1 [2024 浙江杭州期末,中]我国古代《算法统宗》里有这样一首诗:“我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.”诗中后两句的意思是如果每一间客房住 7 人,那么有 7 人无房住;如果每一间客房住 9 人,那么就空出一间客房,据此求客房和客人的数量.甲、乙、丙三人的解题思路中,正确的有()
甲:设客房有 $x$ 间,则 $7x + 7 = 9(x - 1)$;
乙:设客人有 $y$ 人,则 $\frac{y - 7}{7} = \frac{y}{9}$;
丙:设客房有 $x$ 间,客人有 $y$ 人,则 $\begin{cases}7x = y - 7,\\9(x - 1) = y.\end{cases}$

A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个

1. C 【解析】设客房有$x$间,则$7x+7=9(x-1)$,故甲正确;设客人有$y$人,则$\frac {y-7}{7}=\frac {y}{9}+1$,故乙不正确;设客房有$x$间,客人有$y$人,则$\{\begin{array}{l} 7x=y-7,\\ 9(x-1)=y,\end{array} $故丙正确.综上,正确的解题思路有甲、丙,共 2 个.故选 C.

2 [2025 浙江温州调研,较难]团体购买公园门票,票价如下表:

现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园,这两个部门人数分别为 $a$ 和 $b(a ≥ b)$.若以部门作为团体,选择两个不同的时间分别购票游览公园,则共需支付门票费用 1 290 元;若两个部门合在一起作为一个团体,同一时间购票游览公园,则需支付门票费用 990 元,那么这两个部门的人数的乘积 $ab =$.

2. 2 800 【解析】因为$50×13=650$(元),$650＜990$,所以两个部门的人数和超过 50 人,所以$a+b≥51$,且$a,b$为正整数.当$51≤a+b≤100$时,$11(a+b)=990$,所以$a+b=90$.①因为$a≥b$,所以当$1≤b≤50,1≤a≤50$时,$13(a+b)=1290$,此时$a+b$不是正整数,不符合题意;当$51≤a≤100,1≤b≤50$时,$11a+13b=1290$.②联立①②解得$\{\begin{array}{l} a=-60,\\ b=150,\end{array} $不符合题意,舍去.当$a+b＞100$时,$9(a+b)=990$,所以$a+b=110$.③因为$a≥b$,所以当$1≤b≤50,51≤a≤100$时,$11a+13b=1290$,④联立③④解得$\{\begin{array}{l} a=70,\\ b=40,\end{array} $所以$ab=40×70=2800$;当$51≤b≤100,51≤a≤100$时,$11(a+b)=1290$,此时$a+b$不是正整数,不符合题意,舍去;当$a＞100$时,$1≤b＜10$,所以$13b+9a=1290$,⑤联立③⑤解得$\{\begin{array}{l} a=35,\\ b=75,\end{array} $不符合题意,舍去.综上,$ab=2800$,故答案为 2 800.

3 [2025 江苏苏州调研,较难]今年 11 月份,某商场用 22 200 元购进长虹取暖器和格力取暖器共 400 台,已知长虹取暖器每台进价为 50 元,售价为 70 元,格力取暖器每台进价为 60 元,售价为 90 元.
甲生产厂家:格力取暖器出厂价为每台 60 元,折扣数如下表所示:

乙生产厂家:格力取暖器出厂价为每台 50 元,当出厂总金额达一定数量后还可按下表进行优惠.

(1)求 11 月份两种取暖器各购进多少台.
(2)在将 11 月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中,长虹取暖器出现 $\frac{1}{3}$ 的损坏(损坏后的产品只能为废品,不能再进行销售),而格力取暖器完好无损,商场决定对这两种取暖器的售价进行调整,使这次购进的取暖器全部售完后,商场可获利 35%,已知格力取暖器在原售价基础上提高 5%,问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元?
(3)今年重庆的天气比往年寒冷了许多,进入 12 月份,格力取暖器的需求量增大,商场在筹备“双十二”促销活动时,决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器,甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施(如表格):已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付 8 610 元,在乙生产厂家购买格力取暖器共支付 9 700 元,若将在两个生产厂家购买格力取暖器改为在乙生产厂家一次性购买,购买的格力取暖器总量不变,则商场可节约多少元?

3. 【解】(1)设长虹取暖器购进$x$台,格力取暖器购进$y$台.由题意得$\{\begin{array}{l} 50x+60y=22200,\\ x+y=400,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x=180,\\ y=220.\end{array} $答:长虹取暖器购进 180 台,格力取暖器购进 220 台.(2)设长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多$m$元.由题意得$180×(1-\frac {1}{3})(m+70)+220×90×(1+5\% )=22200×(1+35\% )$,解得$m=6.5$.答:长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多 6.5 元.(3)当在甲生产厂家购买格力取暖器 150 台时,共支付$150×60×0.9=8100$(元)$＜8610$元.设在甲生产厂家购买格力取暖器$z$台,则$8100+(z-150)×60×0.85=8610$,解得$z=160$.若在乙生产厂家支付的 9 700 元的原价小于 10 000 元,则可节约$(8610+9700)-[(160×50+9700+200)×0.98-296]=1064$(元).若在乙生产厂家支付的 9 700 元的原价大于 10 000 元,则可节约$(8610+9700)-[(160×50+\frac {9700+296}{0.98})×0.98-296]=770$(元).答:商场可节约 1 064 元或 770 元.