11. 如图,在平行四边形 $ABCD$ 中,$AB = 6$,$AD = 4$,$∠ B = 100°$,$AE$ 平分 $∠ DAB$ 交 $DC$ 于点 $E$。
(1)求 $∠ DAE$ 的度数:
(2)求 $CE$ 的长度。

解：
(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DAB + ∠B = 180°，
∵ ∠B = 100°，
∴ ∠DAB = 180° - 100° = 80°，
∵ AE平分∠DAB，
∴ ∠DAE = $\frac{1}{2}$∠DAB = $\frac{1}{2}$×80° = 40°。
(2) ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//DC，DC = AB = 6，
∴ ∠BAE = ∠DEA，
∵ AE平分∠DAB，
∴ ∠DAE = ∠BAE，
∴ ∠DAE = ∠DEA，
∴ DE = AD = 4，
∴ CE = DC - DE = 6 - 4 = 2。
答：(1) ∠DAE的度数为40°；(2) CE的长度为2。

【分析】
要解决这道题，需结合平行四边形的性质与角平分线的定义分析：第(1)问先利用平行四边形邻角互补求出∠DAB，再通过角平分线定义计算∠DAE；第(2)问利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线推出等腰三角形，进而求出DE，再计算CE。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，根据平行四边形邻角互补，得∠DAB + ∠B = 180°，
已知∠B = 100°，则∠DAB = 180° - 100° = 80°，
又
∵ AE平分∠DAB，根据角平分线的定义，
∴ ∠DAE = $\frac{1}{2}$∠DAB = $\frac{1}{2}$×80° = 40°。
(2)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//DC，且DC = AB = 6（平行四边形对边平行且相等），
由AB//DC，得∠BAE = ∠DEA（内错角相等），
又
∵ AE平分∠DAB，
∴ ∠DAE = ∠BAE，
因此∠DAE = ∠DEA，根据等角对等边，得DE = AD = 4，
所以CE = DC - DE = 6 - 4 = 2。
【答案】
(1) ∠DAE的度数为40°；(2) CE的长度为2。
【知识点】
平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，核心考查平行四边形邻角互补、对边平行且相等的性质，以及角平分线定义和等角对等边的知识点，解题关键是利用平行四边形的平行线性质结合角平分线构造等腰三角形，属于初中几何的常规基础题型。
【难度系数】
0.6

12. 如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,DB,CE交于点F,DF=FB,连结AF,AF//CD。
(1)求证:AD=CF;
(2)若∠EFB=90°,BF=3,EF=1,求BC的长。

解：
(1) 证明：
∵ E是AB的中点，DF=FB，
∴ EF是△ABD的中位线，
∴ EF//AD，即AD//CF，
又∵ AF//CD，
∴ 四边形AFCD是平行四边形，
∴ AD=CF。
(2)
由(1)可知EF是△ABD的中位线，
∴ AD=2EF=2×1=2，
∵ AD=CF，
∴ CF=2，
∵ ∠EFB=90°，
∴ ∠CFB=180°-∠EFB=90°，
在Rt△CFB中，由勾股定理得：
BC=√(CF² + BF²)=√(2² + 3²)=√13。

【分析】
要解决这道题，第(1)问需证明AD=CF，可通过证明四边形AFCD是平行四边形实现：已知E是AB中点，DF=FB，根据三角形中位线定理，EF是△ABD的中位线，可得EF//AD，即AD//CF；又已知AF//CD，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因此四边形AFCD是平行四边形，平行四边形对边相等即可得AD=CF。第(2)问，利用三角形中位线的长度关系，EF是△ABD的中位线，所以AD=2EF，结合第(1)问结论CF=AD求出CF的长度；再由∠EFB=90°得∠CFB=90°，在Rt△CFB中用勾股定理计算BC的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ E是AB的中点，DF=FB，
∴ EF是△ABD的中位线，
根据三角形中位线定理，得EF//AD，即AD//CF，
又
∵ AF//CD，
∴ 四边形AFCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴ AD=CF（平行四边形的对边相等）。
(2) 解：
由(1)知EF是△ABD的中位线，
∴ AD=2EF=2×1=2，
∵ AD=CF，
∴ CF=2，
∵ ∠EFB=90°，
∴ ∠CFB=180°−∠EFB=90°，
在Rt△CFB中，根据勾股定理：
BC=√(CF² + BF²)=√(2² + 3²)=√13。
【答案】
√13
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查三角形中位线、平行四边形及勾股定理的应用，解题关键是熟练运用相关定理，通过中位线得到平行关系判定平行四边形，再结合直角三角形勾股定理计算边长，属于中等难度的几何证明与计算题。
【难度系数】
0.6