登录
1. 求下列各式中的$x$.
(1)$(3x+2)^2=16$；
(2)$(2x-1)^3=-27$.
(1)$(3x+2)^2=16$；
(2)$(2x-1)^3=-27$.
答案
(1)$x_1=\frac{2}{3},x_2=-2$
(2)$x=-1$
(2)$x=-1$
解析
【分析】
这两道题都是利用平方根、立方根的定义求解方程的题型：
(1) 方程左边是平方形式，右边是正数，根据平方根的定义，一个正数有两个互为相反数的平方根，因此可以先对等式两边开平方，得到关于x的两个一元一次方程，分别求解即可得到两个解，注意不要漏掉负根；
(2) 方程左边是立方形式，右边是负数，根据立方根的定义，任意实数都有唯一的立方根，负数的立方根是负数，因此对等式两边开立方，得到关于x的一元一次方程，求解即可。
【解析】
(1) 对$(3x+2)^2=16$两边开平方，得：
$3x+2=\pm4$
分两种情况计算：
①当$3x+2=4$时，移项得$3x=4-2=2$，解得$x=\frac{2}{3}$；
②当$3x+2=-4$时，移项得$3x=-4-2=-6$，解得$x=-2$。
(2) 对$(2x-1)^3=-27$两边开立方，得：
$2x-1=\sqrt[3]{-27}=-3$
移项得$2x=-3+1=-2$，解得$x=-1$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{2}{3},x_2=-2$
(2)$x=-1$
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题是实数运算中的基础常考题，核心是通过平方根、立方根的性质将高次方程转化为一元一次方程求解，解题时需注意正数的平方根有两个，不要漏解，而立方根仅有唯一结果，避免多解错误。
【难度系数】
0.8
这两道题都是利用平方根、立方根的定义求解方程的题型：
(1) 方程左边是平方形式，右边是正数，根据平方根的定义，一个正数有两个互为相反数的平方根，因此可以先对等式两边开平方，得到关于x的两个一元一次方程，分别求解即可得到两个解，注意不要漏掉负根；
(2) 方程左边是立方形式，右边是负数，根据立方根的定义，任意实数都有唯一的立方根，负数的立方根是负数，因此对等式两边开立方，得到关于x的一元一次方程，求解即可。
【解析】
(1) 对$(3x+2)^2=16$两边开平方，得：
$3x+2=\pm4$
分两种情况计算：
①当$3x+2=4$时，移项得$3x=4-2=2$，解得$x=\frac{2}{3}$；
②当$3x+2=-4$时，移项得$3x=-4-2=-6$，解得$x=-2$。
(2) 对$(2x-1)^3=-27$两边开立方，得：
$2x-1=\sqrt[3]{-27}=-3$
移项得$2x=-3+1=-2$，解得$x=-1$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{2}{3},x_2=-2$
(2)$x=-1$
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题是实数运算中的基础常考题，核心是通过平方根、立方根的性质将高次方程转化为一元一次方程求解，解题时需注意正数的平方根有两个，不要漏解，而立方根仅有唯一结果，避免多解错误。
【难度系数】
0.8
2. 计算:
(1)$\sqrt{\frac{4}{9}} - \sqrt{2\frac{1}{4}}$；
(2)$\sqrt[3]{-\frac{8}{27}} - \sqrt{\frac{16}{9}}$；
(3)$\sqrt{16} + \sqrt[3]{8} - (-1)^{2026}$；
(4)$2026^{0} - \sqrt{4} + (\frac{1}{2})^{-1}$；
(5)$\sqrt{25} - \sqrt[3]{-27} + \sqrt{\frac{1}{4}}$；
(6)$\sqrt{16} + (3 - π)^{0} - (\frac{1}{2})^{-1}$。
(1)$\sqrt{\frac{4}{9}} - \sqrt{2\frac{1}{4}}$；
(2)$\sqrt[3]{-\frac{8}{27}} - \sqrt{\frac{16}{9}}$；
(3)$\sqrt{16} + \sqrt[3]{8} - (-1)^{2026}$；
(4)$2026^{0} - \sqrt{4} + (\frac{1}{2})^{-1}$；
(5)$\sqrt{25} - \sqrt[3]{-27} + \sqrt{\frac{1}{4}}$；
(6)$\sqrt{16} + (3 - π)^{0} - (\frac{1}{2})^{-1}$。
答案
(1)原式$=-\frac{5}{6}$；
(2)原式$=-2$；
(3)原式$=5$；
(4)原式$=1$；
(5)原式$=\frac{17}{2}$；
(6)原式$=3$。
(2)原式$=-2$；
(3)原式$=5$；
(4)原式$=1$；
(5)原式$=\frac{17}{2}$；
(6)原式$=3$。
解析
【分析】
这组题目属于实数基础混合运算，解题思路清晰可遵循：第一步先识别式子中的每一个运算单元（算术平方根、立方根、乘方、零指数幂、负整数指数幂），分别按照对应规则化简：注意算术平方根结果为非负数，立方根的符号和被开方数一致，非零数的零次幂等于1，负整数指数幂等于对应正指数幂的倒数；第二步将化简后的结果按照有理数加减法则计算即可。
【解析】
(1) 先分别化简算术平方根：
$\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$，$\sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$
再做减法运算：
原式$=\frac{2}{3}-\frac{3}{2}=\frac{4}{6}-\frac{9}{6}=-\frac{5}{6}$
(2) 先分别化简立方根、算术平方根：
$\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=-\frac{2}{3}$，$\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}$
再做减法运算：
原式$=-\frac{2}{3}-\frac{4}{3}=-\frac{6}{3}=-2$
(3) 先分别化简算术平方根、立方根、乘方：
$\sqrt{16}=4$，$\sqrt[3]{8}=2$，$(-1)^{2026}=1$（偶数次幂为正）
再做加减运算：
原式$=4+2-1=5$
(4) 先分别化简零指数幂、算术平方根、负整数指数幂：
$2026^{0}=1$（非零数的0次幂为1），$\sqrt{4}=2$，$(\frac{1}{2})^{-1}=2$
再做加减运算：
原式$=1-2+2=1$
(5) 先分别化简算术平方根、立方根：
$\sqrt{25}=5$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$
再做加减运算：
原式$=5-(-3)+\frac{1}{2}=5+3+\frac{1}{2}=\frac{17}{2}$
(6) 先分别化简算术平方根、零指数幂、负整数指数幂：
$\sqrt{16}=4$，$(3-π)^{0}=1$，$(\frac{1}{2})^{-1}=2$
再做加减运算：
原式$=4+1-2=3$
【答案】
(1)$-\frac{5}{6}$；(2)$-2$；(3)$5$；(4)$1$；(5)$\frac{17}{2}$；(6)$3$
【知识点】
实数的运算；平方根与立方根化简；指数幂运算
【点评】
本题是实数运算的基础考察题型，核心是熟练掌握各类基础运算的规则，尤其要注意符号判断，只要熟练记住对应运算的性质，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.85
这组题目属于实数基础混合运算，解题思路清晰可遵循：第一步先识别式子中的每一个运算单元（算术平方根、立方根、乘方、零指数幂、负整数指数幂），分别按照对应规则化简：注意算术平方根结果为非负数，立方根的符号和被开方数一致，非零数的零次幂等于1，负整数指数幂等于对应正指数幂的倒数；第二步将化简后的结果按照有理数加减法则计算即可。
【解析】
(1) 先分别化简算术平方根：
$\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$，$\sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$
再做减法运算：
原式$=\frac{2}{3}-\frac{3}{2}=\frac{4}{6}-\frac{9}{6}=-\frac{5}{6}$
(2) 先分别化简立方根、算术平方根：
$\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=-\frac{2}{3}$，$\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}$
再做减法运算：
原式$=-\frac{2}{3}-\frac{4}{3}=-\frac{6}{3}=-2$
(3) 先分别化简算术平方根、立方根、乘方：
$\sqrt{16}=4$，$\sqrt[3]{8}=2$，$(-1)^{2026}=1$（偶数次幂为正）
再做加减运算：
原式$=4+2-1=5$
(4) 先分别化简零指数幂、算术平方根、负整数指数幂：
$2026^{0}=1$（非零数的0次幂为1），$\sqrt{4}=2$，$(\frac{1}{2})^{-1}=2$
再做加减运算：
原式$=1-2+2=1$
(5) 先分别化简算术平方根、立方根：
$\sqrt{25}=5$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$
再做加减运算：
原式$=5-(-3)+\frac{1}{2}=5+3+\frac{1}{2}=\frac{17}{2}$
(6) 先分别化简算术平方根、零指数幂、负整数指数幂：
$\sqrt{16}=4$，$(3-π)^{0}=1$，$(\frac{1}{2})^{-1}=2$
再做加减运算：
原式$=4+1-2=3$
【答案】
(1)$-\frac{5}{6}$；(2)$-2$；(3)$5$；(4)$1$；(5)$\frac{17}{2}$；(6)$3$
【知识点】
实数的运算；平方根与立方根化简；指数幂运算
【点评】
本题是实数运算的基础考察题型，核心是熟练掌握各类基础运算的规则，尤其要注意符号判断，只要熟练记住对应运算的性质，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.85
3. 计算:
(1)$\sqrt{1\dfrac{9}{16}}+(π - 3)^0 - (-2)^2$；
(2)$\sqrt{36}-\sqrt[3]{27}+\sqrt{(-2)^2}$；
(3)$(-\sqrt{2})^2 + |1 - \sqrt{3}| - (\dfrac{1}{2})^{-1}$；
(4)$\sqrt{(-3)^2}+\sqrt[3]{-64}-|2 - \sqrt{3}|$。
(1)$\sqrt{1\dfrac{9}{16}}+(π - 3)^0 - (-2)^2$；
(2)$\sqrt{36}-\sqrt[3]{27}+\sqrt{(-2)^2}$；
(3)$(-\sqrt{2})^2 + |1 - \sqrt{3}| - (\dfrac{1}{2})^{-1}$；
(4)$\sqrt{(-3)^2}+\sqrt[3]{-64}-|2 - \sqrt{3}|$。
答案
(1)原式$=-\frac{7}{4}$；
(2)原式$=5$；
(3)原式$=\sqrt{3}-1$；
(4)原式$=\sqrt{3}-3$。
(2)原式$=5$；
(3)原式$=\sqrt{3}-1$；
(4)原式$=\sqrt{3}-3$。
解析
【分析】
这是一组实数混合运算题，解题遵循“先算高级运算，再算低级运算”的顺序：第一步先分别计算每个式子中的乘方、开方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，第二步再进行加减运算。注意：①带分数开平方前要先化为假分数；②非零数的零次幂等于1；③负整数指数幂$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数）；④化简绝对值前要先判断绝对值内式子的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；⑤开立方时结果的符号和被开方数一致。
【解析】
(1) 先分别计算各项：
$\sqrt{1\dfrac{9}{16}}=\sqrt{\dfrac{25}{16}}=\dfrac{5}{4}$，
$(π-3)^0=1$（$π-3≠0$，非零数的零次幂为1），
$(-2)^2=4$，
代入原式得：$\dfrac{5}{4}+1-4=\dfrac{5}{4}+\dfrac{4}{4}-\dfrac{16}{4}=-\dfrac{7}{4}$。
(2) 先分别计算各项：
$\sqrt{36}=6$，
$\sqrt[3]{27}=3$，
$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，
代入原式得：$6-3+2=5$。
(3) 先分别计算各项：
$(-\sqrt{2})^2=2$，
$\because \sqrt{3}\approx1.732＞1$，$\therefore |1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$，
$(\dfrac{1}{2})^{-1}=2$，
代入原式得：$2+\sqrt{3}-1-2=\sqrt{3}-1$。
(4) 先分别计算各项：
$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，
$\sqrt[3]{-64}=-4$，
$\because 2＞\sqrt{3}$，$\therefore |2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}$，
代入原式得：$3+(-4)-(2-\sqrt{3})=3-4-2+\sqrt{3}=\sqrt{3}-3$。
【答案】
(1) $-\dfrac{7}{4}$；(2) $5$；(3) $\sqrt{3}-1$；(4) $\sqrt{3}-3$
【知识点】
实数混合运算，指数幂运算，绝对值与根式化简
【点评】
本题属于实数运算的基础常规题，主要考查对各类基础运算规则的掌握程度，解题时需注意运算顺序和符号判断，尤其是去绝对值、负指数幂、开立方的部分，容易因符号疏忽出错，熟练掌握基础规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
这是一组实数混合运算题，解题遵循“先算高级运算，再算低级运算”的顺序：第一步先分别计算每个式子中的乘方、开方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，第二步再进行加减运算。注意：①带分数开平方前要先化为假分数；②非零数的零次幂等于1；③负整数指数幂$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数）；④化简绝对值前要先判断绝对值内式子的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；⑤开立方时结果的符号和被开方数一致。
【解析】
(1) 先分别计算各项：
$\sqrt{1\dfrac{9}{16}}=\sqrt{\dfrac{25}{16}}=\dfrac{5}{4}$，
$(π-3)^0=1$（$π-3≠0$，非零数的零次幂为1），
$(-2)^2=4$，
代入原式得：$\dfrac{5}{4}+1-4=\dfrac{5}{4}+\dfrac{4}{4}-\dfrac{16}{4}=-\dfrac{7}{4}$。
(2) 先分别计算各项：
$\sqrt{36}=6$，
$\sqrt[3]{27}=3$，
$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，
代入原式得：$6-3+2=5$。
(3) 先分别计算各项：
$(-\sqrt{2})^2=2$，
$\because \sqrt{3}\approx1.732＞1$，$\therefore |1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$，
$(\dfrac{1}{2})^{-1}=2$，
代入原式得：$2+\sqrt{3}-1-2=\sqrt{3}-1$。
(4) 先分别计算各项：
$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，
$\sqrt[3]{-64}=-4$，
$\because 2＞\sqrt{3}$，$\therefore |2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}$，
代入原式得：$3+(-4)-(2-\sqrt{3})=3-4-2+\sqrt{3}=\sqrt{3}-3$。
【答案】
(1) $-\dfrac{7}{4}$；(2) $5$；(3) $\sqrt{3}-1$；(4) $\sqrt{3}-3$
【知识点】
实数混合运算，指数幂运算，绝对值与根式化简
【点评】
本题属于实数运算的基础常规题，主要考查对各类基础运算规则的掌握程度，解题时需注意运算顺序和符号判断，尤其是去绝对值、负指数幂、开立方的部分，容易因符号疏忽出错，熟练掌握基础规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
