24. (12分)如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(a,3),B(5,b)$,且$\sqrt{a-3}+(b-2)^2=0$,点$C$从点$O$出发,以每秒3个单位长度的速度向$y$轴的负方向运动,设运动时间为$t$秒.
(1)$a=$,$b=$;
(2)如图1,连接$OB,AC$交于点$D$,则当点$C$运动多少秒时,$S_{△ ABD}=S_{△ COD}$?
(3)如图2,直线$GH$交$x$轴于点$H(6,0)$,交$y$轴于点$G(0,3)$,再将线段$GH$平移至线段$ME$,点$H$与点$E$对应,点$G$与点$M$对应,点$E$的坐标为$(0,-5)$,直线$EM$交$x$轴于点$F$.第三象限有一点$P(m,n)$,满足$S_{△ GHP}=S_{△ EFP}$,求$m$与$n$的数量关系.

24. 【点拨】本题考查非负数的性质,三角形的面积公式,梯形面积公式,平行线的性质,正确添加辅助线是解题的关键.
【解析】(1)$\because \sqrt{a-3}+(b-2)^2=0$,
$\therefore a-3=0$,$b-2=0$,$\therefore a=3$,$b=2$.
故答案为3,2.
(2)由(1)知,$A(3,3)$,$B(5,2)$.
如题图1,连接OA,过点B作$BE⊥ x$轴于点E,过点A作$AF⊥ x$轴于点F,则$BE=2$,$OE=5$,$AF=3$,$OF=3$,
$\therefore EF=OE-OF=5-3=2$,
$\therefore S_{△ AOB}=S_{梯形BEFA}+S_{△ AOF}-S_{△ BOE}$
$=\dfrac{1}{2}×(2+3)×2+\dfrac{1}{2}×3×3-\dfrac{1}{2}×2×5$
$=\dfrac{9}{2}$.
设当点C运动t秒时,$S_{△ ABD}=S_{△ COD}$,则$OC=3t(t＞0)$,
$\therefore S_{△ ABD}+S_{△ AOD}=S_{△ COD}+S_{△ AOD}$,$\therefore S_{△ AOC}=S_{△ AOB}$,
$\therefore \dfrac{1}{2}OC· OF=\dfrac{1}{2}·3t·3=\dfrac{9}{2}t=\dfrac{9}{2}$,解得$t=1$,
$\therefore$当点C运动1秒时,$S_{△ ABD}=S_{△ COD}$.
(3)设直线GH的解析式为$y=kx+c(k≠0)$,把点$H(6,0)$和点$G(0,3)$代入,得$\begin{cases}6k+c=0,\\c=3\end{cases}$,解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2},\\c=3\end{cases}$,
$\therefore$直线GH的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$.
由题意,得$ME// GH$,
$\therefore$设直线ME的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+d$,
把$E(0,-5)$代入,得$d=-5$,
$\therefore$直线ME的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x-5$.
令$y=0$,则$-\dfrac{1}{2}x-5=0$,解得$x=-10$,$\therefore F(-10,0)$.
如图,过点P作GH的平行线交x轴于点R,交y轴于点T,连接FT,HT,设点$T(0,z)$,
则$S_{△ EFP}=S_{△ TEF}=S_{△ GHP}=S_{△ GHT}$,
即$\dfrac{1}{2}TE·|x_F|=\dfrac{1}{2}GT· x_H$,即$(z+5)×10=(3-z)×6$,解得$z=-2$,$\therefore T(0,-2)$.
$\because RT// GH$,$\therefore$设直线RT的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+h$,
把$T(0,-2)$代入,得$h=-2$,
$\therefore$直线RT的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x-2$.
$\because$点$P(m,n)$在直线RT上,$\therefore n=-\dfrac{1}{2}m-2$.