $ y = \frac{100}{x} $，
由于x表示每天消耗的原材料质量，因此x需满足实际意义，即 $ x＞0 $。
【答案】
$ y = \frac{100}{x} \ (x＞0) $
【知识点】
1. 列反比例函数表达式
2. 函数自变量取值范围确定
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，解题关键是找准题目中的不变量与等量关系，将实际问题转化为数学函数模型，作答时要注意结合实际情境补充自变量的取值范围，保证答案的完整性。
【难度系数】
0.9
解题时首先梳理题目中的三个核心量：原材料总质量、每日用料量、使用天数，三者符合“总质量=每日用料量×使用天数”的基本数量关系。已知总质量为固定值100t，将对应量代入等量关系后，变形为用x表示y的形式，最后结合x的实际意义（每日用料量不能为0或负数）确定自变量的取值范围即可得到函数表达式。
【解析】
由题意可得等量关系：平均每天用料量×使用天数 = 原材料总质量，
代入对应量得 $ xy = 100 $，
将式子变形整理得 $ y = \frac{100}{x} $，
由于x表示每天消耗的原材料质量，因此x需满足实际意义，即 $ x＞0 $。
【答案】
$ y = \frac{100}{x} \ (x＞0) $
【知识点】
1. 列反比例函数表达式
2. 函数自变量取值范围确定
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，解题关键是找准题目中的不变量与等量关系，将实际问题转化为数学函数模型，作答时要注意结合实际情境补充自变量的取值范围，保证答案的完整性。
【难度系数】
0.9
三、解答题
7. 判断下列各小题中的两个变量是否成反比例关系，如果是，请写出函数表达式.
（1）小明进行100 m赛跑时，时间$ t $与他跑步的平均速度$ v $之间的关系；
（2）菱形的面积为$ 48 \ \mathrm{cm}^2 $，它的两条对角线长$ y $与$ x $之间的关系；
（3）三角形的面积$ S $一定，底边上的高$ h $与底边$ a $之间的关系；
（4）用电器的输出功率$ P $与通过的电流$ I $、用电器的电阻$ R $之间的关系是$ P=I^2R $，当$ P $为$ 1\ 000 \ \mathrm{W} $时，$ R $与$ I $之间的关系.
7. 判断下列各小题中的两个变量是否成反比例关系，如果是，请写出函数表达式.
（1）小明进行100 m赛跑时，时间$ t $与他跑步的平均速度$ v $之间的关系；
（2）菱形的面积为$ 48 \ \mathrm{cm}^2 $，它的两条对角线长$ y $与$ x $之间的关系；
（3）三角形的面积$ S $一定，底边上的高$ h $与底边$ a $之间的关系；
（4）用电器的输出功率$ P $与通过的电流$ I $、用电器的电阻$ R $之间的关系是$ P=I^2R $，当$ P $为$ 1\ 000 \ \mathrm{W} $时，$ R $与$ I $之间的关系.
答案
解：
（1）成反比例关系。
由路程公式得 $vt=100$，函数表达式为 $t=\frac{100}{v} \ (v＞0)$。
（2）成反比例关系。
由菱形面积公式得 $\frac{1}{2}xy=48$，整理得函数表达式为 $y=\frac{96}{x} \ (x＞0)$。
（3）成反比例关系。
由三角形面积公式得 $S=\frac{1}{2}ah$（$S$为定值），整理得函数表达式为 $h=\frac{2S}{a} \ (a＞0)$。
（4）不成反比例关系。
将$P=1000$代入$P=I^2R$得$R=\frac{1000}{I^2}$，$R$与$I$的乘积不是定值，不符合反比例关系的定义。
（1）成反比例关系。
由路程公式得 $vt=100$，函数表达式为 $t=\frac{100}{v} \ (v＞0)$。
（2）成反比例关系。
由菱形面积公式得 $\frac{1}{2}xy=48$，整理得函数表达式为 $y=\frac{96}{x} \ (x＞0)$。
（3）成反比例关系。
由三角形面积公式得 $S=\frac{1}{2}ah$（$S$为定值），整理得函数表达式为 $h=\frac{2S}{a} \ (a＞0)$。
（4）不成反比例关系。
将$P=1000$代入$P=I^2R$得$R=\frac{1000}{I^2}$，$R$与$I$的乘积不是定值，不符合反比例关系的定义。
解析
【分析】
判断两个变量是否成反比例关系，核心依据是反比例关系的定义：若两个变量的乘积为非零定值，即满足$xy=k$（$k$为常数，$k\ne0$），则两个变量成反比例关系，可整理为$y=\frac{k}{x}$的形式。解题时先结合各小题对应的等量关系（行程公式、几何面积公式、功率公式）列出两个变量的关系式，整理后对照定义判断，若符合则写出函数表达式，同时注意实际问题中自变量的取值要符合实际意义。
【解析】
（1）成反比例关系。
根据路程公式“路程=速度×时间”，可得$vt=100$，整理得函数表达式为 $t=\frac{100}{v} \ (v＞0)$。
（2）成反比例关系。
根据菱形面积公式“菱形面积=对角线乘积的一半”，可得$\frac{1}{2}xy=48$，整理得函数表达式为 $y=\frac{96}{x} \ (x＞0)$。
（3）成反比例关系。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$S$为定值），整理得函数表达式为 $h=\frac{2S}{a} \ (a＞0)$。
（4）不成反比例关系。
将$P=1000$代入$P=I^2R$得$1000=I^2R$，整理得$R=\frac{1000}{I^2}$，可见$R$与$I$的乘积不是定值，不符合反比例关系的定义。
【答案】
（1）成反比例关系，$t=\frac{100}{v} \ (v＞0)$；
（2）成反比例关系，$y=\frac{96}{x} \ (x＞0)$；
（3）成反比例关系，$h=\frac{2S}{a} \ (a＞0)$；
（4）不成反比例关系。
【知识点】
1. 反比例关系的判定
2. 反比例函数表达式
3. 实际问题等量关系
【点评】
本题结合行程、几何、物理多个场景考查反比例关系的判定，解题关键是抓住“两个变量乘积为非零定值”这一反比例关系的本质，注意不要将分母含变量平方的函数误判为反比例函数，同时实际问题中要注意自变量的取值范围符合实际要求。
【难度系数】
0.7
判断两个变量是否成反比例关系，核心依据是反比例关系的定义：若两个变量的乘积为非零定值，即满足$xy=k$（$k$为常数，$k\ne0$），则两个变量成反比例关系，可整理为$y=\frac{k}{x}$的形式。解题时先结合各小题对应的等量关系（行程公式、几何面积公式、功率公式）列出两个变量的关系式，整理后对照定义判断，若符合则写出函数表达式，同时注意实际问题中自变量的取值要符合实际意义。
【解析】
（1）成反比例关系。
根据路程公式“路程=速度×时间”，可得$vt=100$，整理得函数表达式为 $t=\frac{100}{v} \ (v＞0)$。
（2）成反比例关系。
根据菱形面积公式“菱形面积=对角线乘积的一半”，可得$\frac{1}{2}xy=48$，整理得函数表达式为 $y=\frac{96}{x} \ (x＞0)$。
（3）成反比例关系。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$S$为定值），整理得函数表达式为 $h=\frac{2S}{a} \ (a＞0)$。
（4）不成反比例关系。
将$P=1000$代入$P=I^2R$得$1000=I^2R$，整理得$R=\frac{1000}{I^2}$，可见$R$与$I$的乘积不是定值，不符合反比例关系的定义。
【答案】
（1）成反比例关系，$t=\frac{100}{v} \ (v＞0)$；
（2）成反比例关系，$y=\frac{96}{x} \ (x＞0)$；
（3）成反比例关系，$h=\frac{2S}{a} \ (a＞0)$；
（4）不成反比例关系。
【知识点】
1. 反比例关系的判定
2. 反比例函数表达式
3. 实际问题等量关系
【点评】
本题结合行程、几何、物理多个场景考查反比例关系的判定，解题关键是抓住“两个变量乘积为非零定值”这一反比例关系的本质，注意不要将分母含变量平方的函数误判为反比例函数，同时实际问题中要注意自变量的取值范围符合实际要求。
【难度系数】
0.7
