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1. 求下列各式中的$x$.
(1)$\sqrt[3]{2x+5}=2$;
(2)$(2x-1)^2 - 1 = 0$.
(1)$\sqrt[3]{2x+5}=2$;
(2)$(2x-1)^2 - 1 = 0$.
答案
(1)$x=\frac{3}{2}$
(2)$x_1=1,x_2=0$
(2)$x_1=1,x_2=0$
解析
【分析】
对于(1)，这是含立方根的方程，根据立方根的性质：若$\sqrt[3]{a}=b$，则$a=b^3$，可先对等式两边同时立方去掉三次根号，转化为一元一次方程求解即可。
对于(2)，这是含平方的方程，先把常数项移到等号右侧，再根据平方根的性质：若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，开平方后转化为两个一元一次方程分别求解，注意不要漏掉负的平方根的情况。
【解析】
(1) 对$\sqrt[3]{2x+5}=2$两边同时立方，得：
$2x + 5 = 2^3$
即$2x + 5 = 8$
移项合并同类项得：$2x = 3$
系数化为1得：$x = \frac{3}{2}$
(2) 对$(2x-1)^2 -1=0$移项，得：
$(2x - 1)^2 = 1$
两边开平方，得：
$2x - 1 = \pm1$
分两种情况计算：
① 当$2x -1 =1$时，$2x=2$，解得$x=1$；
② 当$2x -1 = -1$时，$2x=0$，解得$x=0$。
【答案】
(1)$x=\frac{3}{2}$
(2)$x_1=1,x_2=0$
【知识点】
立方根的性质、平方根的性质、直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查根式的性质在解方程中的应用，解题时需注意正数的平方根有两个且互为相反数，避免漏解，计算时认真仔细即可正确解答。
【难度系数】
0.8
对于(1)，这是含立方根的方程，根据立方根的性质：若$\sqrt[3]{a}=b$，则$a=b^3$，可先对等式两边同时立方去掉三次根号，转化为一元一次方程求解即可。
对于(2)，这是含平方的方程，先把常数项移到等号右侧，再根据平方根的性质：若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，开平方后转化为两个一元一次方程分别求解，注意不要漏掉负的平方根的情况。
【解析】
(1) 对$\sqrt[3]{2x+5}=2$两边同时立方，得：
$2x + 5 = 2^3$
即$2x + 5 = 8$
移项合并同类项得：$2x = 3$
系数化为1得：$x = \frac{3}{2}$
(2) 对$(2x-1)^2 -1=0$移项，得：
$(2x - 1)^2 = 1$
两边开平方，得：
$2x - 1 = \pm1$
分两种情况计算：
① 当$2x -1 =1$时，$2x=2$，解得$x=1$；
② 当$2x -1 = -1$时，$2x=0$，解得$x=0$。
【答案】
(1)$x=\frac{3}{2}$
(2)$x_1=1,x_2=0$
【知识点】
立方根的性质、平方根的性质、直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查根式的性质在解方程中的应用，解题时需注意正数的平方根有两个且互为相反数，避免漏解，计算时认真仔细即可正确解答。
【难度系数】
0.8
2. 计算:
(1)$\sqrt{(-20)^2} - \sqrt{15^2}$；
(2)$\sqrt{29^2 - 21^2}$；
(3)$\sqrt[3]{512} - \sqrt{81} + \sqrt[3]{-1} - \sqrt[3]{-2 + \frac{3}{64}}$。
(1)$\sqrt{(-20)^2} - \sqrt{15^2}$；
(2)$\sqrt{29^2 - 21^2}$；
(3)$\sqrt[3]{512} - \sqrt{81} + \sqrt[3]{-1} - \sqrt[3]{-2 + \frac{3}{64}}$。
答案
(1)原式=5；
(2)原式=20；
(3)原式$=-\frac{3}{4}$.
(2)原式=20；
(3)原式$=-\frac{3}{4}$.
解析
【分析】
本题考查根式的相关运算，解题思路如下：
(1) 第一小题利用算术平方根的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，先分别化简两个二次根式，再做减法计算即可；
(2) 第二小题根号内是两个数的平方差，可逆用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$简化计算，再对结果开算术平方根；
(3) 第三小题先分别计算每个根式的值：先求出常见数的立方根、算术平方根，再计算最后一个立方根内的加减法，化简该立方根，最后将所有结果合并计算即可，注意负数的立方根仍为负数，去括号时注意符号变化。
【解析】
(1) 根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简：
原式$=|-20| - |15| = 20 - 15 = 5$
(2) 逆用平方差公式计算根号内的式子：
原式$=\sqrt{(29-21)×(29+21)} = \sqrt{8×50} = \sqrt{400} = 20$
(3) 分别化简每个根式：
$\sqrt[3]{512}=8$，$\sqrt{81}=9$，$\sqrt[3]{-1}=-1$
先计算最后一个立方根的被开方数：$-2+\frac{3}{64}=-\frac{128}{64}+\frac{3}{64}=-\frac{125}{64}$，因此$\sqrt[3]{-2+\frac{3}{64}}=\sqrt[3]{-\frac{125}{64}}=-\frac{5}{4}$
代入原式计算：
原式$=8 - 9 + (-1) - (-\frac{5}{4}) = -2 + \frac{5}{4} = -\frac{3}{4}$
【答案】
(1)$5$；(2)$20$；(3)$-\frac{3}{4}$
【知识点】
二次根式的化简、立方根的运算、平方差公式的应用
【点评】
本题属于根式基础运算题，核心是熟练掌握算术平方根、立方根的性质，计算时注意符号的处理，灵活运用运算公式可简化计算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
本题考查根式的相关运算，解题思路如下：
(1) 第一小题利用算术平方根的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，先分别化简两个二次根式，再做减法计算即可；
(2) 第二小题根号内是两个数的平方差，可逆用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$简化计算，再对结果开算术平方根；
(3) 第三小题先分别计算每个根式的值：先求出常见数的立方根、算术平方根，再计算最后一个立方根内的加减法，化简该立方根，最后将所有结果合并计算即可，注意负数的立方根仍为负数，去括号时注意符号变化。
【解析】
(1) 根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简：
原式$=|-20| - |15| = 20 - 15 = 5$
(2) 逆用平方差公式计算根号内的式子：
原式$=\sqrt{(29-21)×(29+21)} = \sqrt{8×50} = \sqrt{400} = 20$
(3) 分别化简每个根式：
$\sqrt[3]{512}=8$，$\sqrt{81}=9$，$\sqrt[3]{-1}=-1$
先计算最后一个立方根的被开方数：$-2+\frac{3}{64}=-\frac{128}{64}+\frac{3}{64}=-\frac{125}{64}$，因此$\sqrt[3]{-2+\frac{3}{64}}=\sqrt[3]{-\frac{125}{64}}=-\frac{5}{4}$
代入原式计算：
原式$=8 - 9 + (-1) - (-\frac{5}{4}) = -2 + \frac{5}{4} = -\frac{3}{4}$
【答案】
(1)$5$；(2)$20$；(3)$-\frac{3}{4}$
【知识点】
二次根式的化简、立方根的运算、平方差公式的应用
【点评】
本题属于根式基础运算题，核心是熟练掌握算术平方根、立方根的性质，计算时注意符号的处理，灵活运用运算公式可简化计算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
3. 已知$(x-1)^2 + 5\sqrt{y - 5x} + |x - y + z + 1| = 0$，求$x + y + z$的平方根。
答案
$\because (x-1)^2≥0,\sqrt{y-5x}≥0,|x-y+z+1|≥0$且$(x-1)^2+5\sqrt{y-5x}+|x-y+z+1|=0,\therefore x-1=0,y-5x=0,x-y+z+1=0,$解得$x=1,y=5,z=3.$
当$x=1,y=5,z=3$时，
$x+y+z=1+5+3=9,9$的平方根是$\pm3$，
$\therefore x+y+z$的平方根是$\pm3.$
当$x=1,y=5,z=3$时，
$x+y+z=1+5+3=9,9$的平方根是$\pm3$，
$\therefore x+y+z$的平方根是$\pm3.$
解析
【分析】
本题需结合非负数的性质解题，首先明确初中阶段常见的三类非负数：平方数、算术平方根、绝对值的取值均大于等于0。当几个非负数的和为0时，每一个非负数都必须为0，据此可列出关于x、y、z的三个方程，解出三个未知数的值后，代入计算x+y+z的结果，最后根据平方根的定义求其平方根，注意平方根有两个互为相反数的结果，不要漏解。
【解析】
$\because (x-1)^2≥0,\sqrt{y-5x}≥0,|x-y+z+1|≥0$，且$(x-1)^2 + 5\sqrt{y - 5x} + |x - y + z + 1| = 0$，
$\therefore$ 每个非负项均为0，可得：
$\begin{cases}x-1=0 \\ y-5x=0 \\ x-y+z+1=0\end{cases}$
解得$x=1$，将$x=1$代入$y-5x=0$得$y=5$，再将$x=1、y=5$代入$x-y+z+1=0$，解得$z=3$。
当$x=1,y=5,z=3$时，$x+y+z=1+5+3=9$，
根据平方根的定义，9的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$，
$\therefore x+y+z$的平方根是$\pm3$。
【答案】
$\pm3$
【知识点】
非负数的性质；平方根的定义；三元一次方程组的解法
【点评】
本题核心考查非负数的性质应用，解题突破口是根据几个非负数的和为0推出每一个非负项都为0，进而求解未知数。解题时要注意区分平方根和算术平方根，不要漏写负的平方根导致失分。
【难度系数】
0.7
本题需结合非负数的性质解题，首先明确初中阶段常见的三类非负数：平方数、算术平方根、绝对值的取值均大于等于0。当几个非负数的和为0时，每一个非负数都必须为0，据此可列出关于x、y、z的三个方程，解出三个未知数的值后，代入计算x+y+z的结果，最后根据平方根的定义求其平方根，注意平方根有两个互为相反数的结果，不要漏解。
【解析】
$\because (x-1)^2≥0,\sqrt{y-5x}≥0,|x-y+z+1|≥0$，且$(x-1)^2 + 5\sqrt{y - 5x} + |x - y + z + 1| = 0$，
$\therefore$ 每个非负项均为0，可得：
$\begin{cases}x-1=0 \\ y-5x=0 \\ x-y+z+1=0\end{cases}$
解得$x=1$，将$x=1$代入$y-5x=0$得$y=5$，再将$x=1、y=5$代入$x-y+z+1=0$，解得$z=3$。
当$x=1,y=5,z=3$时，$x+y+z=1+5+3=9$，
根据平方根的定义，9的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$，
$\therefore x+y+z$的平方根是$\pm3$。
【答案】
$\pm3$
【知识点】
非负数的性质；平方根的定义；三元一次方程组的解法
【点评】
本题核心考查非负数的性质应用，解题突破口是根据几个非负数的和为0推出每一个非负项都为0，进而求解未知数。解题时要注意区分平方根和算术平方根，不要漏写负的平方根导致失分。
【难度系数】
0.7
4. 已知$x=\sqrt[a+b]{M}$是$M$的立方根，$y=\sqrt[3]{b-6}$是$x$的相反数，且$M=3a-7$，请你求出$x$的平方根。
答案
$\because x=\sqrt[a+b]{M}$是$M$的立方根，
$\therefore a+b=3.$ ①
$\because \sqrt[3]{b-6}$是$x$的相反数，
$\therefore M=-(b-6).$
将$M=3a-7$代入$M=-(b-6),$
得$3a-7=-(b-6).$ ②
联立①②,得$\begin{cases}a+b=3,\\3a-7=-(b-6),\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=5,\\b=-2,\end{cases}$
$\therefore M=3a-7=8,$
$\therefore x=\sqrt[3]{8}=2,$
$\therefore x$的平方根是$\pm\sqrt{2}.$
$\therefore a+b=3.$ ①
$\because \sqrt[3]{b-6}$是$x$的相反数，
$\therefore M=-(b-6).$
将$M=3a-7$代入$M=-(b-6),$
得$3a-7=-(b-6).$ ②
联立①②,得$\begin{cases}a+b=3,\\3a-7=-(b-6),\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=5,\\b=-2,\end{cases}$
$\therefore M=3a-7=8,$
$\therefore x=\sqrt[3]{8}=2,$
$\therefore x$的平方根是$\pm\sqrt{2}.$
解析
【分析】
解题时首先根据立方根的定义，立方根的根指数为3，可得$a+b=3$；再结合“$y$是$x$的相反数”，利用立方根的性质：互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，可得$M=-(b-6)$，结合已知$M=3a-7$，即可得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$a$、$b$的值后，代入求出$M$，进而得到$x$的值，最后求$x$的平方根即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
∵ $ x=\sqrt[a+b]{M} $ 是$M$的立方根，
∴ 根指数满足 $ a+b=3 $ ①。
∵ $ \sqrt[3]{b-6} $ 是$x$的相反数，即$\sqrt[3]{b-6}=-x=-\sqrt[3]{M}$，
根据立方根的性质可得$M=-(b-6)$，
将$M=3a-7$代入上式，得$3a-7=-(b-6)$ ②。
联立①②，得方程组：
$\begin{cases} a+b=3 \\ 3a-7=-(b-6) \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=5 \\ b=-2 \end{cases}$
∴ $M=3a-7=3×5-7=8$，
∴ $x=\sqrt[3]{8}=2$，
∴ $x$的平方根是$\pm\sqrt{2}$。
【答案】
$\pm\sqrt{2}$
【知识点】
立方根的定义，二元一次方程组的解法，平方根的计算
【点评】
本题综合考查了根式概念与方程的结合应用，解题核心是根据立方根、相反数的性质建立参数方程，求解时注意正数的平方根有两个，避免漏写负根。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据立方根的定义，立方根的根指数为3，可得$a+b=3$；再结合“$y$是$x$的相反数”，利用立方根的性质：互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，可得$M=-(b-6)$，结合已知$M=3a-7$，即可得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$a$、$b$的值后，代入求出$M$，进而得到$x$的值，最后求$x$的平方根即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
∵ $ x=\sqrt[a+b]{M} $ 是$M$的立方根，
∴ 根指数满足 $ a+b=3 $ ①。
∵ $ \sqrt[3]{b-6} $ 是$x$的相反数，即$\sqrt[3]{b-6}=-x=-\sqrt[3]{M}$，
根据立方根的性质可得$M=-(b-6)$，
将$M=3a-7$代入上式，得$3a-7=-(b-6)$ ②。
联立①②，得方程组：
$\begin{cases} a+b=3 \\ 3a-7=-(b-6) \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=5 \\ b=-2 \end{cases}$
∴ $M=3a-7=3×5-7=8$，
∴ $x=\sqrt[3]{8}=2$，
∴ $x$的平方根是$\pm\sqrt{2}$。
【答案】
$\pm\sqrt{2}$
【知识点】
立方根的定义，二元一次方程组的解法，平方根的计算
【点评】
本题综合考查了根式概念与方程的结合应用，解题核心是根据立方根、相反数的性质建立参数方程，求解时注意正数的平方根有两个，避免漏写负根。
【难度系数】
0.6
5. 解方程: $(2 - \dfrac{1}{3}x)^2 + \dfrac{\sqrt{x^2 - 10x + 25}}{x - 5} = 0.$
答案
$\because (2-\frac{1}{3}x)^2 + \frac{\sqrt{x^2-10x+25}}{x-5}=0,$
$\therefore (2-\frac{1}{3}x)^2 + \frac{|x-5|}{x-5}=0.$
①当$x＞5$时,原方程化为$(2-\frac{1}{3}x)^2 +1=0,$
此时该方程无解；
②当$x＜5$时,原方程化为$(2-\frac{1}{3}x)^2 -1=0,$
移项,得$(2-\frac{1}{3}x)^2=1,$
开平方,得$2-\frac{1}{3}x=\pm1,$
解得$x_1=3,x_2=9(舍去),$
故原方程的解是$x=3.$
$\therefore (2-\frac{1}{3}x)^2 + \frac{|x-5|}{x-5}=0.$
①当$x＞5$时,原方程化为$(2-\frac{1}{3}x)^2 +1=0,$
此时该方程无解；
②当$x＜5$时,原方程化为$(2-\frac{1}{3}x)^2 -1=0,$
移项,得$(2-\frac{1}{3}x)^2=1,$
开平方,得$2-\frac{1}{3}x=\pm1,$
解得$x_1=3,x_2=9(舍去),$
故原方程的解是$x=3.$
解析
【分析】
解题时首先利用二次根式的性质化简根号内的完全平方式，将原式转化为含绝对值的分式与平方项相加的形式；再根据分式有意义的条件确定x≠5，分x＞5和x＜5两种情况去掉绝对值符号；结合平方项的非负性分别求解方程，最后检验解是否符合对应取值范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
先对原式进行化简：
$\because (2-\frac{1}{3}x)^2 + \frac{\sqrt{x^2-10x+25}}{x-5}=0,$
由完全平方公式可得$x^2-10x+25=(x-5)^2$，结合二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，因此原式可化为：
$(2-\frac{1}{3}x)^2 + \frac{|x-5|}{x-5}=0.$
由分式有意义的条件可知$x-5≠0$，即$x≠5$，分两种情况讨论：
①当$x＞5$时，$|x-5|=x-5$，则$\frac{|x-5|}{x-5}=1$，原方程化为：
$(2-\frac{1}{3}x)^2 +1=0,$
$\because (2-\frac{1}{3}x)^2≥0$，$\therefore (2-\frac{1}{3}x)^2 +1≥1＞0$，此时该方程无解；
②当$x＜5$时，$|x-5|=5-x$，则$\frac{|x-5|}{x-5}=-1$，原方程化为：
$(2-\frac{1}{3}x)^2 -1=0,$
移项，得$(2-\frac{1}{3}x)^2=1,$
开平方，得$2-\frac{1}{3}x=\pm1,$
当$2-\frac{1}{3}x=1$时，解得$x=3$，符合$x＜5$；
当$2-\frac{1}{3}x=-1$时，解得$x=9$，不符合$x＜5$，舍去。
综上，原方程的解为$x=3$。
【答案】
$x=3$
【知识点】
二次根式的性质；绝对值的化简；分式有意义的条件
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是先确定未知数的取值范围，再结合分类讨论思想去掉绝对值符号，求解后要注意检验解是否符合取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用二次根式的性质化简根号内的完全平方式，将原式转化为含绝对值的分式与平方项相加的形式；再根据分式有意义的条件确定x≠5，分x＞5和x＜5两种情况去掉绝对值符号；结合平方项的非负性分别求解方程，最后检验解是否符合对应取值范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
先对原式进行化简：
$\because (2-\frac{1}{3}x)^2 + \frac{\sqrt{x^2-10x+25}}{x-5}=0,$
由完全平方公式可得$x^2-10x+25=(x-5)^2$，结合二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，因此原式可化为：
$(2-\frac{1}{3}x)^2 + \frac{|x-5|}{x-5}=0.$
由分式有意义的条件可知$x-5≠0$，即$x≠5$，分两种情况讨论：
①当$x＞5$时，$|x-5|=x-5$，则$\frac{|x-5|}{x-5}=1$，原方程化为：
$(2-\frac{1}{3}x)^2 +1=0,$
$\because (2-\frac{1}{3}x)^2≥0$，$\therefore (2-\frac{1}{3}x)^2 +1≥1＞0$，此时该方程无解；
②当$x＜5$时，$|x-5|=5-x$，则$\frac{|x-5|}{x-5}=-1$，原方程化为：
$(2-\frac{1}{3}x)^2 -1=0,$
移项，得$(2-\frac{1}{3}x)^2=1,$
开平方，得$2-\frac{1}{3}x=\pm1,$
当$2-\frac{1}{3}x=1$时，解得$x=3$，符合$x＜5$；
当$2-\frac{1}{3}x=-1$时，解得$x=9$，不符合$x＜5$，舍去。
综上，原方程的解为$x=3$。
【答案】
$x=3$
【知识点】
二次根式的性质；绝对值的化简；分式有意义的条件
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是先确定未知数的取值范围，再结合分类讨论思想去掉绝对值符号，求解后要注意检验解是否符合取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
