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21. (9分)阅读材料:对于任意一个两位数x,如果x满足个位数字与十位数字互不相同,且都不为0,那么我们称这个两位数为“迥异数”,将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数,把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为$f(x)$,例如:$x=23$,对调个位数字与十位数字得到新的两位数32,新两位数与原两位数的和为$23+32=55$,和与11的商为$55÷11=5$,所以$f(23)=5$.
根据上述定义,回答下列问题:
(1)填空:
①两位数26,66,54中,是“迥异数”的为;
②计算$f(17)=\_\_\_\_\_\_$.
(2)如果一个“迥异数”$a$的十位数字是$m$,个位数字是$2m+3$,且$f(a)=12$,请求出“迥异数”$a$的值.
根据上述定义,回答下列问题:
(1)填空:
①两位数26,66,54中,是“迥异数”的为;
②计算$f(17)=\_\_\_\_\_\_$.
(2)如果一个“迥异数”$a$的十位数字是$m$,个位数字是$2m+3$,且$f(a)=12$,请求出“迥异数”$a$的值.
答案
解：
(1) ① 26的个位数字与十位数字互不相同且都不为0，66的个位数字与十位数字相同，54的个位数字与十位数字互不相同且都不为0，因此是“迥异数”的为$\boldsymbol{26,54}$；
② 对调17的个位数字与十位数字得到新两位数71，两数之和为$17+71=88$，$88÷11=8$，因此$f(17)=\boldsymbol{8}$。
(2) 由题意可知，“迥异数”$a$的十位数字是$m$，个位数字是$2m+3$，
则原两位数为$10m+(2m+3)$，对调后得到的新两位数为$10(2m+3)+m$。
因为$f(a)=12$，所以列方程：
$\frac{10m + (2m+3) + 10(2m+3) + m}{11}=12$
化简得：
$\frac{33m+33}{11}=12$
$3m+3=12$
解得：$m=3$。
则个位数字为$2m+3=2×3+3=9$，
所以“迥异数”$a$的值为39。
(1) ① 26的个位数字与十位数字互不相同且都不为0，66的个位数字与十位数字相同，54的个位数字与十位数字互不相同且都不为0，因此是“迥异数”的为$\boldsymbol{26,54}$；
② 对调17的个位数字与十位数字得到新两位数71，两数之和为$17+71=88$，$88÷11=8$，因此$f(17)=\boldsymbol{8}$。
(2) 由题意可知，“迥异数”$a$的十位数字是$m$，个位数字是$2m+3$，
则原两位数为$10m+(2m+3)$，对调后得到的新两位数为$10(2m+3)+m$。
因为$f(a)=12$，所以列方程：
$\frac{10m + (2m+3) + 10(2m+3) + m}{11}=12$
化简得：
$\frac{33m+33}{11}=12$
$3m+3=12$
解得：$m=3$。
则个位数字为$2m+3=2×3+3=9$，
所以“迥异数”$a$的值为39。
解析
【分析】
本题属于新定义类题型，解题核心是先准确理解“迥异数”和$f(x)$的定义，再按要求逐步计算或列方程求解。
(1)① 先明确“迥异数”的判定标准：两位数的个位数字与十位数字互不相同，且都不为0，逐个验证给出的三个数即可得到结果；
② 按照$f(x)$的计算规则：先将原数的个位和十位数字对调得到新两位数，计算两数之和，再除以11，代入17逐步计算即可；
(2) 先根据两位数的表示方法，用含$m$的代数式分别写出原数和对调后的新数，再结合$f(a)=12$的条件列出一元一次方程，解方程求出$m$的值，验证所得数字符合“迥异数”要求后即可求出$a$的值。
【解析】
(1) ① 对照“迥异数”的定义判断：
26的个位数字是6、十位数字是2，二者互不相同且都不为0，符合定义；
66的个位和十位数字都是6，二者相同，不符合定义；
54的个位数字是4、十位数字是5，二者互不相同且都不为0，符合定义；
因此是“迥异数”的为26，54。
② 计算$f(17)$：
将17的个位和十位对调得到新两位数71，两数之和为$17+71=88$，
则$f(17)=88÷11=8$。
(2) 由题意，“迥异数”$a$的十位数字是$m$，个位数字是$2m+3$，
则原两位数可表示为$10m+(2m+3)$，对调个位和十位后的新两位数可表示为$10(2m+3)+m$，
根据$f(a)=12$列方程：
$\frac{10m + (2m+3) + 10(2m+3) + m}{11}=12$
化简方程：
$\frac{33m+33}{11}=12$
$3m+3=12$
解得$m=3$，
则个位数字为$2m+3=2×3+3=9$，
因此“迥异数”$a$的值为39。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{26,54}$；②$\boldsymbol{8}$；(2)$\boldsymbol{39}$
【知识点】
新定义运算，一元一次方程的应用，两位数的代数式表示
【点评】
本题结合新定义考查基础运算和方程应用能力，难度不大，解题的关键是读懂题干给出的定义，严格按照规则进行计算或列方程求解，解题时注意验证所得结果是否符合定义要求。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义类题型，解题核心是先准确理解“迥异数”和$f(x)$的定义，再按要求逐步计算或列方程求解。
(1)① 先明确“迥异数”的判定标准：两位数的个位数字与十位数字互不相同，且都不为0，逐个验证给出的三个数即可得到结果；
② 按照$f(x)$的计算规则：先将原数的个位和十位数字对调得到新两位数，计算两数之和，再除以11，代入17逐步计算即可；
(2) 先根据两位数的表示方法，用含$m$的代数式分别写出原数和对调后的新数，再结合$f(a)=12$的条件列出一元一次方程，解方程求出$m$的值，验证所得数字符合“迥异数”要求后即可求出$a$的值。
【解析】
(1) ① 对照“迥异数”的定义判断：
26的个位数字是6、十位数字是2，二者互不相同且都不为0，符合定义；
66的个位和十位数字都是6，二者相同，不符合定义；
54的个位数字是4、十位数字是5，二者互不相同且都不为0，符合定义；
因此是“迥异数”的为26，54。
② 计算$f(17)$：
将17的个位和十位对调得到新两位数71，两数之和为$17+71=88$，
则$f(17)=88÷11=8$。
(2) 由题意，“迥异数”$a$的十位数字是$m$，个位数字是$2m+3$，
则原两位数可表示为$10m+(2m+3)$，对调个位和十位后的新两位数可表示为$10(2m+3)+m$，
根据$f(a)=12$列方程：
$\frac{10m + (2m+3) + 10(2m+3) + m}{11}=12$
化简方程：
$\frac{33m+33}{11}=12$
$3m+3=12$
解得$m=3$，
则个位数字为$2m+3=2×3+3=9$，
因此“迥异数”$a$的值为39。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{26,54}$；②$\boldsymbol{8}$；(2)$\boldsymbol{39}$
【知识点】
新定义运算，一元一次方程的应用，两位数的代数式表示
【点评】
本题结合新定义考查基础运算和方程应用能力，难度不大，解题的关键是读懂题干给出的定义，严格按照规则进行计算或列方程求解，解题时注意验证所得结果是否符合定义要求。
【难度系数】
0.7
22. (10分)如图4是一个“数值转换机”(箭头是指数进入转换机的路径,方框是对进入的数进行转换的转换机).
(1)当小明输入4,7这两个数时,则两次输出的结果依次为,;
(2)你认为当输入数等于时(写出一个即可),其输出结果为0;
(3)你认为这个“数值转换机”不可能输出数;
(4)有一次,小明操作的时候,输出的结果是2,聪明的你判断一下,小明输入的正整数是(用含自然数n的代数式表示).
(1)当小明输入4,7这两个数时,则两次输出的结果依次为,;
(2)你认为当输入数等于时(写出一个即可),其输出结果为0;
(3)你认为这个“数值转换机”不可能输出数;
(4)有一次,小明操作的时候,输出的结果是2,聪明的你判断一下,小明输入的正整数是(用含自然数n的代数式表示).
答案
解：
(1) 输入4时：
∵4＞2，
∴4 + (-5) = -1，
∵-1 ≤ 2，
∴-1的相反数是1，
∵1＞0，
∴1的倒数是1，输出1；
输入7时：
∵7＞2，
∴7 + (-5) = 2，
∵2 ≤ 2，
∴2的相反数是-2，
∵-2是非正，
∴|-2|=2，输出2；
两次输出的结果依次为$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{2}$；
(2) 若输出结果为0，取绝对值得到0，说明取相反数后为0，即进入取相反数的数为0，输入0时满足条件，故可填$\boldsymbol{0}$（答案不唯一）；
(3) 两条输出路径：正数的倒数为正数，绝对值的结果为非负数，因此所有输出结果均为非负数，不可能输出$\boldsymbol{负}$数；
(4) 输出结果为2时，走取倒数路径无法由正整数输入得到符合要求的数，走取绝对值路径时，取绝对值结果为2，说明取相反数后为-2，即进入取相反数的数为2，设输入正整数经过n次加-5后得到2，则$x-5n=2$，即输入的正整数为$\boldsymbol{5n+2}$（n为自然数）。
(1) 输入4时：
∵4＞2，
∴4 + (-5) = -1，
∵-1 ≤ 2，
∴-1的相反数是1，
∵1＞0，
∴1的倒数是1，输出1；
输入7时：
∵7＞2，
∴7 + (-5) = 2，
∵2 ≤ 2，
∴2的相反数是-2，
∵-2是非正，
∴|-2|=2，输出2；
两次输出的结果依次为$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{2}$；
(2) 若输出结果为0，取绝对值得到0，说明取相反数后为0，即进入取相反数的数为0，输入0时满足条件，故可填$\boldsymbol{0}$（答案不唯一）；
(3) 两条输出路径：正数的倒数为正数，绝对值的结果为非负数，因此所有输出结果均为非负数，不可能输出$\boldsymbol{负}$数；
(4) 输出结果为2时，走取倒数路径无法由正整数输入得到符合要求的数，走取绝对值路径时，取绝对值结果为2，说明取相反数后为-2，即进入取相反数的数为2，设输入正整数经过n次加-5后得到2，则$x-5n=2$，即输入的正整数为$\boldsymbol{5n+2}$（n为自然数）。
解析
【分析】
首先明确数值转换机的运算规则：①输入的数先判断是否大于2，若大于2，加-5后重新进入判断，直到得到的数≤2；②对≤2的数取相反数，若相反数为正，取倒数后输出；若相反数为非正，取绝对值后输出。
(1)将4、7分别按上述规则逐步计算即可得到输出结果；
(2)逆向推导：输出为0时，只能是取绝对值得到0，说明取相反数后的结果为0，即进入“取相反数”步骤的数为0，只要输入的数经过若干次加-5后得到0即可；
(3)观察输出的两种路径：正数的倒数是正数，绝对值的结果是非负数，因此所有输出结果均为非负数，不可能输出负数；
(4)输出为2时，倒推：若为倒数得到2，则对应数为$\frac{1}{2}$，不符合正整数输入的推导，因此是取绝对值得到2，即取相反数后的结果为-2，说明进入“取相反数”步骤的数为2，设输入正整数经过n次加-5后得到2，即可得到输入数的表达式。
【解析】
(1) 输入4时：
∵4＞2，
∴4 + (-5) = -1，
∵-1 ≤ 2，
∴-1的相反数是1，
∵1＞0（为正），
∴1的倒数是1，输出1；
输入7时：
∵7＞2，
∴7 + (-5) = 2，
∵2 ≤ 2，
∴2的相反数是-2，
∵-2是非正，
∴|-2|=2，输出2；
(2) 若输出结果为0，由输出路径可知，只有取绝对值能得到0，说明取相反数后的结果为0，即进入取相反数步骤的数为0，输入0时满足条件；
(3) 输出有两种路径：①相反数为正时取倒数，正数的倒数为正数；②相反数为非正时取绝对值，绝对值的结果为非负数，因此所有输出结果均为非负数，不可能输出负数；
(4) 输出结果为2时，若为取倒数得到2，则对应相反数为$\frac{1}{2}$，不符合正整数输入的运算逻辑，因此为取绝对值得到2，即取相反数后的结果为-2，说明进入取相反数步骤的数为2。设输入的正整数为x，经过n次加-5后得到2，即$x - 5n = 2$，因此$x=5n+2$（n为自然数）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{2}$；
(2) $\boldsymbol{0}$（答案不唯一）；
(3) $\boldsymbol{负}$；
(4) $\boldsymbol{5n+2}$（n为自然数）
【知识点】
流程图运算，相反数，绝对值
【点评】
本题结合数值转换机考查有理数的基本运算，既需要掌握正向按规则计算的方法，也需要学会逆向推导输出结果对应的输入值，最后一问还考查了规律总结能力，题型灵活，能很好地考查对有理数相关概念的掌握程度。
【难度系数】
0.7
首先明确数值转换机的运算规则：①输入的数先判断是否大于2，若大于2，加-5后重新进入判断，直到得到的数≤2；②对≤2的数取相反数，若相反数为正，取倒数后输出；若相反数为非正，取绝对值后输出。
(1)将4、7分别按上述规则逐步计算即可得到输出结果；
(2)逆向推导：输出为0时，只能是取绝对值得到0，说明取相反数后的结果为0，即进入“取相反数”步骤的数为0，只要输入的数经过若干次加-5后得到0即可；
(3)观察输出的两种路径：正数的倒数是正数，绝对值的结果是非负数，因此所有输出结果均为非负数，不可能输出负数；
(4)输出为2时，倒推：若为倒数得到2，则对应数为$\frac{1}{2}$，不符合正整数输入的推导，因此是取绝对值得到2，即取相反数后的结果为-2，说明进入“取相反数”步骤的数为2，设输入正整数经过n次加-5后得到2，即可得到输入数的表达式。
【解析】
(1) 输入4时：
∵4＞2，
∴4 + (-5) = -1，
∵-1 ≤ 2，
∴-1的相反数是1，
∵1＞0（为正），
∴1的倒数是1，输出1；
输入7时：
∵7＞2，
∴7 + (-5) = 2，
∵2 ≤ 2，
∴2的相反数是-2，
∵-2是非正，
∴|-2|=2，输出2；
(2) 若输出结果为0，由输出路径可知，只有取绝对值能得到0，说明取相反数后的结果为0，即进入取相反数步骤的数为0，输入0时满足条件；
(3) 输出有两种路径：①相反数为正时取倒数，正数的倒数为正数；②相反数为非正时取绝对值，绝对值的结果为非负数，因此所有输出结果均为非负数，不可能输出负数；
(4) 输出结果为2时，若为取倒数得到2，则对应相反数为$\frac{1}{2}$，不符合正整数输入的运算逻辑，因此为取绝对值得到2，即取相反数后的结果为-2，说明进入取相反数步骤的数为2。设输入的正整数为x，经过n次加-5后得到2，即$x - 5n = 2$，因此$x=5n+2$（n为自然数）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{2}$；
(2) $\boldsymbol{0}$（答案不唯一）；
(3) $\boldsymbol{负}$；
(4) $\boldsymbol{5n+2}$（n为自然数）
【知识点】
流程图运算，相反数，绝对值
【点评】
本题结合数值转换机考查有理数的基本运算，既需要掌握正向按规则计算的方法，也需要学会逆向推导输出结果对应的输入值，最后一问还考查了规律总结能力，题型灵活，能很好地考查对有理数相关概念的掌握程度。
【难度系数】
0.7
