8. 已知$M(1,2)$、$N(3,-3)$、$P(x,y)$三点可以确定一个圆，则下列点$P$的坐标不满足要求的是（）

A.$(3,5)$
B.$(-3,5)$
C.$(-1,7)$
D.$(1,-2)$

8. C 解析:设直线MN的函数表达式为y=kx+b,则有$\begin{cases}k+b=2,\\3k+b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{5}{2},\\b=\frac{9}{2}.\end{cases}$
∴直线MN的函数表达式为$y=-\frac{5}{2}x+\frac{9}{2}$.当x=3时,y=-3≠5;当x=-3时,y=12≠5;当x=-1时,y=7;当x=1时,y=2≠-2.
∴点(-1,7)在直线MN上,即该点不满足要求.

【分析】
要判断三点能否确定一个圆，核心是判断这三点是否共线：若三点共线，则无法确定一个圆；若不共线，则可以确定。解题时先求出直线MN的函数表达式，再将各选项中点的横坐标代入表达式计算纵坐标，与选项给出的纵坐标对比，若相等则该点在直线MN上（三点共线，不满足要求），反之则满足要求。
【解析】
设直线MN的函数表达式为$y = kx + b$，将$M(1,2)$、$N(3,-3)$代入得方程组：
$\begin{cases}k + b = 2 \\3k + b = -3\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$b$，得$2k = -5$，解得$k = -\frac{5}{2}$；将$k = -\frac{5}{2}$代入$k + b = 2$，得$-\frac{5}{2} + b = 2$，解得$b = \frac{9}{2}$。
因此直线MN的函数表达式为$y = -\frac{5}{2}x + \frac{9}{2}$。
分别验证各选项：
选项A：$x=3$时，$y = -\frac{5}{2}×3 + \frac{9}{2} = -3≠5$，点不在直线上，满足要求；
选项B：$x=-3$时，$y = -\frac{5}{2}×(-3) + \frac{9}{2} = 12≠5$，点不在直线上，满足要求；
选项C：$x=-1$时，$y = -\frac{5}{2}×(-1) + \frac{9}{2} = 7$，与选项中$y=7$相等，点在直线上，三点共线，不满足要求；
选项D：$x=1$时，$y = -\frac{5}{2}×1 + \frac{9}{2} = 2≠-2$，点不在直线上，满足要求。
【答案】
C
【知识点】
一次函数解析式、三点共线判断、确定圆的条件
【点评】
本题将几何中“三点确定圆”的条件转化为代数中“点是否在直线上”的判断，考查数形结合思想，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

9. 如图,在每个小正方形边长都为 1 的 $5 × 5$ 网格中,有四个点 A、B、C、D,以其中任意三点为顶点的三角形的外接圆半径长是.

9. $\sqrt{5}$ 解析:如图,连接BC、CD,分别作BC、CD的垂直平分线,两直线相交于点O,则点O为△BCD的外接圆的圆心,OB为外接圆的半径.由勾股定理得$OB=\sqrt{BE^2+OE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$.

【分析】要确定三角形的外接圆，需先找到外接圆的圆心（三角形三边垂直平分线的交点），再计算圆心到任意顶点的距离（即外接圆半径）。本题选取三点B、C、D，通过作BC和CD的垂直平分线确定圆心O，再用勾股定理计算半径。
【解析】设每个小正方形边长为1，建立平面直角坐标系，可得各点坐标：B(5,4)，C(6,3)，D(3,0)。作线段BC的垂直平分线和线段CD的垂直平分线，两线交于点O，点O即为△BCD的外接圆圆心。由图可知O的坐标为(4,2)，根据勾股定理，OB=√[(5-4)² + (4-2)²] = √(1² + 2²) = √5。由于任意三点构成的三角形外接圆半径相同，故所求半径为√5。
【答案】√5
【知识点】三角形外接圆、垂直平分线、勾股定理
【点评】本题考查三角形外接圆的确定方法，核心是利用垂直平分线找圆心，结合勾股定理计算半径，需掌握网格中坐标法的应用，难度适中。
【难度系数】0.5

10. 如图,$O$是$△ ABC$的外心,$OD⊥ AB$,$OE⊥ AC$,垂足分别为$D$、$E$,$M$、$N$分别是$OD$、$OE$的中点,连接$MN$.若$MN=1$,则$BC=$.

10. 4 解析:如图,连接DE.
∵M、N分别是OD、OE的中点,
∴$MN=\frac{1}{2}DE$,
∴DE=2MN.
∵MN=1,
∴DE=2.
∵O是△ABC的外心,OD⊥AB,OE⊥AC,
∴AD=BD,AE=CE,
∴$DE=\frac{1}{2}BC$,
∴BC=2DE=4.

【分析】
要解决本题，需借助三角形中位线定理和垂径定理逐步推导：首先利用M、N是OD、OE中点，得到MN与DE的关系，求出DE；再结合外心性质和垂径定理，确定D、E为AB、AC中点，进而利用中位线关系求出BC。
【解析】
解：连接DE。
∵M、N分别是OD、OE的中点，
∴MN是△ODE的中位线，根据三角形中位线定理，得：
$MN=\frac{1}{2}DE$，
已知$MN=1$，代入得$1=\frac{1}{2}DE$，解得$DE=2$。
∵O是△ABC的外心，且$OD⊥AB$，$OE⊥AC$，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得$AD=BD$，$AE=CE$，即D是AB中点，E是AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，得：
$DE=\frac{1}{2}BC$，
将$DE=2$代入，得$2=\frac{1}{2}BC$，解得$BC=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中位线、垂径定理、三角形外心
【点评】
本题结合多个几何定理进行考查，核心是通过辅助线DE建立线段间的联系，属于基础几何综合题，需熟练掌握中位线、垂径定理的应用。
【难度系数】
0.6

11. 如图,在$5 × 7$的网格中,各小正方形的边长均为 1,点 O、A、B、C、D、E 均在格点上,$O$是$△ ABC$的外心,在不添加其他字母的情况下,则除$△ ABC$外,外心也是$O$的三角形还有:.

11. $△ABD、△ACD、△BCD$ 解析:由题图可知,$OA=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$,$OB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$,$OC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$,$OD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$,$OE=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,
∴OA=OB=OC=OD≠OE,
∴△ABD、△ACD、△BCD的外心都是O.

【分析】要确定外心为O的三角形，需依据外心的定义：三角形的外心是到三角形三个顶点距离相等的点。因此，先利用勾股定理计算点O到各格点A、B、C、D、E的距离，再筛选出除△ABC外，三个顶点到O距离相等的三角形即可。
【解析】设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各点到O的距离：
$OA=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$OB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$OC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$OD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$OE=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
由此可得$OA=OB=OC=OD≠OE$，即点O到A、B、C、D的距离相等，到E的距离不相等。因此，除△ABC外，由A、B、C、D中任意三个点组成的三角形，外心均为O，分别是△ABD、△ACD、△BCD。
【答案】△ABD、△ACD、△BCD
【知识点】三角形外心、勾股定理
【点评】本题考查三角形外心的定义，结合网格图用勾股定理计算点间距离是解题核心，需准确把握外心“到三角形三个顶点距离相等”的性质，难度适中。
【难度系数】0.5

12. 如图是由两个矩形组成的工件平面图(单位:mm),直线$l$是它的对称轴,则能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是mm.

12. 50 解析:如图,设圆心为O,连接OA、OC.
∵直线l是它的对称轴,
∴AN=40 mm,CM=30 mm.
∵$AN^2+ON^2=CM^2+OM^2$,
∴$40^2+(70-OM)^2=30^2+OM^2$,解得OM=40,
∴$OC=\sqrt{30^2+40^2}=$50(mm),
∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50 mm.

【分析】要找到能完全覆盖该平面图形的最小圆，根据图形的对称性，最小覆盖圆的圆心必在对称轴$ l $上。设圆心为$ O $，连接$ OA $、$ OC $，则$ OA $、$ OC $均为圆的半径，故$ OA=OC $。利用勾股定理，结合已知的线段长度，设未知数建立方程求解半径即可。
【解析】设圆心为$ O $，在对称轴$ l $上，连接$ OA $、$ OC $。
因为直线$ l $是对称轴，所以$ AN=\frac{80}{2}=40\ \mathrm{mm} $，$ CM=\frac{60}{2}=30\ \mathrm{mm} $。
设$ OM=x\ \mathrm{mm} $，则$ ON=(50+20 -x)=(70 -x)\ \mathrm{mm} $。
由$ OA=OC $，根据勾股定理得：
$ AN^2 + ON^2 = CM^2 + OM^2 $，
代入数值：$ 40^2 + (70 - x)^2 = 30^2 + x^2 $，
展开计算：$ 1600 + 4900 -140x + x^2 = 900 + x^2 $，
化简得：$ 6500 -140x = 900 $，
解得：$ x=40 $。
则$ OC=\sqrt{CM^2 + OM^2}=\sqrt{30^2 + 40^2}=50\ \mathrm{mm} $，
即能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是$ 50\ \mathrm{mm} $。
【答案】50
【知识点】圆的对称性、勾股定理、最小覆盖圆
【点评】本题结合图形对称性，利用勾股定理建立方程求解，关键是确定圆心位置，体现了几何图形中对称性和方程思想的应用，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】0.5

13. 我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准外心.
(1) 如图 1，点 $P$ 在线段 $BC$ 上，$∠ ABP=∠ APD=∠ PCD=90°, BP=CD$，求证：$P$ 是 $△ APD$ 的准外心.
(2) 如图 2，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ BAC=90°, BC=5, AB=3$，$△ ABC$ 的准外心 $P$ 在 $△ ABC$ 的直角边上，试求 $AP$ 的长.

13. (1)证明:
∵∠ABP=∠APD=∠PCD=90°,
∴∠APB+∠PAB=90°,∠APB+∠DPC=90°,
∴∠PAB=∠DPC.在△ABP和△PCD中,$\begin{cases}∠PAB=∠DPC,\\∠ABP=∠PCD,\\BP=CD,\end{cases}$
∴△ABP≌△PCD(AAS),
∴AP=PD,
∴P是△APD的准外心.
(2)
∵∠BAC=90°,BC=5,AB=3,
∴$AC=\sqrt{5^2-3^2}=4$.当点P在边AB上,PA=PB,则$AP=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$;当点P在边AC上,PA=PC,则$AP=\frac{1}{2}AC=2$;当点P在边AC上,PB=PC,如图,设AP=t,则PB=PC=4-t,在Rt△ABP中,$AB^2+AP^2=PB^2$,即$3^2+t^2=(4-t)^2$,解得$t=\frac{7}{8}$,即此时$AP=\frac{7}{8}$.综上所述,AP的长为$\frac{3}{2}$或2或$\frac{7}{8}$.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需根据“准外心”的定义，证明点P到△APD的两个顶点A、D的距离相等，即证AP=PD，可通过证明△ABP与△PCD全等实现；第(2)问需先利用勾股定理求出AC的长度，再结合准外心的定义，分情况讨论点P在直角边AB、AC上的不同位置，分别计算AP的长度，注意分类讨论的完整性。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠ABP=∠APD=∠PCD=90°，
∴ 在Rt△ABP中，∠APB + ∠PAB = 90°；
在Rt△APD中，∠APB + ∠DPC = 180° - ∠APD = 90°，
∴ ∠PAB = ∠DPC。
在△ABP和△PCD中：
$\begin{cases}∠PAB = ∠DPC \\∠ABP = ∠PCD \\BP = CD\end{cases}$
∴ △ABP ≌ △PCD（AAS），
∴ AP = PD，
根据准外心的定义，P是△APD的准外心。
(2) 解：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=5，AB=3，
由勾股定理得：$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
准外心P在直角边上，分三种情况讨论：
① 当P在AB上，且PA=PB时，
∵ PA + PB = AB = 3，
∴ PA = PB = $\frac{1}{2}AB = \frac{3}{2}$；
② 当P在AC上，且PA=PC时，
∵ PA + PC = AC = 4，
∴ PA = PC = $\frac{1}{2}AC = 2$；
③ 当P在AC上，且PB=PC时，设AP = t，则PB = PC = 4 - t，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：$AB^2 + AP^2 = PB^2$，
即 $3^2 + t^2 = (4 - t)^2$，
展开得：9 + t² = 16 - 8t + t²，
消去t²，解得：8t = 7 → t = $\frac{7}{8}$，即AP = $\frac{7}{8}$。
综上，AP的长为$\frac{3}{2}$或2或$\frac{7}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$或2或$\frac{7}{8}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，新定义应用
【点评】
本题以“准外心”新定义为载体，综合考查全等三角形的证明、勾股定理的应用，解题关键是准确理解新定义，第(2)问需全面分类讨论点P的位置，避免漏解，能有效考查学生的逻辑推理和分类讨论能力。
【难度系数】
0.5