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1. (教材习题变式)如图,在$\odot O$中,若$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$∠ A=50^{ \circ }$,则$∠ BOC$的度数为 （
A.$40^{ \circ }$
B.$45^{ \circ }$
C.$50^{ \circ }$
D.$60^{ \circ }$
A
）A.$40^{ \circ }$
B.$45^{ \circ }$
C.$50^{ \circ }$
D.$60^{ \circ }$
答案
1. A 解析:
∵OA=OB,
∴∠B=∠A=50°,
∴∠AOB=180°-∠A-∠B=80°.
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,
∴∠BOC=∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=40°.
∵OA=OB,
∴∠B=∠A=50°,
∴∠AOB=180°-∠A-∠B=80°.
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,
∴∠BOC=∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=40°.
解析
【分析】首先，根据圆的半径相等，OA=OB，可知△OAB是等腰三角形，结合已知∠A=50°，可求出∠AOB的度数；再利用“同圆中，等弧对应的圆心角相等”，因为C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，进而得到∠BOC是∠AOB的一半，即可算出∠BOC的度数。
【解析】
∵OA、OB是⊙O的半径，
∴OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∴∠B=∠A=50°。根据三角形内角和为180°，可得∠AOB=180°−∠A−∠B=180°−50°−50°=80°。又
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，根据同圆中等弧对应的圆心角相等，
∴∠BOC=∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×80°=40°。
【答案】A
【知识点】圆的半径性质、圆心角与弧的关系、等腰三角形性质
【点评】本题是圆的基础习题，主要考查等腰三角形性质和圆中弧与圆心角的关系，解题关键是利用半径相等得到等腰三角形，再结合弧中点的性质拆分圆心角，难度较低，属于学生应掌握的基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】
∵OA、OB是⊙O的半径，
∴OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∴∠B=∠A=50°。根据三角形内角和为180°，可得∠AOB=180°−∠A−∠B=180°−50°−50°=80°。又
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，根据同圆中等弧对应的圆心角相等，
∴∠BOC=∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×80°=40°。
【答案】A
【知识点】圆的半径性质、圆心角与弧的关系、等腰三角形性质
【点评】本题是圆的基础习题，主要考查等腰三角形性质和圆中弧与圆心角的关系，解题关键是利用半径相等得到等腰三角形，再结合弧中点的性质拆分圆心角，难度较低，属于学生应掌握的基础题型。
【难度系数】0.6
2. 在同圆或等圆中,下列说法错误的是（
A.相等的圆心角所对的弧相等
B.相等的弧所对的弦相等
C.相等的弦所对的弧相等
D.相等的弦所对的圆心角相等
C
）A.相等的圆心角所对的弧相等
B.相等的弧所对的弦相等
C.相等的弦所对的弧相等
D.相等的弦所对的圆心角相等
答案
2. C 解析:在同圆或等圆中,相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等,故C选项错误.
解析
【分析】
要判断同圆或等圆中关于圆心角、弧、弦关系的说法正误，需牢记同圆或等圆中圆心角、弧、弦的对应关系定理，逐个分析选项，重点关注弦所对弧的特殊性（一条弦对应优、劣两条弧）。
【解析】
根据同圆或等圆中圆心角、弧、弦的关系：
1. 选项A：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，说法正确；
2. 选项B：同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，说法正确；
3. 选项C：同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，因为一条弦对应优弧和劣弧两条弧，相等的弦可能对应不同类型的弧，该说法错误；
4. 选项D：同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，说法正确；
因此错误的说法是选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆的性质；圆心角、弧、弦的关系
【点评】
本题考查同圆或等圆中圆心角、弧、弦的关系，属于基础题，易错点是忽略弦对应两条弧的情况，需准确把握定理的细节。
【难度系数】
0.6
要判断同圆或等圆中关于圆心角、弧、弦关系的说法正误，需牢记同圆或等圆中圆心角、弧、弦的对应关系定理，逐个分析选项，重点关注弦所对弧的特殊性（一条弦对应优、劣两条弧）。
【解析】
根据同圆或等圆中圆心角、弧、弦的关系：
1. 选项A：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，说法正确；
2. 选项B：同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，说法正确；
3. 选项C：同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，因为一条弦对应优弧和劣弧两条弧，相等的弦可能对应不同类型的弧，该说法错误；
4. 选项D：同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，说法正确；
因此错误的说法是选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆的性质；圆心角、弧、弦的关系
【点评】
本题考查同圆或等圆中圆心角、弧、弦的关系，属于基础题，易错点是忽略弦对应两条弧的情况，需准确把握定理的细节。
【难度系数】
0.6
3. 如图，$BD$是$\odot O$的直径，$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点. 若$∠ AOC=70^{\circ }$，则$∠ AOD$的度数为
40°
.答案
3. 40°
解析
【分析】
本题考查圆中圆心角与弧的关系，解题思路：先利用弧中点的性质得到相等的圆心角，求出∠AOB的度数；再根据BD是直径，结合平角的定义计算∠AOD的度数。
【解析】
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据“等弧所对的圆心角相等”，可得$∠ BOC = ∠ AOC = 70°$，
∴$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC = 70° + 70° = 140°$。
又
∵BD是$\odot O$的直径，$∠ AOD$与$∠ AOB$组成平角，即$∠ AOD + ∠ AOB = 180°$，
∴$∠ AOD = 180° - ∠ AOB = 180° - 140° = 40°$。
【答案】
40°
【知识点】
圆心角与弧的关系；平角的定义
【点评】
本题是圆的基础角度计算题，核心考查圆心角与弧的对应关系，解题关键是利用弧中点得到相等的圆心角，再结合平角性质计算，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.3
本题考查圆中圆心角与弧的关系，解题思路：先利用弧中点的性质得到相等的圆心角，求出∠AOB的度数；再根据BD是直径，结合平角的定义计算∠AOD的度数。
【解析】
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据“等弧所对的圆心角相等”，可得$∠ BOC = ∠ AOC = 70°$，
∴$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC = 70° + 70° = 140°$。
又
∵BD是$\odot O$的直径，$∠ AOD$与$∠ AOB$组成平角，即$∠ AOD + ∠ AOB = 180°$，
∴$∠ AOD = 180° - ∠ AOB = 180° - 140° = 40°$。
【答案】
40°
【知识点】
圆心角与弧的关系；平角的定义
【点评】
本题是圆的基础角度计算题，核心考查圆心角与弧的对应关系，解题关键是利用弧中点得到相等的圆心角，再结合平角性质计算，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.3
4. 若弦 AB 把圆分成$1:3$两部分,则弦 AB 所对的劣弧的度数为
90°
,弦 AB 所对的优弧的度数为270°
.答案
4. 90° 270° 解析:劣弧的度数为$360°×\frac{1}{1+3}=90°$,优弧的度数为$360°×\frac{3}{1+3}=270°$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确整个圆的度数为360°，弦AB分成的两部分弧的度数之和等于圆的总度数，且劣弧是两部分中度数较小的弧，优弧是度数较大的弧，通过比例分配即可计算出结果。
【解析】
整个圆的度数为360°，弦AB把圆分成的弧的度数比为1:3，总份数为1+3=4份。
劣弧对应1份，其度数为：$360°×\frac{1}{1+3}=90°$；
优弧对应3份，其度数为：$360°×\frac{3}{1+3}=270°$。
【答案】
90°，270°
【知识点】
圆的弧的度数、比例分配
【点评】
本题考查圆的弧的度数的基础计算，核心是利用“弧的度数和为360°”结合比例分配求解，属于基础题型，学生易掌握。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需明确整个圆的度数为360°，弦AB分成的两部分弧的度数之和等于圆的总度数，且劣弧是两部分中度数较小的弧，优弧是度数较大的弧，通过比例分配即可计算出结果。
【解析】
整个圆的度数为360°，弦AB把圆分成的弧的度数比为1:3，总份数为1+3=4份。
劣弧对应1份，其度数为：$360°×\frac{1}{1+3}=90°$；
优弧对应3份，其度数为：$360°×\frac{3}{1+3}=270°$。
【答案】
90°，270°
【知识点】
圆的弧的度数、比例分配
【点评】
本题考查圆的弧的度数的基础计算，核心是利用“弧的度数和为360°”结合比例分配求解，属于基础题型，学生易掌握。
【难度系数】
0.8
5. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,$∠ COB=40°$,则$∠ A$的度数为
55°
.答案
5. 55° 解析:
∵AB是⊙O的直径,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴∠AOD=∠DOC.
∵∠AOD+∠DOC+∠COB=180°,∠COB=40°,
∴∠AOD=$\frac{1}{2}×(180°-∠COB)=70°$.又
∵OA=OD,
∴∠A=∠D=$\frac{1}{2}×(180°-∠AOD)=55°$.
∵AB是⊙O的直径,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴∠AOD=∠DOC.
∵∠AOD+∠DOC+∠COB=180°,∠COB=40°,
∴∠AOD=$\frac{1}{2}×(180°-∠COB)=70°$.又
∵OA=OD,
∴∠A=∠D=$\frac{1}{2}×(180°-∠AOD)=55°$.
解析
【分析】
要计算∠A的度数，首先利用“等弧所对的圆心角相等”，结合AB是直径（平角为180°）求出圆心角∠AOD的度数；再根据OA、OD都是圆的半径，得到△AOD为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，即可求出∠A。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOD + ∠DOC + ∠COB = 180°（平角的定义），
又
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠AOD = ∠DOC（等弧所对的圆心角相等），
已知∠COB=40°，
∴∠AOD = $\frac{1}{2}×(180° - ∠COB)$ = $\frac{1}{2}×(180° - 40°)$ = 70°，
∵OA = OD（⊙O的半径相等），
∴△AOD是等腰三角形，
∴∠A = ∠ADO（等腰三角形两底角相等），
根据三角形内角和为180°，
∠A = $\frac{1}{2}×(180° - ∠AOD)$ = $\frac{1}{2}×(180° - 70°)$ = 55°。
【答案】
55°
【知识点】
圆心角与弧的关系；等腰三角形的性质
【点评】
本题考查圆的基本性质与等腰三角形性质的结合应用，核心是利用等弧对等圆心角求出关键圆心角，再结合等腰三角形内角和计算角度，属于初中圆章节的基础题型，需熟练掌握相关性质。
【难度系数】
0.5
要计算∠A的度数，首先利用“等弧所对的圆心角相等”，结合AB是直径（平角为180°）求出圆心角∠AOD的度数；再根据OA、OD都是圆的半径，得到△AOD为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，即可求出∠A。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOD + ∠DOC + ∠COB = 180°（平角的定义），
又
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠AOD = ∠DOC（等弧所对的圆心角相等），
已知∠COB=40°，
∴∠AOD = $\frac{1}{2}×(180° - ∠COB)$ = $\frac{1}{2}×(180° - 40°)$ = 70°，
∵OA = OD（⊙O的半径相等），
∴△AOD是等腰三角形，
∴∠A = ∠ADO（等腰三角形两底角相等），
根据三角形内角和为180°，
∠A = $\frac{1}{2}×(180° - ∠AOD)$ = $\frac{1}{2}×(180° - 70°)$ = 55°。
【答案】
55°
【知识点】
圆心角与弧的关系；等腰三角形的性质
【点评】
本题考查圆的基本性质与等腰三角形性质的结合应用，核心是利用等弧对等圆心角求出关键圆心角，再结合等腰三角形内角和计算角度，属于初中圆章节的基础题型，需熟练掌握相关性质。
【难度系数】
0.5
6. 如图，在 $\mathrm{Rt}△ AOB$ 中，$∠ AOB=90°$，$∠ A=30°$，以点 $O$ 为圆心、$OB$ 的长为半径的 $\odot O$ 分别交 $AO$、$AB$ 于点 $C$、$D$，则 $\overset{\frown}{BD}$ 的度数为
60°
，$\overset{\frown}{CD}$ 的度数为30°
.答案
6. 60° 30° 解析:连接OD.
∵在Rt△AOB中,∠AOB=90°,∠A=30°,
∴∠OBA=60°.又
∵OD=OB,
∴△OBD是等边三角形,
∴∠DOB=60°,
∴∠COD=∠AOB-∠DOB=30°.
∴$\overset{\frown}{BD}$的度数为60°,$\overset{\frown}{CD}$的度数为30°.
∵在Rt△AOB中,∠AOB=90°,∠A=30°,
∴∠OBA=60°.又
∵OD=OB,
∴△OBD是等边三角形,
∴∠DOB=60°,
∴∠COD=∠AOB-∠DOB=30°.
∴$\overset{\frown}{BD}$的度数为60°,$\overset{\frown}{CD}$的度数为30°.
解析
【分析】
要求弧的度数，需利用“弧的度数等于其所对圆心角的度数”这一核心性质，因此解题关键是找到$\overset{\frown}{BD}$和$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠ DOB$和$∠ COD$。先连接半径$OD$，结合直角三角形的性质求出相关角度，再利用等边三角形的判定得到$∠ DOB$，最后通过$∠ AOB$的度数计算出$∠ COD$，即可得出两段弧的度数。
【解析】
1. 连接$OD$。
2. 在$\mathrm{Rt}△AOB$中，$∠ AOB=90°$，$∠ A=30°$，根据直角三角形两锐角互余，得$∠ OBA=90° - 30°=60°$。
3. 因为$OD$、$OB$都是$\odot O$的半径，所以$OD=OB$，结合$∠ OBD=60°$，可判定$△ OBD$是等边三角形，因此$∠ DOB=60°$。根据“弧的度数等于其所对圆心角的度数”，可知$\overset{\frown}{BD}$的度数为$60°$。
4. 已知$∠ AOB=90°$，则$∠ COD=∠ AOB - ∠ DOB=90° - 60°=30°$，同理可得$\overset{\frown}{CD}$的度数为$30°$。
【答案】
$60°$，$30°$
【知识点】
弧的度数、等边三角形的判定、直角三角形的性质
【点评】
本题结合直角三角形与圆的性质，利用弧与圆心角的对应关系解题，核心是通过等边三角形求出圆心角，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.5
要求弧的度数，需利用“弧的度数等于其所对圆心角的度数”这一核心性质，因此解题关键是找到$\overset{\frown}{BD}$和$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠ DOB$和$∠ COD$。先连接半径$OD$，结合直角三角形的性质求出相关角度，再利用等边三角形的判定得到$∠ DOB$，最后通过$∠ AOB$的度数计算出$∠ COD$，即可得出两段弧的度数。
【解析】
1. 连接$OD$。
2. 在$\mathrm{Rt}△AOB$中，$∠ AOB=90°$，$∠ A=30°$，根据直角三角形两锐角互余，得$∠ OBA=90° - 30°=60°$。
3. 因为$OD$、$OB$都是$\odot O$的半径，所以$OD=OB$，结合$∠ OBD=60°$，可判定$△ OBD$是等边三角形，因此$∠ DOB=60°$。根据“弧的度数等于其所对圆心角的度数”，可知$\overset{\frown}{BD}$的度数为$60°$。
4. 已知$∠ AOB=90°$，则$∠ COD=∠ AOB - ∠ DOB=90° - 60°=30°$，同理可得$\overset{\frown}{CD}$的度数为$30°$。
【答案】
$60°$，$30°$
【知识点】
弧的度数、等边三角形的判定、直角三角形的性质
【点评】
本题结合直角三角形与圆的性质，利用弧与圆心角的对应关系解题，核心是通过等边三角形求出圆心角，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.5
7. 如图,在$\odot O$中,弦$AB$与$CD$相交于点$E$,$AB=CD$,连接$AD$、$BC$.
(1)求证:$AD=BC$.
(2)求证:$AE=CE$.
(1)求证:$AD=BC$.
(2)求证:$AE=CE$.
答案
7. 证明:(1)
∵AB=CD,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,
∴$\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{AC}$,即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$,
∴AD=BC.
(2)连接AC.
∵AD=CB,CD=AB,AC=CA,
∴△ADC≌△CBA(SSS),
∴∠ACD=∠CAB,
∴AE=CE.
∵AB=CD,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,
∴$\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{AC}$,即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$,
∴AD=BC.
(2)连接AC.
∵AD=CB,CD=AB,AC=CA,
∴△ADC≌△CBA(SSS),
∴∠ACD=∠CAB,
∴AE=CE.
解析
【分析】
要证明AD=BC，需利用同圆中弦与弧的对应关系：同圆里相等的弦所对的弧相等，通过弧的差运算得到弧AD与弧BC相等，进而推出弦AD=BC；要证明AE=CE，可通过连接AC，证明△ADC和△CBA全等，得到对应角相等，再依据“等角对等边”得出AE=CE。
【解析】
(1) 证明：在$\odot O$中，
∵ $AB=CD$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$（同圆中，相等的弦所对的弧相等），
∴ $\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{AC}$，即 $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $AD=BC$（同圆中，相等的弧所对的弦相等）。
(2) 证明：连接$AC$，
在$△ ADC$和$△ CBA$中，
$\{\begin{array}{l}AD=CB \\CD=AB \\AC=CA\end{array} $
∴ $△ ADC ≌ △ CBA$（SSS），
∴ $∠ ACD=∠ CAB$，
∴ $AE=CE$（等角对等边）。
【答案】
(1) $AD=BC$，证明成立；(2) $AE=CE$，证明成立。
【知识点】
同圆弦弧关系，全等三角形判定，等腰三角形判定
【点评】
本题是圆与三角形的基础综合证明题，核心利用弦与弧的对应关系转化线段，再通过全等三角形推导角的关系，进而得到线段相等，解题思路清晰，属于常规几何证明题型。
【难度系数】
0.6
要证明AD=BC，需利用同圆中弦与弧的对应关系：同圆里相等的弦所对的弧相等，通过弧的差运算得到弧AD与弧BC相等，进而推出弦AD=BC；要证明AE=CE，可通过连接AC，证明△ADC和△CBA全等，得到对应角相等，再依据“等角对等边”得出AE=CE。
【解析】
(1) 证明：在$\odot O$中，
∵ $AB=CD$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$（同圆中，相等的弦所对的弧相等），
∴ $\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{AC}$，即 $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $AD=BC$（同圆中，相等的弧所对的弦相等）。
(2) 证明：连接$AC$，
在$△ ADC$和$△ CBA$中，
$\{\begin{array}{l}AD=CB \\CD=AB \\AC=CA\end{array} $
∴ $△ ADC ≌ △ CBA$（SSS），
∴ $∠ ACD=∠ CAB$，
∴ $AE=CE$（等角对等边）。
【答案】
(1) $AD=BC$，证明成立；(2) $AE=CE$，证明成立。
【知识点】
同圆弦弧关系，全等三角形判定，等腰三角形判定
【点评】
本题是圆与三角形的基础综合证明题，核心利用弦与弧的对应关系转化线段，再通过全等三角形推导角的关系，进而得到线段相等，解题思路清晰，属于常规几何证明题型。
【难度系数】
0.6
8. 在半径为 1 的圆中,长度等于$\sqrt{2}$的弦所对的弧的度数为 （
A.$90^{\circ }$
B.$145^{\circ }$
C.$90^{\circ }$或$270^{\circ }$
D.$270^{\circ }$或$145^{\circ }$
C
）A.$90^{\circ }$
B.$145^{\circ }$
C.$90^{\circ }$或$270^{\circ }$
D.$270^{\circ }$或$145^{\circ }$
答案
8. C 解析:设弦AB=$\sqrt{2}$,圆心为O.
∵在△AOB中,$OA^2+OB^2=AB^2$,
∴∠AOB=90°,
∴弦AB所对的劣弧度数为90°,所对的优弧度数为270°.
∵在△AOB中,$OA^2+OB^2=AB^2$,
∴∠AOB=90°,
∴弦AB所对的劣弧度数为90°,所对的优弧度数为270°.
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确：圆中一条弦所对的弧有劣弧和优弧两种，需分类讨论。解题步骤为：1. 连接圆心与弦的两个端点，构造三角形；2. 利用勾股定理逆定理判断三角形形状，求出圆心角；3. 根据“弧的度数等于其所对圆心角的度数”，分别计算劣弧和优弧的度数，即可得到结果。
【解析】
设弦AB的长度为$\sqrt{2}$，圆心为O，则OA=OB=圆的半径=1。
在△AOB中：
$OA^2 + OB^2 = 1^2 + 1^2 = 2$，
$AB^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$，
因此$OA^2 + OB^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理，△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°。
根据弧的度数与圆心角的关系：弧的度数等于其所对圆心角的度数，弦AB所对的劣弧度数为90°；
整个圆的度数为360°，因此弦AB所对的优弧度数为$360° - 90° = 270°$。
综上，弦所对的弧的度数为90°或270°，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆的弧的度数；勾股定理逆定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题考查圆中弦所对弧的度数计算，核心是注意一条弦对应两条弧（劣弧和优弧），需分类讨论避免漏解，属于基础题，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需明确：圆中一条弦所对的弧有劣弧和优弧两种，需分类讨论。解题步骤为：1. 连接圆心与弦的两个端点，构造三角形；2. 利用勾股定理逆定理判断三角形形状，求出圆心角；3. 根据“弧的度数等于其所对圆心角的度数”，分别计算劣弧和优弧的度数，即可得到结果。
【解析】
设弦AB的长度为$\sqrt{2}$，圆心为O，则OA=OB=圆的半径=1。
在△AOB中：
$OA^2 + OB^2 = 1^2 + 1^2 = 2$，
$AB^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$，
因此$OA^2 + OB^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理，△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°。
根据弧的度数与圆心角的关系：弧的度数等于其所对圆心角的度数，弦AB所对的劣弧度数为90°；
整个圆的度数为360°，因此弦AB所对的优弧度数为$360° - 90° = 270°$。
综上，弦所对的弧的度数为90°或270°，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆的弧的度数；勾股定理逆定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题考查圆中弦所对弧的度数计算，核心是注意一条弦对应两条弧（劣弧和优弧），需分类讨论避免漏解，属于基础题，难度适中。
【难度系数】
0.5
9. 已知$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$,则弦$AB$和$2CD$的大小关系是（
A.$AB＞2CD$
B.$AB=2CD$
C.$AB＜2CD$
D.不能确定
C
）A.$AB＞2CD$
B.$AB=2CD$
C.$AB＜2CD$
D.不能确定
答案
9. C 解析:如图,取$\overset{\frown}{AB}$的中点E,则$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$.
∵$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$,
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$,
∴AE=BE=CD.
∵AB＜AE+BE,
∴AB＜2CD.
解析
【分析】要比较弦AB和2CD的大小，已知弧AB是弧CD的2倍，可利用“同圆中等弧对等弦”的性质，先将弧AB二等分，取弧AB的中点E，使分成的两段弧都等于弧CD，对应弦也等于CD，再结合三角形三边关系即可推导结论。
【解析】如图，取$\overset{\frown}{AB}$的中点E，连接AE、BE。
∵E是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$。
又
∵$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$。
根据“同圆中，等弧对等弦”，可得$AE=BE=CD$。
在$△ ABE$中，由三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，得$AB ＜ AE + BE$。
代入$AE=BE=CD$，得$AB ＜ CD + CD = 2CD$。
【答案】C![]()
【知识点】圆的弧弦关系、三角形三边关系
【点评】本题通过转化思想，将弧的倍数关系转化为弦的等量关系，结合三角形三边性质比较线段长度，是圆中弦长比较的典型题型，需掌握弧与弦的对应关系及三角形三边定理的应用。
【难度系数】0.6
【解析】如图，取$\overset{\frown}{AB}$的中点E，连接AE、BE。
∵E是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$。
又
∵$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$。
根据“同圆中，等弧对等弦”，可得$AE=BE=CD$。
在$△ ABE$中，由三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，得$AB ＜ AE + BE$。
代入$AE=BE=CD$，得$AB ＜ CD + CD = 2CD$。
【答案】C
【知识点】圆的弧弦关系、三角形三边关系
【点评】本题通过转化思想，将弧的倍数关系转化为弦的等量关系，结合三角形三边性质比较线段长度，是圆中弦长比较的典型题型，需掌握弧与弦的对应关系及三角形三边定理的应用。
【难度系数】0.6
