10. 如图,点 C、D 在以 AB 为直径的半圆 O 上,且 $OD// BC$. 若$\overset{\frown}{AD}$的度数为 $43°$,则$\overset{\frown}{BC}$的度数为.

10. 94° 解析:如图,连接OC.
∵$\overset{\frown}{AD}$的度数为43°,
∴∠AOD=43°.
∵OD//BC,
∴∠ABC=∠AOD=43°.
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠ABC=43°,
∴∠BOC=180°-43°-43°=94°,
∴$\overset{\frown}{BC}$的度数为94°.

【分析】要计算$\overset{\frown}{BC}$的度数，根据“弧的度数等于它所对圆心角的度数”，需先求$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角$∠ BOC$的度数。已知$\overset{\frown}{AD}$的度数为$43°$，结合$OD// BC$的条件，利用平行线的性质和等腰三角形的性质，逐步推导$∠ BOC$的度数即可。
【解析】连接$OC$。
因为$\overset{\frown}{AD}$的度数为$43°$，所以它所对的圆心角$∠ AOD = 43°$。
又因为$OD// BC$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ ABC = ∠ AOD = 43°$。
由于$OB = OC$（都是半圆$O$的半径），所以$△ OBC$是等腰三角形，因此$∠ OCB = ∠ ABC = 43°$。
在$△ OBC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ BOC = 180° - ∠ ABC - ∠ OCB = 180° - 43° - 43° = 94°$。
因为弧的度数等于它所对圆心角的度数，所以$\overset{\frown}{BC}$的度数为$94°$。
【答案】94°
【知识点】弧与圆心角关系、平行线性质、等腰三角形性质
【点评】本题结合圆的性质、平行线性质和等腰三角形性质求解，关键是利用平行线的同位角相等转化角度，再通过等腰三角形性质计算圆心角，属于基础几何综合题。
【难度系数】0.6

11. 如图,在扇形$OAB$中,$∠ AOB=110^{ \circ }$,将扇形$OAB$沿过点$B$的直线折叠,点$O$恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点$D$处,折痕交$OA$于点$C$,则$\overset{\frown}{AD}$的度数为.

11. 50° 解析:如图,连接OD.由折叠的性质,得BD=BO.又
∵OB=OD,
∴BD=BO=DO,
∴△OBD为等边三角形,
∴∠DOB=60°,
∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=50°,即$\overset{\frown}{AD}$的度数为50°.

【分析】
要解决这个问题，需结合折叠的性质和圆的基本性质推导：首先连接OD，根据折叠性质得对应边相等，结合扇形半径相等推出等边三角形，进而求出圆心角，再利用弧的度数等于其所对圆心角的度数，即可得到$\overset{\frown}{AD}$的度数。
【解析】
解：连接OD，
由折叠的性质可知，折叠前后对应边相等，因此$BD=BO$。
∵在扇形$OAB$中，$OB$和$OD$都是扇形的半径，
∴$OB=OD$，
∴$BD=BO=OD$，即$△ OBD$的三边相等，
∴$△ OBD$为等边三角形，
∴$∠ DOB=60°$。
已知$∠ AOB=110°$，
∴$∠ AOD=∠ AOB - ∠ DOB=110° - 60°=50°$，
又因为弧的度数等于它所对圆心角的度数，
∴$\overset{\frown}{AD}$的度数为$50°$。
【答案】
50°
【知识点】
折叠的性质、等边三角形的判定与性质、弧的度数与圆心角的关系
【点评】
本题是圆与折叠结合的基础题，核心是利用折叠性质和圆的半径关系推导等边三角形，进而求出圆心角，重点考查学生对折叠性质和圆相关概念的掌握，难度适中。
【难度系数】
0.5

12. 如图,A 是直径 MN 上方半圆上的一个三等分点(靠近点 N 这一侧),B 是$\overset{\frown}{AN}$的中点,P 是直径 MN 上的一个动点.若$\odot O$的半径为 3,则$PA+PB$的最小值为.

12. $3\sqrt{2}$ 解析:如图,作点B关于MN的对称点B',连接OA、OB、OB'、AB',其中AB'交MN于点P',连接P'B.
∵P'B=P'B',
∴P'A+P'B=P'A+P'B'=AB',此时P'A+P'B的值即为PA+PB的最小值.
∵A是直径MN上方半圆上的一个三等分点,
∴∠AON=60°.又
∵B是$\overset{\frown}{AN}$的中点,
∴∠B'ON=∠BON=$\frac{1}{2}$∠AON=30°,
∴∠AOB'=∠AON+∠B'ON=90°.又
∵OA=OB',
∴△AOB'为等腰直角三角形,
∴AB'=$\sqrt{2}OA=3\sqrt{2}$,即PA+PB的最小值为$3\sqrt{2}$.

【分析】
求PA+PB的最小值属于“将军饮马”类最短路径问题，核心思路是利用对称变换将折线转化为直线段。具体步骤：作点B关于直径MN的对称点B'，根据对称性质PB=PB'，将PA+PB转化为PA+PB'，当A、P、B'三点共线时，PA+PB'最小，即最小值为线段AB'的长度，再结合圆的圆心角性质和勾股定理计算AB'即可。
【解析】
1. 作点B关于直径MN的对称点B'，连接OA、OB、OB'、AB'，AB'与MN交于点P'，连接P'B。
2. 由对称性质得：PB=PB'，因此PA+PB=PA+PB'，当A、P、B'三点共线时，PA+PB'取得最小值，即PA+PB的最小值为AB'的长度。
3. 计算圆心角：因为A是直径MN上方半圆靠近N的三等分点，所以∠AON=60°；又B是$\overset{\frown}{AN}$的中点，根据对称性质，∠B'ON=∠BON=$\frac{1}{2}$∠AON=30°，故∠AOB'=∠AON+∠B'ON=60°+30°=90°。
4. 已知⊙O半径为3，所以OA=OB'=3，△AOB'为等腰直角三角形，由勾股定理得AB'=$\sqrt{OA^2+OB'^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，即PA+PB的最小值为$3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
圆的圆心角、对称变换、勾股定理
【点评】
本题结合圆的基本性质与最短路径模型，通过对称转化线段，利用圆心角确定三角形形状，考查几何变换和圆的性质的应用，是典型的几何综合题，需要学生掌握将军饮马模型的解题思路。
【难度系数】
0.4

13. 如图，$∠ AOB=90°$，$C$、$D$ 是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，连接 $AB$ 分别交 $OC$、$OD$ 于点 $E$、$F$.
(1)求$∠ AEC$的度数.
(2)求证:$AE=BF=CD$.

13. (1)如图,连接AC、DB.
∵C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$,AC=CD=DB.又
∵∠AOB=90°,
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=30°.
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=45°,
∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=30°+45°=75°.
(2)证明:
∵∠AOC=∠COD=∠DOB=30°,OA=OC,
∴∠ACO=$\frac{1}{2}(180°-∠AOC)=75°$,
∴∠AEC=∠ACO,
∴AE=AC,同理可得BF=DB.又由(1)知,AC=CD=DB,
∴AE=BF=CD.

【分析】
要解决本题，首先利用弧的三等分点性质确定各圆心角的度数，再结合等腰直角三角形的性质求出相关角度，最后利用三角形外角性质和等腰三角形的判定完成解题。(1) 先由弧三等分得∠AOC=30°，结合OA=OB得△OAB为等腰直角三角形，求出∠OAB=45°，再利用三角形外角性质计算∠AEC；(2) 先证AE=AC、BF=DB，再由弧三等分得AC=CD=DB，从而证明结论。
【解析】
(1) 连接AC、DB。
∵C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=$\frac{1}{3}∠AOB=\frac{1}{3}×90°=30°$。
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=∠OBA=45°。
∵∠AEC是△AOE的外角，
∴∠AEC=∠AOC + ∠OAB=30°+45°=75°。
(2) 证明：
∵OA=OC，∠AOC=30°，
∴△OAC为等腰三角形，∠ACO=$\frac{1}{2}(180°-∠AOC)=\frac{1}{2}×150°=75°$。
由(1)知∠AEC=75°，
∴∠AEC=∠ACO，
∴AE=AC。
同理，OB=OD，∠DOB=30°，可证∠BFO=∠BDF，故BF=DB。
又
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴AC=CD=DB，
∴AE=BF=CD。
【答案】
(1) $∠ AEC=75°$；(2) 证明成立，即$AE=BF=CD$。
【知识点】
弧与圆心角、等腰三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题综合考查圆的弧与圆心角的关系，以及等腰三角形的判定与性质，是圆和三角形知识结合的典型题目，需要通过角度推导完成证明，难度适中。
【难度系数】
0.5

14. 如图,以$□ ABCD$的顶点$A$为圆心、$AB$的长为半径作圆,分别交$AD$、$BC$于点$E$、$F$,延长$BA$交$\odot A$于点$G$.
(1)求证:$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$.
(2)若$\overset{\frown}{BF}$的度数为$70°$,求$∠ C$的度数.

14. (1)证明:如图,连接AF.由题意得AF=AB,
∴∠ABF=∠AFB.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD//BC,
∴∠DAF=∠AFB,∠GAD=∠ABF,
∴∠GAD=∠DAF,
∴$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$.
(2)
∵$\overset{\frown}{BF}$的度数为70°,
∴∠BAF=70°.
∵AB=AF,
∴∠B=∠AFB=$\frac{1}{2}(180°-∠BAF)=55°$.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB//CD,
∴∠C=180°-∠B=125°.

【分析】要证明$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$，需利用“同圆中相等的圆心角所对的弧相等”，转化为证明圆心角$∠ GAD=∠ DAF$；结合平行四边形对边平行的性质，以及圆的半径相等得到的等腰三角形性质，通过角的等量代换即可完成证明。对于求$∠ C$，先由弧的度数等于对应圆心角的度数得到$∠ BAF$，再利用等腰三角形性质算出$∠ B$，最后根据平行四边形邻角互补求出$∠ C$。
【解析】
(1) 证明：连接AF。
∵ AF=AB（$\odot A$的半径相等），
∴ $∠ ABF=∠ AFB$（等腰三角形两底角相等）。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$（平行四边形对边平行），
∴ $∠ DAF=∠ AFB$（两直线平行，内错角相等），$∠ GAD=∠ ABF$（两直线平行，同位角相等），
∴ $∠ GAD=∠ DAF$（等量代换），
∴ $\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。
(2) 解：
∵ $\overset{\frown}{BF}$的度数为$70°$，
∴ 圆心角$∠ BAF=70°$（弧的度数等于其对应圆心角的度数）。
∵ AB=AF，
∴ $∠ B=∠ AFB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAF)=\frac{1}{2}(180°-70°)=55°$（等腰三角形内角和）。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $∠ C+∠ B=180°$（平行四边形邻角互补），
∴ $∠ C=180°-55°=125°$。
【答案】14. (1) 证明见上述解析；(2) $∠ C=125°$
【知识点】平行四边形性质，圆的弧与圆心角，等腰三角形性质
【点评】本题是平行四边形与圆的综合题，核心考查平行四边形的性质、圆中弧与圆心角的对应关系，以及等腰三角形的性质，需通过角的等量代换推导，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】0.6