23. (10分)【知识回顾】
七年级学习代数式求值时,遇到这样一类题:“代数式$ax - y + 6 + 3x - 5y - 1$的值与$x$的取值无关,求$a$的值.”通常的解题方法是把$x,y$看作字母,把$a$看作系数合并同类项.因为代数式的值与$x$的取值无关,所以含$x$项的系数为0,即原式$=(a + 3)x - 6y + 5$,其中$a + 3 = 0$,则$a = -3$.
(1)若关于$x$的多项式$(2x - 3)m + m^2 - 3x$的值与$x$的取值无关,求$m$的值.
【能力提升】
(2)7张如图5①的小长方形,长为$a$、宽为$b$,按照图5②的方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内,将大长方形中未被覆盖的两个部分涂上阴影,设右上角的面积为$S_1$,左下角的面积为$S_2$,当$AB$变化时,$S_1 - S_2$的值始终保持不变,求$a$与$b$的等量关系.

解：
(1) 对多项式合并同类项：
原式 = 2mx - 3m + m² - 3x
= (2m - 3)x + m² - 3m
因为多项式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，
即 $2m - 3 = 0$，
解得 $m = \frac{3}{2}$。
(2) 设AB的长度为x，
由图可知：右上角阴影$S_1$的相邻两边长分别为$a$和$x-3b$，因此$S_1 = a(x-3b)$，
左下角阴影$S_2$的相邻两边长分别为$2b$和$x-a$，因此$S_2 = 2b(x-a)$，
则：
$\begin{aligned}S_1 - S_2 &= a(x-3b) - 2b(x-a)\\&= ax - 3ab - 2bx + 2ab\\&= (a - 2b)x - ab\end{aligned}$
因为当AB变化时，$S_1 - S_2$的值始终保持不变，说明$S_1 - S_2$的取值与x无关，
所以含x项的系数为0，即$a - 2b = 0$，
可得a与b的等量关系为$a = 2b$。

【分析】
(1) 解题思路：若多项式的值与x的取值无关，说明含x的项无论x取何值都不会影响最终结果，因此合并同类项后，x项的总系数必须为0。首先先展开多项式，将含x的项合并，再令x的系数等于0，解方程即可求出m的值。
(2) 解题思路：两个阴影部分的面积都和大长方形的长AB有关，首先设AB的长度为x，结合图形分别找出S₁、S₂的长和宽，用x、a、b表示出两个面积，再计算S₁-S₂并化简；已知S₁-S₂的值不随AB变化，说明结果与x无关，因此令x项的系数为0，即可得到a和b的等量关系。
【解析】
(1) 对多项式展开并合并同类项：
原式 $= 2mx - 3m + m^2 - 3x$
$= (2m - 3)x + m^2 - 3m$
∵ 多项式的值与x的取值无关，
∴ 含x项的系数为0，
即 $2m - 3 = 0$，
解得 $m = \frac{3}{2}$。
(2) 设AB的长度为x，
由图可知：右上角阴影$S_1$的相邻两边长分别为$a$和$x-3b$，因此$S_1 = a(x-3b)$；
左下角阴影$S_2$的相邻两边长分别为$2b$和$x-a$，因此$S_2 = 2b(x-a)$。
计算$S_1 - S_2$：
$\begin{aligned}S_1 - S_2 &= a(x-3b) - 2b(x-a)\\&= ax - 3ab - 2bx + 2ab\\&= (a - 2b)x - ab\end{aligned}$
∵ 当AB变化时，$S_1 - S_2$的值始终保持不变，即$S_1 - S_2$的取值与x无关，
∴ 含x项的系数为0，即$a - 2b = 0$，
整理得$a = 2b$。
【答案】
(1) $m=\frac{3}{2}$；(2) $a=2b$
【知识点】
合并同类项，代数式取值无关的应用，列代数式
【点评】
本题核心考查“代数式值与某字母无关”类问题的处理方法，解题关键是令该字母所有项的系数和为0。第二问结合几何图形面积，需要先准确读图提取边长信息，用未知量表示面积后再化简，兼顾了整式运算能力和图形分析能力的考查。
【难度系数】
0.65