登录
8. 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500 kg.经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20 kg.
（1）若商场既要保证每天的盈利至少为6 000元，又要求涨价金额最少，每千克应涨价多少元？
（2）当每千克涨价多少元时，每天的盈利最多？最多是多少元？
（1）若商场既要保证每天的盈利至少为6 000元，又要求涨价金额最少，每千克应涨价多少元？
（2）当每千克涨价多少元时，每天的盈利最多？最多是多少元？
答案
解：设每千克涨价x元，每天的盈利为y元，根据题意可得：
$y=(10+x)(500-20x) = -20x^2 + 300x + 5000$，其中$x≥0$，且$500-20x＞0$，即$0≤ x＜25$。
(1) 由题意得$y≥6000$，即：
$-20x^2 + 300x + 5000 ≥ 6000$
整理得：$x^2 -15x +50 ≤ 0$
因式分解得：$(x-5)(x-10) ≤ 0$
解得：$5≤ x≤10$
要使涨价金额最少，取$x=5$。
(2) 对于二次函数$y=-20x^2 + 300x + 5000$，$a=-20＜0$，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{300}{2×(-20)} =7.5$，在$0≤ x＜25$的取值范围内。
将$x=7.5$代入函数得：
$y_{\mathrm{max}} = -20×7.5^2 + 300×7.5 +5000 = 6125$
答：(1) 每千克应涨价5元；(2) 当每千克涨价7.5元时，每天的盈利最多，最多是6125元。
$y=(10+x)(500-20x) = -20x^2 + 300x + 5000$，其中$x≥0$，且$500-20x＞0$，即$0≤ x＜25$。
(1) 由题意得$y≥6000$，即：
$-20x^2 + 300x + 5000 ≥ 6000$
整理得：$x^2 -15x +50 ≤ 0$
因式分解得：$(x-5)(x-10) ≤ 0$
解得：$5≤ x≤10$
要使涨价金额最少，取$x=5$。
(2) 对于二次函数$y=-20x^2 + 300x + 5000$，$a=-20＜0$，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{300}{2×(-20)} =7.5$，在$0≤ x＜25$的取值范围内。
将$x=7.5$代入函数得：
$y_{\mathrm{max}} = -20×7.5^2 + 300×7.5 +5000 = 6125$
答：(1) 每千克应涨价5元；(2) 当每千克涨价7.5元时，每天的盈利最多，最多是6125元。
解析
【分析】
解决这类销售盈利问题的核心是抓住“总盈利=每千克盈利×日销售量”的等量关系。首先设每千克涨价x元，日盈利为y元，先分别表示出涨价后的每千克盈利和日销售量，建立y关于x的二次函数表达式，同时结合日销售量为正的实际要求确定x的取值范围。针对第(1)问，要保证盈利至少6000元，即y≥6000，代入函数得到一元二次不等式，解出x的取值范围后，选取最小的x即可满足涨价最少的要求。针对第(2)问，所得二次函数开口向下，在顶点处可取得最大值，利用二次函数对称轴公式计算顶点横坐标，验证其在x的取值范围内后，代入函数即可算出最大盈利。
【解析】
设每千克涨价x元，每天的盈利为y元，根据题意得：
每千克盈利为$(10+x)$元，日销售量为$(500-20x)$kg，因此
$y=(10+x)(500-20x) = -20x^2 + 300x + 5000$
由日销售量为正可得$500-20x＞0$，结合涨价金额非负，得自变量取值范围为$0≤x＜25$。
(1) 若每天盈利至少为6000元，则$y≥6000$，即：
$-20x^2 + 300x + 5000 ≥ 6000$
移项整理得：$x^2 -15x +50 ≤ 0$
因式分解得：$(x-5)(x-10) ≤ 0$
解得：$5≤x≤10$
要求涨价金额最少，故取$x=5$。
(2) 对于二次函数$y=-20x^2 + 300x + 5000$，$a=-20＜0$，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{300}{2×(-20)} =7.5$，$7.5$在$0≤x＜25$的取值范围内。
将$x=7.5$代入函数得：
$y_{\mathrm{max}} = -20×7.5^2 + 300×7.5 +5000 = 6125$
【答案】
(1) 每千克应涨价5元；
(2) 当每千克涨价7.5元时，每天的盈利最多，最多是6125元。
【知识点】
二次函数的应用；一元二次不等式的解法；二次函数的最值
【点评】
本题是典型的销售类优化问题，解题关键是将实际问题转化为数学函数模型，既考查了一元二次不等式的求解，也考查了二次函数最值的计算，解题时需注意自变量的取值要符合实际意义，避免出现无意义的计算结果。
【难度系数】
0.7
解决这类销售盈利问题的核心是抓住“总盈利=每千克盈利×日销售量”的等量关系。首先设每千克涨价x元，日盈利为y元，先分别表示出涨价后的每千克盈利和日销售量，建立y关于x的二次函数表达式，同时结合日销售量为正的实际要求确定x的取值范围。针对第(1)问，要保证盈利至少6000元，即y≥6000，代入函数得到一元二次不等式，解出x的取值范围后，选取最小的x即可满足涨价最少的要求。针对第(2)问，所得二次函数开口向下，在顶点处可取得最大值，利用二次函数对称轴公式计算顶点横坐标，验证其在x的取值范围内后，代入函数即可算出最大盈利。
【解析】
设每千克涨价x元，每天的盈利为y元，根据题意得：
每千克盈利为$(10+x)$元，日销售量为$(500-20x)$kg，因此
$y=(10+x)(500-20x) = -20x^2 + 300x + 5000$
由日销售量为正可得$500-20x＞0$，结合涨价金额非负，得自变量取值范围为$0≤x＜25$。
(1) 若每天盈利至少为6000元，则$y≥6000$，即：
$-20x^2 + 300x + 5000 ≥ 6000$
移项整理得：$x^2 -15x +50 ≤ 0$
因式分解得：$(x-5)(x-10) ≤ 0$
解得：$5≤x≤10$
要求涨价金额最少，故取$x=5$。
(2) 对于二次函数$y=-20x^2 + 300x + 5000$，$a=-20＜0$，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{300}{2×(-20)} =7.5$，$7.5$在$0≤x＜25$的取值范围内。
将$x=7.5$代入函数得：
$y_{\mathrm{max}} = -20×7.5^2 + 300×7.5 +5000 = 6125$
【答案】
(1) 每千克应涨价5元；
(2) 当每千克涨价7.5元时，每天的盈利最多，最多是6125元。
【知识点】
二次函数的应用；一元二次不等式的解法；二次函数的最值
【点评】
本题是典型的销售类优化问题，解题关键是将实际问题转化为数学函数模型，既考查了一元二次不等式的求解，也考查了二次函数最值的计算，解题时需注意自变量的取值要符合实际意义，避免出现无意义的计算结果。
【难度系数】
0.7
9. 某低碳节能产品的年产量不超过100万件.如图(1),该产品的生产成本y与年产量x之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分.如图(2),该产品的销售单价z与年销售量x之间的函数图象是一条线段.生产出的产品都能在当年销售完,达到产销平衡.
(1) 求y与x以及z与x之间的函数表达式；
(2) 设年产量为x万件时,所获毛利润为w万元,求w与x之间的函数表达式；当年产量为多少万件时,所获毛利润最大?最大毛利润是多少元?(毛利润=销售额-生产成本)
(1) 求y与x以及z与x之间的函数表达式；
(2) 设年产量为x万件时,所获毛利润为w万元,求w与x之间的函数表达式；当年产量为多少万件时,所获毛利润最大?最大毛利润是多少元?(毛利润=销售额-生产成本)
答案
解：(1) 设生产成本y与年产量x的函数表达式为$y=ax^2$，其中$0≤ x≤100$。
将点$(100,1000)$代入得：
$1000=a·100^2$，解得$a=\frac{1}{10}$，
因此$y=\frac{1}{10}x^2\quad(0≤ x≤100)$。
设销售单价z与年销售量x的函数表达式为$z=kx+b$，其中$0≤ x≤100$。
将点$(0,30)$、$(100,20)$代入得：
$\begin{cases}b=30\\100k+b=20\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{10}\\b=30\end{cases}$，
因此$z=-\frac{1}{10}x+30\quad(0≤ x≤100)$。
(2) 根据毛利润公式：毛利润=销售额-生产成本，可得：
$w=x· z - y$
代入$z$和$y$的表达式：
$w=x(-\frac{1}{10}x+30)-\frac{1}{10}x^2$
整理得：$w=-\frac{1}{5}x^2+30x\quad(0≤ x≤100)$。
该二次函数开口向下，对称轴为$x=-\frac{30}{2×(-\frac{1}{5})}=75$，且$75\in[0,100]$，
当$x=75$时，$w$取得最大值：
$w_{\mathrm{max}}=-\frac{1}{5}×75^2+30×75=1125$（万元）$=11250000$元。
答：当年产量为75万件时，所获毛利润最大，最大毛利润是11250000元。
将点$(100,1000)$代入得：
$1000=a·100^2$，解得$a=\frac{1}{10}$，
因此$y=\frac{1}{10}x^2\quad(0≤ x≤100)$。
设销售单价z与年销售量x的函数表达式为$z=kx+b$，其中$0≤ x≤100$。
将点$(0,30)$、$(100,20)$代入得：
$\begin{cases}b=30\\100k+b=20\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{10}\\b=30\end{cases}$，
因此$z=-\frac{1}{10}x+30\quad(0≤ x≤100)$。
(2) 根据毛利润公式：毛利润=销售额-生产成本，可得：
$w=x· z - y$
代入$z$和$y$的表达式：
$w=x(-\frac{1}{10}x+30)-\frac{1}{10}x^2$
整理得：$w=-\frac{1}{5}x^2+30x\quad(0≤ x≤100)$。
该二次函数开口向下，对称轴为$x=-\frac{30}{2×(-\frac{1}{5})}=75$，且$75\in[0,100]$，
当$x=75$时，$w$取得最大值：
$w_{\mathrm{max}}=-\frac{1}{5}×75^2+30×75=1125$（万元）$=11250000$元。
答：当年产量为75万件时，所获毛利润最大，最大毛利润是11250000元。
解析
【分析】
(1) 求y与x的解析式：观察图1可知y是顶点在原点的抛物线，因此设二次函数解析式为$y=ax^2$，将已知点$(100,1000)$代入即可求出参数a，得到y的表达式；求z与x的解析式：观察图2可知z是x的一次函数，设解析式为$z=kx+b$，将线段两个端点$(0,30)$和$(100,20)$代入，解二元一次方程组求出k、b，即可得到z的表达式，注意x的取值范围为$0≤x≤100$。
(2) 根据毛利润公式“毛利润=销售额-生产成本”，其中销售额=销售单价z×销售量x，生产成本为y，将已求出的y、z表达式代入公式，整理得到w关于x的二次函数，再结合二次函数的开口方向、对称轴以及x的取值范围，即可求出w的最大值和对应的年产量。
【解析】
(1) 设生产成本y与年产量x的函数表达式为$y=ax^2$（$0≤ x≤100$），
将点$(100,1000)$代入得：$1000=a×100^2$，
解得$a=\frac{1}{10}$，
因此$y=\frac{1}{10}x^2\quad(0≤ x≤100)$。
设销售单价z与年销售量x的函数表达式为$z=kx+b$（$0≤ x≤100$），
将点$(0,30)$、$(100,20)$代入得：
$\begin{cases}b=30\\100k+b=20\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{10}\\b=30\end{cases}$，
因此$z=-\frac{1}{10}x+30\quad(0≤ x≤100)$。
(2) 由毛利润=销售额-生产成本，销售额为$x·z$，可得：
$w=xz - y$，
将$y=\frac{1}{10}x^2$、$z=-\frac{1}{10}x+30$代入得：
$w=x(-\frac{1}{10}x+30)-\frac{1}{10}x^2$，
整理得：$w=-\frac{1}{5}x^2+30x\quad(0≤ x≤100)$。
该二次函数二次项系数$-\frac{1}{5}＜0$，图象开口向下，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2×(-\frac{1}{5})}=75$，且$75$在$0≤ x≤100$范围内，
因此当$x=75$时，$w$取得最大值：
$w_{\mathrm{max}}=-\frac{1}{5}×75^2+30×75=1125$（万元）$=11250000$元。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{10}x^2(0≤x≤100)$，$z=-\frac{1}{10}x+30(0≤x≤100)$；
(2) $w=-\frac{1}{5}x^2+30x(0≤x≤100)$，当年产量为75万件时所获毛利润最大，最大毛利润是11250000元。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值，利润问题计算
【点评】
本题是函数实际应用类问题，结合了一次函数与二次函数的核心知识，解题关键是先通过图象给出的点求出对应函数解析式，再根据利润关系构建二次函数模型，最后结合二次函数性质求解最值，解题时要注意自变量的实际取值范围，避免忽略范围导致最值求解错误。
【难度系数】
0.65
(1) 求y与x的解析式：观察图1可知y是顶点在原点的抛物线，因此设二次函数解析式为$y=ax^2$，将已知点$(100,1000)$代入即可求出参数a，得到y的表达式；求z与x的解析式：观察图2可知z是x的一次函数，设解析式为$z=kx+b$，将线段两个端点$(0,30)$和$(100,20)$代入，解二元一次方程组求出k、b，即可得到z的表达式，注意x的取值范围为$0≤x≤100$。
(2) 根据毛利润公式“毛利润=销售额-生产成本”，其中销售额=销售单价z×销售量x，生产成本为y，将已求出的y、z表达式代入公式，整理得到w关于x的二次函数，再结合二次函数的开口方向、对称轴以及x的取值范围，即可求出w的最大值和对应的年产量。
【解析】
(1) 设生产成本y与年产量x的函数表达式为$y=ax^2$（$0≤ x≤100$），
将点$(100,1000)$代入得：$1000=a×100^2$，
解得$a=\frac{1}{10}$，
因此$y=\frac{1}{10}x^2\quad(0≤ x≤100)$。
设销售单价z与年销售量x的函数表达式为$z=kx+b$（$0≤ x≤100$），
将点$(0,30)$、$(100,20)$代入得：
$\begin{cases}b=30\\100k+b=20\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{10}\\b=30\end{cases}$，
因此$z=-\frac{1}{10}x+30\quad(0≤ x≤100)$。
(2) 由毛利润=销售额-生产成本，销售额为$x·z$，可得：
$w=xz - y$，
将$y=\frac{1}{10}x^2$、$z=-\frac{1}{10}x+30$代入得：
$w=x(-\frac{1}{10}x+30)-\frac{1}{10}x^2$，
整理得：$w=-\frac{1}{5}x^2+30x\quad(0≤ x≤100)$。
该二次函数二次项系数$-\frac{1}{5}＜0$，图象开口向下，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2×(-\frac{1}{5})}=75$，且$75$在$0≤ x≤100$范围内，
因此当$x=75$时，$w$取得最大值：
$w_{\mathrm{max}}=-\frac{1}{5}×75^2+30×75=1125$（万元）$=11250000$元。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{10}x^2(0≤x≤100)$，$z=-\frac{1}{10}x+30(0≤x≤100)$；
(2) $w=-\frac{1}{5}x^2+30x(0≤x≤100)$，当年产量为75万件时所获毛利润最大，最大毛利润是11250000元。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值，利润问题计算
【点评】
本题是函数实际应用类问题，结合了一次函数与二次函数的核心知识，解题关键是先通过图象给出的点求出对应函数解析式，再根据利润关系构建二次函数模型，最后结合二次函数性质求解最值，解题时要注意自变量的实际取值范围，避免忽略范围导致最值求解错误。
【难度系数】
0.65
